Poznámky V[O]AF

Známe z elmy:

\vec{E} (\vec{r}, t), \vec{B} (\vec{r}, t), ε = ε_{r} ε_{0}, μ = μ_{r} μ_{0}

Uvažujme prostředí bez volných nábojů a proudů. Známe Maxwellovy rovnice:

Z toho dostaneme jakési homogenní řešení. Pokud přidáme zpátky náboje a proudy, stačí přičíst partikulární řešení, ale to ať si najde někdo jiný.

Zároveň

\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{E}) =_{\underset{}{a l i a s b \overset{ˊ}{a} c m \overset{ˊ}{ı} n u s c \overset{ˊ}{a} b}}^{\overset{}{\begin{array}{c} rotace rotace je \\ g r a d d i v m \overset{ˊ}{ı} n u s l a p l a c e \end{array}}} \vec{\nabla} (\vec{\nabla} \cdot \vec{E}) - \nabla^{2} \vec{E} \overset{\overset{}{Gauss}}{=} - \nabla^{2} \vec{E}

, z toho plyne

Pokud nechceme být úplně obecní, můžeme hledat řešení rovnic v d'Alembertovském tvaru:

To není úplně obecné, protože předpokládáme stejnou funkci a stejný směr šíření.

To jsou jistě řešení vlnových rovnic, ale ještě jsme nedokázali, že jsou to i řešení původních Maxwellových rovnic. Dosaďme tedy (s hnusným fyzikálním zápisem):

Tedy

\vec{E}, \vec{B}

jsou příčné vlny. (Za tohle hrozí okamžité vyhození u zkoušky, pokud to nevíte!)

Vyzařování elektromagnetických vln

Mějme v prostoru jeden náboj

q

v počátku.

Pokud je v klidu, má kolem sebe radiální elektrické pole $\vec{E} (\vec{r}, t) = \frac{q \vec{r}}{4 π ε_{0} r^{3}}$
Pokud je v pohybu, pole je stále radiální, ale vynásobené Heavisideovým faktorem: $\vec{E} (\vec{r}, t) = Γ (β = \frac{v}{c}, θ) \frac{q \vec{r}}{4 π ε_{0} r^{3}}$ Pro dostatečně malou rychlost je ale $Γ \approx 1$ , takže ho můžeme zanedbat.

$\vec{E}$ se pohybuje společně s nábojem, tedy v daném čase musíme počítat s posunutým počátkem:

\vec{E} (\vec{r}, t) = \frac{q {\vec{r}}^{'}}{4 π ε_{0} r^{' 3}}, {\vec{r}}^{'} ≔ \vec{r} - \vec{v} t

Uvažujme nyní, že v čase $t \leq 0$ je náboj v klidu, v čase $0 \leq t \leq τ$ rovnoměrně zrychluje se zrychlením $\vec{a}$ a v čase $t \geq τ$ se pohybuje rovnoměrně rychlostí $\vec{v} = \vec{a} τ$ .

Jsme ve vakuu, takže elektromagnetické vzruchy se šíří rychlostí $c$ . Tudíž pokud mě zajímá, jaké je u mě elektrické pole, musím vědět, kde byl zdroj v retardovaném čase $t_{r} = t - \frac{| \vec{r} |}{c}$ .

Tím vzniknou jakési dvě slupky oddělující tři prostory, ta větší kolem počátku a ta menší kolem bodu, kde náboj přestal zrychlovat. Uvnitř menší slupky a vně větší slupky jsou radiální čáry od jejich středu, mezi nimi propojení konců čar, čímž vzniká jakási divná pavučina.

Předpokládejme $τ ≪ t$ , tedy „akcelerační slupka“ je daleko od počátku. Vezměme něco jako válec (vlastně spíš komolý kužel), který má podstavy kolmé na radiální směr a jeho pláštěm prochází vnější slupka, a aplikujme na něj Gaussův zákon:

\oint_{S} \vec{E} \cdot d \vec{S} = \frac{Q_{u v n i t \overset{ˇ}{r}}}{ε_{0}} \overset{\overset{}{\begin{array}{c} n \overset{ˊ}{a} b o j n e n \overset{ˊ}{ı} \\ v e v \overset{ˊ}{a} l c i \end{array}}}{=} 0

Plášť do integrálu nepřispívá, protože normála na něj je kolmá na pole, takže

0 = \oint_{S} \vec{E} \cdot d \vec{S} = \oint_{podstavy} \vec{E} \cdot d \vec{S}

Pole v bližší podstavě je rovnoběžná složka toho v akcelerační slupce, pole ve vzdálenější slupce je to statické. Tedy

0 = E_{stat} S_{p} - E_{∥} S_{p}

E_{∥} = E_{stat}

Pomocí nějaké pofidérní geometrie dostaneme i kolmou složku:

\frac{c τ}{v_{⟂} t} \overset{\overset{}{podobnost △}}{=} \frac{E_{∥}}{E_{⟂}}

{\vec{E}}_{⟂} = \frac{v_{⟂} t}{c τ} E_{∥} = \frac{a_{⟂} r}{c^{2}} E_{∥}

E_{⟂} = \frac{q a_{⟂}}{4 π ε_{0} c^{2} r}

Z toho plyne:

$E_{r a d i a \overset{ˇ}{c} n \overset{ˊ}{ı}}$ je způsobené zrychlením $a$ . (Kdyby to někoho zajímalo, tak ${\vec{E}}_{r a d i a \overset{ˇ}{c} n \overset{ˊ}{ı}} ≔ {\vec{E}}_{⟂}$ .)
Jen $a_{⟂}$ přispívá: $a_{⟂} = a \sin (θ)$ . Tedy $E_{r a d i a \overset{ˇ}{c} n \overset{ˊ}{ı}}$ je anizotropní.
$E_{r a d i a \overset{ˇ}{c} n \overset{ˊ}{ı}} \propto \frac{1}{r}$

{\vec{E}}_{r a d i a \overset{ˇ}{c} n \overset{ˊ}{ı}} (\vec{r}, t) = - \frac{q {\vec{a}}_{⟂} (t_{r})}{4 π ε_{0} c^{2} r}, t_{r} = t - \frac{r}{c}

Teď spadne z nebe: $\vec{B} ⟂ \vec{E}, B = \frac{E}{c}, \vec{B} ⟂ \vec{n}, \vec{E}, \vec{B}, \vec{n} p r a v o t o \overset{ˇ}{c} i v \overset{ˊ}{e}$ (prostě Létající špagetové monstrum určilo, že to funguje stejně jako předtím a nepochybuje se o tom).

Příklad (oblíbená harmonická vlna).

\vec{a} (t) ≔ a_{0} \cos (ω t) \vec{z}

a_{⟂} = a \sin (θ)

{\vec{a}}_{⟂} = \vec{a} - {\vec{a}}_{∥} = \vec{a} - (\vec{a} \cdot {\vec{r}}_{0}) {\vec{r}}_{0}, {\vec{r}}_{0} ≔ \frac{\vec{r}}{| \vec{r} |}

\vec{a} (t) = a_{0} \cos (ω t - k r) \vec{z}, ω = c k

E_{r a d i a \overset{ˇ}{c} n \overset{ˊ}{ı}} (\vec{r}, t) = \underset{≕ ℰ_{0}}{\underset{⏟}{\frac{q}{4 π ε_{0} c^{2}}}} \frac{1}{r} \sin (θ) \cos (ω t - k r)

Energetické veličiny v elektromagnetickém poli

Definice. Hustota energie

w ≔ \frac{d E}{d V}

Věta (viz ELMA).

w = \frac{1}{2} (ε {\vec{E}}^{2} + \frac{{\vec{B}}^{2}}{μ})

(platí pro každé pole, nejen pro nějaké, jak bylo odvozeno na elmě)

Tok energie je

\frac{\partial w}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial t} (ε E_{j} E_{j} + \frac{B_{j} B_{j}}{μ}) = ε \vec{E} \cdot \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \frac{\vec{B}}{μ} \cdot \frac{\partial B}{\partial t} \overset{\overset{}{\begin{array}{c} Maxwellovy \\ rovnice \end{array}}}{=} \frac{\vec{E} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{B}) - \vec{B} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{E})}{μ} = - \vec{\nabla} \cdot \underset{\begin{array}{c} P o y n t i n g \overset{˚}{u} v \\ vektor \end{array}}{\underset{⏟}{\frac{\vec{E} \times \vec{B}}{μ}}}

Poslední úprava je v podstatě jiná varianta „bác mínus cáb“.

Tedy energie z daného místa „vytéká“ ve směru, do kterého ukazuje Poyntingův vektor $\vec{S}$ .

Nyní aplikujeme Gaussovu větu:

\frac{d}{d t} \int_{V} w d V = - \oint_{A ≔ \partial V} \vec{S} \cdot d \vec{A}

\frac{d E_{V}}{d t} = - Φ_{\vec{S}}

Definice. Hustota hybnosti

\vec{g} ≔ \frac{d \vec{p}}{d V}

Věta. Ve vakuu platí:

\vec{g} = \frac{\vec{S}}{c^{2}} = ε_{0} \vec{E} \times \vec{B}

Příklad. Vezměme rovinnou elektromagnetickou vlnu a strčme jí do cesty nabitou částici

q

. Bez újmy na obecnosti uvažujme

\vec{E} = E \vec{x}, \vec{B} = B \vec{y}

m \vec{a} = \underset{t \overset{ˇ}{r} e n \overset{ˊ}{ı}}{\underset{⏟}{- α \vec{v}}} + {\vec{F}}_{L}

Nechť je náboj silně tlumený, tedy

m \vec{a} ≪ α \vec{v}

. Potom

\vec{v} \approx \frac{{\vec{F}}_{L}}{α} = \frac{q}{α} (\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})

Elektrická část Lorentzovy síly ho potáhne střídavě nahoru a dolů, takže vlastně není moc zajímavá. Podívejme se na magnetickou část. Když o tom budeme uvažovat s použitím pravé ruky, zjistíme, že vždy bude tlačit náboj ve směru vlny. (Ještě tím, jak ho tlačí, mu dá složku rychlosti ve směru vlny, která trochu změní magnetickou část síly, ale to zanedbáme.)

⟨ \frac{d \vec{p}}{d t} ⟩ = ⟨ {\vec{F}}_{L} ⟩ = ⟨ q (E_{x} \vec{x} + v_{x} B_{y} \vec{z} - v_{z} B_{y} \vec{x}) ⟩ = q (\vec{0} + ⟨ v_{x} B_{y} ⟩ \vec{z} + \vec{0})

⟨ \frac{d E}{d t} ⟩ = ⟨ {\vec{F}}_{L} \cdot \vec{v} ⟩ = ⟨ q (\vec{E} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot (\vec{v} \times \vec{B})) ⟩ = ⟨ q (\vec{E} \cdot \vec{v} + \vec{B} \cdot (\vec{v} \times \vec{v})) ⟩ = ⟨ q E_{x} v_{x} ⟩

(pro maximalizaci zmatení je

E

tentokrát energie, nikoliv velikost

\vec{E}

) Z toho plyne:

⟨ \frac{d \vec{p}}{d t} ⟩ = \frac{1}{c} ⟨ \frac{d E}{d t} ⟩ \vec{z}

Matematiko, odpusť mi mé hříchy…

⟨ \frac{d \vec{p}}{d V} ⟩ = \frac{1}{c} ⟨ \frac{d E}{d V} ⟩ \vec{z}

⟨ \vec{g} ⟩ = \frac{⟨ w ⟩}{c} \vec{z}

To sice nevypadá jako ten obecný vztah, ale později se ukáže, že je to vlastně to samé.

Index lomu $n$

Uvažujme elektromagnetickou vlnu šířící se látkou. V té jsou nějaké atomy skládající se z těžkého jádra a lehkých elektronů navázaných na jádro. Vazba je inverzně kvadratická, takže si můžeme přédstavit, že elektron je k jádru přichycený pružinkou. Jelikož jádra jsou mnohem těžší než elektrony, jejich pohyb zanedbáme a budeme se zabývat pohybem elektronů. Ten je popsán pohybovou rovnicí, kde zároveň působí Lorentzova síla od dopadající vlny:

m \ddot{\vec{x}} + m ω_{0}^{2} \vec{x} = {\vec{F}}_{L} = - e (\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})

Obecný postup výpočtu: $model \to \vec{x} \to \vec{p} \to \vec{P} \to ε \to ε_{r} \to n$

Budeme uvažovat nerelativistické rychlosti, tedy můžeme zanedbat magnetickou složku:

F_{B} \leq e v B = e \frac{v E}{c} = β F_{E} ≪ F_{E}

Vezměme si konkrétně harmonickou vlnu:

\vec{E} (t) = {\vec{E}}_{0} \cos (ω t)

Vznikne buzený harmonický oscilátor. Obecný předpis pro něj je

\ddot{x} + 2 δ \dot{x} + ω_{0}^{2} x = \hat{B} (t)

\hat{B} = B \exp (i Ω t)

\hat{x} = A \exp (i Ω t)

A = \frac{B}{ω_{0}^{2} - Ω^{2} + 2 i δ Ω}

V našem případě $δ = 0, Ω = ω$ , tedy

A = \frac{B}{ω_{0}^{2} - ω^{2}}

(ovšem $B$ je budící síla, nikoliv magnetické pole!)

\vec{x} (t) = \frac{- \frac{e}{m} {\vec{E}}_{0}}{ω_{0}^{2} - ω^{2}} \cos (i ω t) = \frac{- \frac{e}{m} \vec{E} (t)}{ω_{0}^{2} - ω^{2}}

Dipólový moment jednoho atomu je $\vec{p} (t) = - e \vec{x} (t)$ . Zajímá-li nás celý objem, chceme vektor polarizace (viz ELMA), což je objemová hustota dipólového momentu: $\vec{P} ≔ \frac{d \vec{p}}{d V}$ . Pokud zavedeme početní hustotu elektronů $N$ , máme $\vec{P} = N \vec{p}$ . Z elmy máme vzorec (vlastně spíš definici):

ε_{0} \vec{E} + \vec{P} = ε \vec{E}

ε_{0} (1 + \frac{N e^{2}}{m ε_{0} (ω_{0}^{2} - ω^{2})}) \vec{E} = ε \vec{E}

ε = (1 + \frac{N e^{2}}{m ε_{0} (ω_{0}^{2} - ω^{2})}) ε_{0}

ε_{r} = 1 + \frac{N e^{2}}{m ε_{0} (ω_{0}^{2} - ω^{2})}

n = \sqrt{ε_{r} μ_{r}} \approx \sqrt{ε_{r}} = \sqrt{1 + \frac{N e^{2}}{m ε_{0} (ω_{0}^{2} - ω^{2})}}

Jelikož různé elektrony můžou mít různé $ω_{k}, N_{k}$ , máme obecně

n \approx \sqrt{1 + \sum_{k} \frac{N_{k} e^{2}}{m ε_{0} (ω_{k}^{2} - ω^{2})}}

(Aby bylo jasno: $ω_{k}$ je úhlová rychlost pružinky, na které poskakuje atom, $ω$ je úhlová rychlost vlny.)

Vyšlo nám tedy, že $n$ závisí na $ω$ (což například umožňuje rozklad barevného spektra na hranolu).

Pro fázovou rychlost máme $v = \frac{c}{n}$ . Pokud $ω < ω_{0}$ , potom $n > 1$ , tedy světlo má v této látce menší rychlost než ve vakuu. Je-li $ω$ mezi $ω_{0}$ a $ω_{1} ≔ \sqrt{ω_{0}^{2} + \frac{N e^{2}}{m ε_{0}}}$ , vychází index lomu záporný, takže v takové látce se světlo vůbec šířit nemůže. A nakonec pokud $ω > ω_{0}$ , bude $n < 1$ , takže fázová rychlost světla bude větší než ve vakuu — ale to nevadí, protože fázovou rychlostí se nemůže šířit informace. (Analogie: Pokud si představíme břeh, na který téměř kolmo dopadá vlna, zdánlivá rychlost vlny na břehu bude $v_{b} = \frac{v}{\cos (α)}$ , což taky může teoreticky přesáhnout rychlost světla.)

Vlnovod

Chceme nechat šířit elektromagnetické pole bez úbytku amplitudy. K tomu použijeme vlnovod — dutou kovovou trubku.

Pro šíření elektrického pole známe vlnovou rovnici a divergenční rovnici:

\frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}} = c^{2} \nabla^{2} \vec{E} \vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0

Jak z toho uděláme něco úplně jiného? Přece tak, že přidáme okrajové podmínky!

Představme si, že jsou stěny dokonale vodivé, tedy elektrony se v nich vždy postaví tak, aby vyrušily elektrické pole. To můžeme odvodit z diferenciálního Ohmova zákona:

\vec{j} = σ \vec{E}

\vec{E} = \frac{\vec{j}}{σ} \overset{\overset{}{σ \to \infty}}{\to} 0

Představme si vlnovod jako dlouhou obdélníkovou trubici ve směru $z$ . Nechť je pro dolní stěnu $x = 0$ , horní stěnu $x = a$ , levou stěnu $y = 0$ , pravou stěnu $y = b$ . Takže máme okrajové podmínky

\vec{E} (x \in {0, a}, y, z, t) = \vec{E} (x, y \in {0, b}, z, t) = \vec{0}

Nezajímá nás obecné řešení, ale jenom pro vlnu šířící se ve směru $z$ .

Mohli bychom zkusit zanedbat $x$ a $y$ , ale z toho by nevyšlo nic zajímavého, takže se vykašleme jenom na $x$ . To znamená, že $E_{y} (x, y, z, t) = E_{y} (0, y, z, t) = 0$ , podobně pro $z$ , takže jediná nenulová složka $\vec{E}$ je $x$ . Dosadíme tedy do rovnic a dostaneme:

\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\partial E_{x}}{\partial x} = 0 \overset{\overset{}{m \overset{ˊ}{a} b \overset{ˊ}{y} t}}{=} 0

\frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial t^{2}} \overset{\overset{}{m \overset{ˊ}{a} b \overset{ˊ}{y} t}}{=} c^{2} (\frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial z^{2}})

Předpokládejme harmoničnost ve směru $z$ : $E_{x} (y, z, t) = Y (y) \exp (i (ω t - k z))$

- ω^{2} E_{x} = c^{2} (Y^{''} (y) \exp (i (ω t - k z)) - k_{z}^{2} E_{x})

- ω^{2} Y = c^{2} (Y^{''} - k^{2} Y)

Y^{''} + \underset{≕ K}{\underset{⏟}{(\frac{ω^{2}}{c^{2}} - k_{z}^{2})}} Y = 0

Pokud $K \leq 0$ , dokážeme to snadno vyřešit a zjistíme, že funguje jenom triviální řeséní. Nechť tedy $K > 0, k_{y} ≔ \sqrt{K}$ . Máme z toho rovnici harmonického oscilátoru, tedy

Y (y) = α \cos (k_{y} y) + β \sin (k_{y} y)

Pokud se ještě zamyslíme nad okrajovými podmínkami, zjistíme, že $Y (0) = Y (b) = 0$ .

A teď už to bude úplně stejný jako pro tu strunu! —Josef Schmidt, 2022

k_{y}^{(m)} ≔ \frac{m π}{b}

Y^{(m)} (y) = \sin (k_{y}^{(m)} y)

E_{x}^{(m)} (y) = E_{0} \sin (k_{y}^{(m)} y) \exp (i (ω t - k_{z} z))

Jelikož má platit $k_{y} = \sqrt{\frac{ω^{2}}{c^{2}} - k^{2}}$ a zároveň $k_{y} = \frac{m π}{b}$ , dostáváme disperzní vztah

ω^{2} = {(\frac{m c π}{b})}^{2} + {(c k_{z})}^{2} ≕ ω_{min} {(m)}^{2} + c^{2} k^{2}

(kde $k ≔ k_{z}$ , protože vlna je koneckonců ve směru $z$ )

Pokud si představíme řez vlnovodem, tak v prvním módu vznikne jakási dvourozměrná postupná vlna skládající se z kopců, ve druhém módu budou dva kopce vedle sebe, a tak dále.

Zjistili jsme, že pro každý mód je nějaká minimální frekvence $ω_{min} (m)$ , která se může transparentně šířit. Pokud bude $ω < ω_{min}$ , můžeme označit $k ≕ i ϰ$ , tedy $ϰ ≔ \sqrt{\frac{ω_{min}^{2} - ω^{2}}{c}}$ , a budeme mít tlumenou vlnu (tedy reaktivní mód):

E_{x} = E_{0} \sin (\frac{m π y}{b}) \exp (- κ z) \exp (i ω t)

Pokud si spočítáme fázovou a grupovou rychlost, vyjde nám $v_{φ} = \frac{ω}{k_{z}} > c, v_{g} = \frac{d ω}{d k_{z}} < c$ .

Polarizace

Elektromagnetické vlnění je kolmé na směr šíření, tedy máme k dispozici dva nezávislé směry, kam může směřovat. Nechť směr šíření je $\vec{z}$ , potom báze elektromagnetického vlnění je $(\vec{x}, \vec{y})$ . Předpis pro obecnou harmonickou elektrickou vlnu je tedy

\vec{E} = E_{x 0} \vec{x} \exp (i (ω t - k z + φ_{1})) + E_{y 0} \vec{y} \exp (i (ω t - k z + φ_{2}))

Věta. Fázový rozdíl nezávisí na

z, t

Důkaz.

δ φ = (ω t - k z + φ_{1}) - (ω t - k z + φ_{1}) = φ_{1} - φ_{2}

Tedy fáze se mění hodně rychle, ale amplitudy a fázový rozdíl zůstávají pořád stejné.

Použijme takový trik. Posuňme si obě fáze o stejnou hodnotu, konkrétně $- φ_{1}$ , tedy místo $φ_{1}, φ_{2}$ budeme mít $0, φ_{2} - φ_{1}$ , což jsou konstanty.

Zvolme nyní fixní $z$ a zahrňme podobným způsobem do fáze $- k z$ . Tím dostaneme

\vec{E} (t) = E_{x 0} \vec{x} \exp (i (ω t + φ_{1})) + E_{y 0} \vec{y} \exp (i (ω t + φ_{2}))

Tohle je parametrická rovnice elipsy! Tedy vektor v každém kolmém řezu vlny opisuje elipsu. Říkáme, že vlna je elipticky polarizovaná.

Jaká je intenzita?

\begin{aligned} I & = ⟨ S ⟩ = \sqrt{\frac{ε_{0}}{μ_{0}}} ⟨ E^{2} ⟩ \\ = \sqrt{\frac{ε_{0}}{μ_{0}}} ⟨ E_{x 0}^{2} {\vec{x}}^{2} \cos {(ω t + φ_{1})}^{2} + E_{y 0}^{2} {\vec{y}}^{2} \cos {(ω t + φ_{1})}^{2} + 2 E_{x 0} E_{y 0} (\vec{x} \cdot \vec{y}) \cos (ω t + φ_{1}) \cos (ω t + φ_{2}) ⟩ \\ = \sqrt{\frac{ε_{0}}{μ_{0}}} ⟨ E_{x 0}^{2} \cos {(ω t + φ_{1})}^{2} + E_{y 0}^{2} \cos {(ω t + φ_{1})}^{2} ⟩ \\ = \sqrt{\frac{ε_{0}}{μ_{0}}} \frac{E_{x 0}^{2} + E_{y 0}^{2}}{2} \end{aligned}

Můžeme rozlišit dva speciální případy:

Elipsa se může zdegenerovat v úsečku, v takovém případě mluvíme o lineární polarizaci. Potom $φ_{1} = φ_{2}$ , tedy $δ φ = 0$ , tedy $\vec{E} (t) = (E_{x 0} \vec{x} + E_{y 0} \vec{y}) \exp (i (ω t + φ)) ≕ E_{0} \vec{r} \exp (i (ω t + φ))$
Elipsa může být kružnice, potom jde o kruhovou polarizaci. V tom případě $E_{x 0} = E_{y 0}, δ φ = \pm \frac{π}{2}$ . $\vec{E} (t) = E_{0} \vec{x} \cos (ω t) \mp E_{0} \vec{y} \sin (ω t)$ Znaménko $\mp$ naznačuje, že vlna se může točit oběma směry. V čase $0$ míří $\vec{E}$ ve směru $\vec{x}$ , v čase $ϵ$ (malinké kladné číslo) se vychýlí mírně ve směru $\mp \vec{y}$ . Podle toho se polarizace nazývá pravotočivá nebo levotočivá. Fyzici se nedokážou shodnout na tom, která je která. Naše konvence bude taková, že to je při pohledu proti směru šíření, tedy $-$ bude pravotočivá a $+$ levotočivá.

Pravo- a levotočivost samozřejmě funguje i u elipsy. Jenom v případě lineární polarizace se nerozlišuje.

Lineární polarizátor

Lineární polarizátor mění světlo na lineárně polarizované. Má nějakou osu propustnosti

n

a propouští pouze složku vlny rovnoběžnou s tímto směrem.

{\vec{E}}_{in} = {\vec{E}}_{∥} + {\vec{E}}_{⟂}

{\vec{E}}_{out} = {\vec{E}}_{∥} = ({\vec{E}}_{in} \cdot \vec{n}) \vec{n}

Příklad. Lineární polarizátor pro mikrovlny je mřížka z rovnoběžných drátů. Složka rovnoběžná s dráty je pohlcena kvůli odporu elektronů pohybujících se po drátech, zatímco proti kolmé složce nic neudělají, protože neumí skákat mezi dráty. Tedy funguje to opačně, než by se mohlo intuitivně zdát!

Příklad. Pro světlo se využívají polymery.

Vsuvka: Jonesův kalkulus

\begin{aligned} \vec{E} (t) & = E_{x 0} \vec{x} \exp (i (ω t + φ_{1})) + E_{y 0} \vec{y} \exp (i (ω t + φ_{2})) \\ = \underset{≕ \hat{\vec{E}}}{\underset{⏟}{(E_{x 0} \vec{x} \exp (i φ_{1}) + E_{y 0} \vec{y} \exp (i φ_{2}))}} \exp (i ω t) \end{aligned}

\hat{\vec{E}} ≔ (\begin{array}{c} E_{x 0} \exp (i φ_{1}) \\ E_{y 0} \exp (i φ_{2}) \end{array})

Jonesův vektor pro lineární polarizátor bude

{\hat{\vec{E}}}_{out} = 𝐏_{\vec{n}} {\hat{\vec{E}}}_{in}

(kde

𝐏

je projektor).

{\vec{E}}_{out} = (E_{in x} n_{x} + E_{in x} n_{y}) (\begin{array}{c} n_{x} \\ n_{y} \end{array}) = (\begin{array}{c} E_{in x} n_{x}^{2} + E_{in y} n_{x} n_{y} \\ E_{in x} n_{x} n_{y} + E_{in y} n_{y}^{2} \end{array}) = \underset{𝐏}{\underset{⏟}{(\begin{array}{cc} n_{x}^{2} & n_{x} n_{y} \\ n_{x} n_{y} & n_{y}^{2} \end{array})}} {\vec{E}}_{in}

Příklad. Pokud

\vec{n} = \vec{x}

, potom

𝐏 = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array})

Malusův zákon

Mějme dva lineární polarizátory za sebou, chceme zjistit intenzitu výstupu z druhého vůči vstupu do něj (jímž je vlna lineárně polarizovaná od prvního polarizátoru).

Nechť ${\vec{n}}_{1} ≔ \vec{x}, {\vec{n}}_{2} ≔ \vec{n} ≔ (\begin{array}{c} \cos (θ) \\ \sin (θ) \end{array}) .$

U druhého polarizátoru máme:

{\vec{E}}_{in} = E_{0} \vec{x} \cos (ω t)

I_{in} = ⟨ {\vec{E}}_{in}^{2} ⟩ = \frac{E_{0}^{2}}{2}

{\vec{E}}_{out} = ({\vec{E}}_{in} \cdot \vec{n}) \vec{n} = E_{0} \cos (θ) \vec{n} \cos (ω t)

I_{out} = ⟨ {\vec{E}}_{out}^{2} ⟩ = \frac{E_{0}^{2}}{2} \cos {(θ)}^{2} = I_{in} \cos {(θ)}^{2}

Vlnová destička

Fázový rozdíl $δ φ$ se normálně nemění, ale vlnová destička ho dokáže změnit o nějaké $Δ φ$ .

Nechť $d$ je tloušťka destičky. Kdyby byla z normálního materiálu, bylo by:

{\vec{E}}_{out} = E_{0 x} \vec{x} \cos (ω t + φ_{1} - k d) + E_{0 y} \vec{y} \cos (ω t + φ_{2} - k d)

Tedy by fázový rozdíl neměnila. Ale my ji můžeme vyrobit z dvojlomného krystalu, což je materiál, který má v rovnoběžném směru jiný index lomu než v kolmém směru. Potom:

{\vec{E}}_{out} = E_{0 x} \vec{x} \cos (ω t + φ_{1} - k_{1} d) + E_{0 y} \vec{y} \cos (ω t + φ_{2} - k_{2} d)

δ^{'} φ = (ω t + φ_{1} - k_{1} d) + (ω t + φ_{2} - k_{2} d) = φ_{1} - φ_{2} + (k_{1} - k_{2}) d ≕ δ φ + Δ φ

Δ φ = (k_{2} - k_{1}) d = \frac{ω}{c} (n_{1} - n_{2}) d = \frac{2 π}{λ_{0}} (n_{2} - n_{1}) d

Pokud $Δ φ = \frac{π}{2}$ , jde o čtvrtvlnovou destičku. Pokud $Δ φ = π$ , jde o půlvlnovou destičku.

Pro zjednodušení můžeme o oměma fázím přičíst $k_{2} d$ , čímž dostaneme

{\vec{E}}_{out} = E_{0 x} \vec{x} \cos (ω t + φ_{1} - (k_{2} - k_{1}) d) + E_{0 y} \vec{y} \cos (ω t + φ_{2})

Z toho vzniká takové pravidlo:

Máš-li vlnovou destičku s $Δ φ > 0$ , přičti $Δ φ$ ve složce odpovídající menšímu indexu lomu.

Nyní aplikujme Jonesův kalkulus:

{\hat{\vec{E}}}_{out} = 𝐃_{Δ φ} {\hat{\vec{E}}}_{in}

{\hat{\vec{E}}}_{in} = {\hat{\vec{E}}}_{{\vec{n}}_{1}} + {\hat{\vec{E}}}_{{\vec{n}}_{2}} = 𝐈 {\hat{\vec{E}}}_{in} = (𝐏_{{\vec{n}}_{1}} + 𝐏_{{\vec{n}}_{2}}) {\hat{\vec{E}}}_{in} = 𝐏_{{\vec{n}}_{1}} {\hat{\vec{E}}}_{in} + 𝐏_{{\vec{n}}_{2}} {\hat{\vec{E}}}_{in}

{\hat{\vec{E}}}_{out} = (\exp (i Δ φ) 𝐏_{{\vec{n}}_{1}} + 𝐏_{{\vec{n}}_{2}}) {\hat{\vec{E}}}_{in}

𝐃 = \exp (i Δ φ) 𝐏_{{\vec{n}}_{1}} + 𝐏_{{\vec{n}}_{2}}

Příklad. Pro

{\vec{n}}_{1} = \vec{x}, {\vec{n}}_{2} = \vec{y}

𝐃 = (\begin{array}{cc} \exp (i Δ φ) & 0 \\ 0 & 1 \end{array})

Optická aktivita

Tahle podsekce vůbec nedává smysl a ani není ve skriptech, takže ji možná radši zanedbejte.

Vlnová destička přidává fázi do $x$ -ové složky. Co kdyby nějaký optický prvek přidával fázi do obou složek?

Definice. Optická aktivita je dvojlom vůči kruhové polarizaci.

{\vec{E}}_{in} = E_{x} \vec{x} \cos (ω t) = \frac{E_{0}}{2} (\vec{x} \cos (ω t) + \vec{y} \sin (ω t)) + \frac{E_{0}}{2} (\vec{x} \cos (ω t) - \vec{y} \sin (ω t))

\begin{aligned} {\vec{E}}_{out} & = E_{x} \vec{x} \cos (ω t + Δ φ) = \frac{E_{0}}{2} (\vec{x} \cos (ω t + Δ φ) + \vec{y} \sin (ω t + Δ φ)) + \frac{E_{0}}{2} (\vec{x} \cos (ω t + Δ φ) - \vec{y} \sin (ω t + Δ φ)) \\ = \dots \\ = (E_{0} \cos (\frac{Δ φ}{2}) \vec{x} + E_{0} \sin (\frac{Δ φ}{2}) \vec{y}) \cos (ω t + \frac{Δ φ}{2}) \\ = E_{0} \vec{n} \cos (ω t + \frac{Δ φ}{2}) \end{aligned}

Intuice za tímhle je taková, že když se sečtou dva vektory točící se v opačném směru, vznikne tím vektor mířící na konstantní stranu a měnící sinusově délku, přičemž směr, kam míří, je polovina fázového rozdílu.

t

Δ φ

Nepolarizované světlo

Zatím máme pouze popis polarizovaného světla.

Definice. Nepolarizované světlo je polarizované světlo, kterému se v čase rychle a náhodně mění polarizace.

\vec{E} = E_{0 x} (t) \vec{x} \cos (ω t + φ_{1} (t)) + E_{0 y} (t) \vec{y} \cos (ω t + φ_{2} (t))

Máme dvě časové škály:

Perioda $T$
Koherenční čas $t_{koh} ≫ T$ , po který lze polarizaci považovat za konstantní

Měření polarizace

\vec{E} = E_{x 0} \vec{x} \cos (ω t + φ_{1}) + E_{y 0} \vec{y} \cos (ω t + φ_{2})

Měřicí přístroj má nějakou rozlišovací dobu $t_{roz} ⋙ T$

I = {⟨ {\vec{E}}^{2} ⟩}_{t_{roz}}

Definujme další čtyři intenzity:

I_{x} ≔ ⟨ E_{x}^{2} ⟩ = ⟨ E_{x 0}^{2} \cos {(ω t + φ_{1})}^{2} ⟩ = \frac{E_{x 0}^{2}}{2}

I_{y} ≔ ⟨ E_{y}^{2} ⟩ = ⟨ E_{y 0}^{2} \cos {(ω t + φ_{1})}^{2} ⟩ = \frac{E_{y 0}^{2}}{2}

I_{x y} ≔ ⟨ E_{x} E_{y} ⟩ = ⟨ E_{x 0} E_{y 0} \cos (ω t + φ_{1}) \cos (ω t + φ_{2}) ⟩ = \dots = \frac{E_{x 0} E_{y 0} \cos (φ_{1} - φ_{2})}{2}

I_{x y} ≔ ⟨ E_{x} (ω t - \frac{π}{2}) E_{y} ⟩ = ⟨ E_{x 0} E_{y 0} \cos (ω t + φ_{1}) \cos (ω t + φ_{2}) ⟩ = \dots = \frac{E_{x 0} E_{y 0} \sin (φ_{1} - φ_{2})}{2}

Tedy měřením $I_{x}$ dokážeme zjistit $E_{x}$ , analogicky $E_{y}$ , a měřením $E_{x y}, E_{x y}$ zjistíme $δ φ$ . Ale jak je změříme?

U $I_{x}, I_{y}$ je to snadné. Pokud dáme světlu do cesty polarizátor pod úhlem $\frac{π}{4}$ , bude výsledná intenzita $\frac{I_{x} + I_{y}}{2} + I_{x y}$ , z čehož snadno dopočteme $I_{x y}$ . Pokud ještě před něj přidáme čtvrtvlnovou destičku, dostaneme podobně $I_{x y}$ .

A co nepolarizované světlo? Teď máme už tři časové škály: periodu $T \approx 10^{- 14} s$ , koherenční dobu $t_{koh} \approx 10^{- 8} s$ a rozlišovací dobu $t_{roz}$ . Pokud $t_{roz} ≪ t_{koh}$ , jde o rychlý přístroj a můžeme prostě sledovat změny polarizace. Horší případ je $t_{roz} ≫ t_{koh}$ — „pomalý přístroj“? Jelikož $T ≪ t_{koh}$ , budou již střední hodnoty závislé na čase:

I_{x} (t) = {⟨ E_{x}^{2} ⟩}_{T} = \frac{E_{x 0} {(t)}^{2}}{2}

I_{y} (t) = {⟨ E_{y}^{2} ⟩}_{T} = \frac{E_{y 0} {(t)}^{2}}{2}

I_{x y} (t) = {⟨ \dots ⟩}_{T} = \frac{E_{x 0} (t) E_{y 0} (t) \cos (δ φ (t))}{2}

I_{x y} (t) = {⟨ \dots ⟩}_{T} = \frac{E_{x 0} (t) E_{y 0} (t) \sin (δ φ (t))}{2}

Ovšem intenzity, které naměříme, jsou $I_{x}^{p \overset{ˇ}{r} \overset{ˊ}{ı} s t r o j} = {⟨ I_{x} (t) ⟩}_{t_{roz}}, \dots$

Příklad.

\vec{E} ≔ E_{0} \vec{n} (t) \cos (ω t)

I_{x} (t) = \frac{E_{0}^{2} \cos {(θ (t))}^{2}}{2}

I_{y} (t) = \frac{E_{0}^{2} \sin {(θ (t))}^{2}}{2}

I_{x y} (t) = \frac{E_{0}^{2} \cos (θ (t)) \sin (θ (t))}{2} = \frac{E_{0}^{2} \sin (2 θ (t))}{4}

t_{x y} (t) = 0

$θ$ se sice v čase mění náhodně, ale pokud jde o čistě nepolarizované světlo, všechny hodnoty se budou vyskytovat rovnoměrně, takže můžeme počítat střední hodnotu „jako obvykle“:

I_{x}^{p \overset{ˇ}{r} \overset{ˊ}{ı} s t r o j} = \frac{E_{0}^{2}}{4}

I_{y}^{p \overset{ˇ}{r} \overset{ˊ}{ı} s t r o j} = \frac{E_{0}^{2}}{4}

I_{x y}^{p \overset{ˇ}{r} \overset{ˊ}{ı} s t r o j} = 0

I_{x y}^{p \overset{ˇ}{r} \overset{ˊ}{ı} s t r o j} = 0

To u polarizovaného světla ani nemůže vyjít, protože pokud $E_{x}, E_{y}$ jsou nenulové, $I_{x y}, I_{x y}$ nemohou být obě nulové! Tedy v tomto případě dokážeme poznat, že je světlo nepolarizované.

Obecně se $E_{x 0}, E_{y 0}, φ_{1}, φ_{2}$ mění tak, že rovnoměrně pokrývají polarizační stavy, ale celková intenzita je konstantní. Ze symetrie plyne, že $I_{x} = I_{y} = \frac{I}{2}$ . Také ze symetrie máme $⟨ \cos (δ φ) ⟩ = ⟨ \sin (δ φ) ⟩ = 0$ , z čehož takovým fyzikálním podvodem můžeme vyvodit, že $I_{x y} = I_{x y} = 0$ .

Definice. Částečně polarizované světlo je světlo, u kterého se polarizace náhodně mění, ale v průměru míří v nějakém směru.

Definice. Stokesovy parametry

\vec{P} = (P_{1}, P_{2}, P_{3})

P_{1} = \frac{I_{x} - I_{y}}{I_{x} + I_{y}}

P_{2} = \frac{2 I_{x y}}{I_{x} + I_{y}}

P_{3} = \frac{2 I_{x y}}{I_{x} + I_{y}}

Zřejmě pro nepolarizované světlo $\vec{P} = \vec{0}$ . Pro polarizované světlo:

| \vec{P} | = \sqrt{\frac{{(I_{x} - I_{y})}^{2} + 2 I_{x y}^{2} + 2 I_{x y}^{2}}{{(I_{x} + I_{y})}^{2}}} = \sqrt{\frac{E_{x 0}^{4} - 2 E_{x 0}^{2} E_{y 0}^{2} + E_{y 0}^{4} + 4 E_{x 0}^{2} E_{y 0}^{2} \cos {(δ φ)}^{2} + 4 E_{x 0}^{2} E_{y 0}^{2} \sin {(δ φ)}^{2}}{E_{x 0}^{4} + 2 E_{x 0}^{2} E_{y 0}^{2} + E_{y 0}^{4}}} = 1

Pro částečně polarizované světlo vyjde něco mezi. Tedy Stokesovy parametry tvoří jakousi kouli s nepolarizovaným světlem ve středu a polarizovaným světlem na okraji.

Z hlediska měření jsou tedy všechna nepolarizovaná světla ekvivalentní.

Nepolarizované světlo nemusí nutně být úplně náhodné. Pokud bychom například pravidelně střídali lineární polarizaci vodorovně a svisle, taky by všechno vycházelo, tedy $I_{x} = I_{y} = \frac{1}{2} I_{0}, I_{x y} = I_{x y} = 0$ . Nulovost $I_{x y}$ vyplývá z toho, že v každém okamžiku je $E_{x 0} = 0 \lor E_{y 0} = 0$ . Nulovost $I_{x y}$ vyplývá z toho, že $δ φ = 0$ , protože jde o lineární polarizaci. To ale neznamená, že nepolarizované světlo můžeme vytvořit superpozicí polarizovaných světel, musíme je skutečně střídat!

Odraz elektromagnetické vlny na rovinném rozhraní

Mějme rovinu ve směru $x y$ . Na rovinu dopadá ${\vec{E}}_{d}$ , odrazí se ${\vec{E}}_{r}$ , projde $E_{t}$ . Uvažujme harmonickou vlnu $\vec{E} = {\vec{E}}_{d 0} \exp (i (ω t - {\vec{k}}_{d} \cdot \vec{r})), {\vec{k}}_{d} = k_{d} {\vec{n}}_{d}, ω = \frac{c}{n_{1}} k_{d}$ .

Předpokládejme, že ${\vec{E}}_{r} = \exp (i (ω_{r} t - {\vec{k}}_{r} \cdot \vec{r})), {\vec{k}}_{r} = k_{r} {\vec{n}}_{r}, ω_{r} = \frac{c}{n_{1}} k_{r}$ a ${\vec{E}}_{t} = \exp (i (ω_{t} t - {\vec{k}}_{t} \cdot \vec{t})), {\vec{k}}_{t} = k_{t} {\vec{n}}_{t}, ω_{t} = \frac{c}{n_{2}} k_{t}$ .

Natočíme osy tak, aby ${\vec{k}}_{d} = (0, k_{d y}, k_{d z})$ . Tím zajistíme, že ${\vec{E}}_{d}$ nezávisí na $x$ , tedy vlna má translační symetrii podél osy $x$ . Pokud nedokážeme poznat složku $x$ dopadající vlny, nedokážeme ji poznat ani u odražené a prošlé vlny, tedy i ty nebudou záviset na $x$ : ${\vec{k}}_{r} = (0, k_{r y}, k_{r} z), {\vec{k}}_{t} = (0, k_{t y}, k_{t z})$ . Na $x$ tedy vůbec nezáleží — jde o rovinný problém.

{\vec{k}}_{d} = (0, k_{d} \sin (ϑ_{d}), k_{d} \cos (ϑ_{d}))

{\vec{k}}_{r} = (0, k_{r} \sin (ϑ_{r}), - k_{r} \cos (ϑ_{r}))

{\vec{k}}_{t} = (0, k_{t} \sin (ϑ_{t}), k_{t} \cos (ϑ_{t}))

Z Faradayova zákona vyplývá první podmínka napojení:

{\vec{E}}_{1 ∥} (z = 0) = {\vec{E}}_{2 ∥} (z = 0)

{\vec{E}}_{d ∥} (z = 0) + {\vec{E}}_{r ∥} (z = 0) = {\vec{E}}_{t ∥} (z = 0)

{\vec{E}}_{d 0 ∥} \exp (i (ω t - k_{d} \sin (ϑ_{d}) y)) + {\vec{E}}_{r 0 ∥} \exp (i (ω t - k_{r} \sin (ϑ_{r}) y)) = {\vec{E}}_{t 0 ∥} \exp (i (ω t - k_{t} \sin (ϑ_{t}) y))

Exponenciály se musí rovnat ve všech bodech. Tedy kdyby byly lineárně nezávislé, jediné řešení by byly nulové amplitudy, takže by tam žádná vlna nebyla, což nechceme! Aby byly lineárně závislé, musí se rovnat, tedy $ω = ω_{r} = ω_{t}, k_{d} \sin (ϑ_{d}) = k_{r} \sin (ϑ_{r}) = k_{t} \sin (ϑ_{t})$ .

Jelikož $ω_{d} = ω_{r}$ , z disperzního vztahu plyne $k_{d} = k_{r}$ , tedy $ϑ_{d} = ϑ_{r}$ . To je zákon odrazu.

Poku naopak použijeme $ω_{r} = ω_{t}$ , z disperzního vztahu máme $k_{r} n_{1} = k_{t} n_{2}$ , tedy $n_{1} \sin (ϑ_{d}) = n_{2} \sin (ϑ_{r})$ . To je Snellův zákon lomu.

Aby vůbec existoval vhodný úhel průchodu, musí být úhel dopadu menší než kritický úhel $ϑ_{c} ≔ \arcsin (\frac{n_{2}}{n_{1}})$ . Pokud bude větší, náš předpoklad již nefunguje! Mohli bychom předpokládat, že se potom všechno odrazí, ale to je tak trochu lež.

Nechť $ϑ_{d} > ϑ_{c}$ , tedy jde o totální odraz. To znamená, že druhé prostředí se chová jako reaktivní.

\begin{aligned} ω^{2} & = \frac{c^{2}}{n_{2}^{2}} {| {\vec{k}}_{1} |}^{2} \\ = \frac{c^{2}}{n_{2}^{2}} (k_{t y}^{2} + k_{t z}^{2}) \\ = \frac{c^{2}}{n_{2}^{2}} (k_{d y}^{2} + k_{t z}^{2}) \\ = \frac{c^{2}}{n_{2}^{2}} (k_{d}^{2} \sin {(ϑ_{d})}^{2} + k_{t z}^{2}) \\ = \frac{c^{2}}{n_{2}^{2}} (\frac{ω^{2}}{c^{2}} n_{1}^{2} \sin {(ϑ_{1})}^{2} + k_{t z}^{2}) \end{aligned}

- ϰ^{2} ≔ k_{t z}^{2} = \frac{ω^{2}}{c^{2}} (n_{2}^{2} - n_{1}^{2} \sin {(ϑ_{d})}^{2})

{\vec{E}}_{t} = {\vec{E}}_{t 0} \exp (i (ω t - {\vec{k}}_{t} \cdot \vec{r})) = {\vec{E}}_{t 0} \exp (i (ω t - k_{t y} y)) \exp (- ϰ z)

Vznikne vlna, která se šíří ve směru $y$ a exponenciálně ubývá ve směru $z$ .

Tak tedy víme, kterými směrem vlna půjde, ale jaká bude intenzita?

Vlna dopadá po nějaké rovině dopadu kolmé na rozhraní. Rozdělme její polarizaci na složku v rovině dopadu ( $∥$ ) a složku kolmou na rovinu dopadu ( $⟂$ ).

Postup je podobný, jako když jsme něco podobného dělali pro strunu, akorát složitější, protože struna je lineární a elektromagnetická vlna je rovinná.

Nějaké technické výpočty, které si nemáme zapisovat, protože je Schmidt stejně opisuje ze skript.

V nějakou chvíli se $ϑ_{d}, ϑ_{t}$ přejmenovaly na $ϑ_{1}, ϑ_{2}$ .

Vyjde nějaký přesný výsledek, který se nijak nejmenuje, ten se dá zaokrouhlit pomocí aproximace $μ_{1,2} \approx μ_{0}$ na tzv. Fresnelovy vzorce:

R_{∥} \approx \frac{n_{2} \cos (ϑ_{1}) - n_{1} \cos (ϑ_{2})}{n_{2} \cos (ϑ_{1}) + n_{1} \cos (ϑ_{2})} R_{⟂} \approx \frac{n_{1} \cos (ϑ_{1}) - n_{2} \cos (ϑ_{2})}{n_{1} \cos (ϑ_{1}) + n_{2} \cos (ϑ_{2})}

(kde $R$ je definováno podobně jako u struny)

Když použijeme vztah $\frac{n_{1}}{n_{2}} = \frac{\sin (ϑ_{2})}{\sin (ϑ_{1})}$ , dostaneme zjednodušené Fresnelovy vzorce:

R_{∥} \approx \frac{\tan (ϑ_{2} - ϑ_{1})}{\tan (ϑ_{2} + ϑ_{1})} R_{⟂} \approx \frac{\sin (ϑ_{2} - ϑ_{1})}{\sin (ϑ_{2} + ϑ_{1})}

Při odrazu se světlo částečně polarizuje, protože jedna polarizace se odráží víc. Při tzv. Brewsterově úhlu se polarizuje úplně. Jak ho určíme? Chceme, aby bylo $R = 0$ . Toho můžeme u obou zlomků docílit tím, že čitatel bude $0$ nebo jmenovatel bude $\infty$ . Nastavit čitatele na $0$ nám nepomůže, protože potom bude $ϑ_{1} = ϑ_{2}$ a po dosazení do původního výrazu zjistíme, že vlastně nevyjde nula. Sínus nemůže jít do nekonečna, takže jediná naděje je $\tan (ϑ_{2} - ϑ_{1}) = 0 ∴ ϑ_{2} - ϑ_{1} = \pm \frac{π}{2}$ . Tedy odražený a prošlý paprsek mají svírat pravý úhel a $ϑ_{B} = \arctan (\frac{n_{2}}{n_{1}})$ .

Brewsterův úhel se dá využít k polarizaci odrazem nebo k tzv. Brewsterovu oknu (pokud pošleme správně polarizované světlo pod správným úhlem, nic se neodrazí, tedy materiál se bude chovat jako dokonale průhledný).

Interference

Maxwellovy rovnice jsou lineární, tedy splňují princip superpozice. Ovšem v intenzitě už se vyskytují druhé mocniny, takže lineární není.

I = ⟨ E^{2} ⟩ = ⟨ {({\vec{E}}_{1} + {\vec{E}}_{2})}^{2} ⟩ = ⟨ E_{1}^{2} ⟩ + ⟨ E_{2}^{2} ⟩ + \underset{\begin{array}{c} i n t e r f e r e n \overset{ˇ}{c} n \overset{ˊ}{ı} \\ \overset{ˇ}{c} l e n \end{array}}{\underset{⏟}{2 ⟨ {\vec{E}}_{1} \cdot {\vec{E}}_{2} ⟩}}

(Teď už ve vzorci pro intenzitu kašleme na $\sqrt{\frac{ε_{0}}{μ_{0}}}$ , protože je k ničemu.)

Rozdělíme paprsek rozdělovačem paprsků a získáme interferometr, který normálně vypadá takto (Z = zdroj, B = rozdělovač, M = zrcadlo, D = stínítko):

Pro zjednodušení můžeme uvažovat tzv. pedagogický interferometr, který je jednodušší, ale nedá se reálně sestrojit, protože nejsme schopni zařídit, aby vysílané paprsky byly přesně stejné:

Budeme považovat elektrické pole za skalární, protože vektorovost teď není důležitá. Pole budeme uvažovat se stejnou frekvencí, ale jinými amplitudami. Elektrické pole ze zdroje 1, 2 je $E_{Z 1,2} (t) ≔ E_{1,2} \cos (ω t + φ_{1,2})$ .

To, co z jednotlivých zdrojů dopadne, je to samé, ale v retardovaném čase, tedy:

E_{D 1,2} (t) ≔ E_{Z 1,2} (t_{r}) = E_{1,2} \cos (ω t - k l_{1,2} + φ_{1,2})

Co vlastně chceme zjistit, je dopadající intenzita:

\begin{aligned} I_{D} & = ⟨ {(E_{1 D} + E_{2 D})}^{2} ⟩ \\ = ⟨ E_{1}^{2} \cos {(\dots)}^{2} + E_{2}^{2} \cos {(\dots)}^{2} + 2 E_{1} E_{2} \cos (ω t - k l_{1} + φ_{1}) \cos (ω t - k l_{2} + φ_{2}) ⟩ \\ = \frac{E_{1}^{2}}{2} + \frac{E_{2}^{2}}{2} + ⟨ E_{1} E_{2} (\cos (2 ω t - k (l_{1} + l_{2}) + φ_{1} + φ_{2}) + \cos (k (l_{2} - l_{1}) + φ_{1} - φ_{2})) ⟩ \\ = I_{1} + I_{2} + 2 \sqrt{I_{1} I_{2}} \cos (k (l_{2} - l_{1}) + φ_{1} - φ_{2}) \\ ≕ I_{1} + I_{2} + I_{i} \end{aligned}

Fáze interference je tedy posunuta o $Δ φ = k (l_{2} - l_{1}) = \frac{2 π c l}{λ}$ . Všechno kromě $λ$ známe, takže tímto způsobem můžeme měřit vlnovou délku.

Jelikož $\cos$ je na intervalu $[- 1,1]$ , máme:

I_{d} \in [I_{1} + I_{2} - 2 \sqrt{I_{1} I_{2}}, I_{1} + I_{2} + 2 \sqrt{I_{1} I_{2}}] = [{(\sqrt{I_{1}} - \sqrt{I_{2}})}^{2}, {(\sqrt{I_{1}} + \sqrt{I_{2}})}^{2}]

Pokud by vysílané intenzity byly stejné, tedy $I_{1} = I_{2} ≕ I_{0}$ , potom $I_{D} \in [0,4 I_{0}]$ , konkrétně $I_{0} = 2 I_{0} (1 + \cos (Δ φ))$ .

Tohle je všechno celkem jednoduché, ale vlastně to není úplně pravda. Reálně nejsou $φ_{1,2}$ konstanty.

Uvažujme podobně jako dříve, že fáze $φ_{1,2} (t)$ jsou konstantní po nějakou koherenční dobu a potom se náhodně změní. Jak to ovlivní náš výpočet? Zaprvé musíme do výrazu pro $E_{D}$ přidat závislost na retardovaném čase:

E_{D 1,2} (t) = E_{1,2} \cos (ω t - k l_{1,2} + φ_{1,2} (t_{r 1,2}))

Zadruhé už při středování nemůžeme uvažovat periodičnost. To se dá vyřešit tím, že budeme středovat jen přes jednu periodu, protože ta je mnohem kratší než koherenční doba.

I (t) ≔ {⟨ (E_{1 D}^{2} + E_{2 D}^{2}) ⟩}_{T} = I_{1} + I_{2} + 2 \sqrt{I_{1} I_{2}} \cos (k (l_{2} - l_{1}) + φ_{1} (t_{r 1}) - φ_{2} (t_{r 2}))

I_{D} = {⟨ I (t) ⟩}_{t_{roz}}

Definice. Pole je prostorově koherentní v bodech

A, B

, pokud ze znalosti pole v

A

lze předpovědět pole v

B

ve stejném čase.

Definice. Pole je časově koherentní v časech

t_{1,2}

, pokud ze znalosti pole v

t_{1}

lze předpovědět pole v

t_{2}

ve stejném bodě.

Uvažujme několik podpřípadů:

Zdroje jsou prostorově koherentní, tedy $φ_{1} (t) = φ_{2} (t) ≕ φ (t)$ . Potom $Δ φ = k (l_{2} - l_{1}) + φ (t_{r 1}) - φ (t_{r 2})$ .
- Pokud retardované časy jsou blízké, tedy $| t_{r 1} - t_{r 2} | ≪ t_{koh}$ , potom se téměř vždy „trefí do stejného rámce“, tedy $φ (t_{r 1}) = φ (t_{r 2})$ , tedy interference je prakticky stálá.
- Pokud retardované časy nejsou blízké, tedy $| t_{r 1} - t_{r 2} | > t_{koh}$ , už se netrefí do stejného rámce, takže $φ_{t_{r 1}} - φ_{t_{r 2}}$ se bude měnit víceméně náhodně (na škále koherenční doby).
  - Pro rychlý přístroj ( $t_{roz} ≪ t_{koh}$ ) zvládneme změny sledovat, takže dostaneme interferenci měnící se v čase.
  - Pro pomalý přístroj ( $t_{roz} > t_{koh}$ ) máme $I_{D} = {⟨ I (t) ⟩}_{t_{roz}} = I_{1} + I_{2}$ , tedy interferenční člen úplně zmizí.
Pokud jsou zdroje prostorově nekoherentní, potom opět:
- pro rychlý přístroj se interference mění v čase.
- pro pomalý přístroj interferenční člen zmizí.

Reálně máme jen pomalé přístroje, z čehož plyne poučka: „Nekoherentní vlny spolu neinterferují“. (Tím se myslí, že po vystředování v přístroji je interferenční člen nulový.) Proto normálně nevidíme všude interferenci.

Pokud vlny nedopadnou přesně ve stejném směru, ale trochu našikmo, vzniknou tím známé interferenční proužky. (Prý se to počítalo na cvičení.)

Difrakce

Již víme, jak spolu interferují dvě vlny, ale co kdyby jich bylo nekonečně mnoho?

Mějme zdroj světla. Umístěme světlu do cesty překážku ve tvaru roviny s malým otvorem. Následovat bude další rovina, tentokrát bez otvoru – stínítko. Zajímá nás rozložení intenzity na stínítku.

Provedeme sérii jednoduchých úvah.

Babinetův princip

Uvažujme neprůhlednou přepážku. Na ni bude dopadat pole ${\vec{E}}_{dop}$ a ona bude „indukovat“ pole ${\vec{E}}_{ind}$ . Z definice neprůhlednosti musí být ${\vec{E}}_{dop} + {\vec{E}}_{ind} = 0$ .

Přepážku si rozdělíme na části $A, B$ . Zřejmě ${\vec{E}}_{ind} = {\vec{E}}_{ind A} + {\vec{E}}_{ind B}$ .

Nyní dejme pryč $B$ . Za přepážkou již bude nějaké pole ${\vec{E}}_{A}$ . Jelikož předtím tam nebylo nic, musí být ${\vec{E}}_{A} = - {\vec{E}}_{ind B}$ . Tedy to, co projde, je opak toho, co by se předtím indukovalo na $B$ .

Tato úvaha není úplně korektní, protože ve skutečnosti atomy obou částí jsou nějak propojené, takže odstraněním $B$ může dojít ke změně ${\vec{E}}_{ind A}$ . Ale pokud je otvor dostatečně velký ( $D ≫ λ$ ), můžeme tyto efekty zanedbat.

Dalšimi hrátkami můžeme dostat vzorce:

\begin{matrix} {\vec{E}}_{A} + {\vec{E}}_{B} = - ({\vec{E}}_{ind A} + {\vec{E}}_{ind b}) & (B a b i n e t \overset{˚}{u} v p r i n c i p) \end{matrix}

{\vec{E}}_{A} = {\vec{E}}_{dop} - {\vec{E}}_{B}

Difrakční integrál

Předpokládejme:

Zdroj světla je daleko od přepážky, takže vlnu můžeme považovat za rovinnou.
Světlo na přepážku dopadá kolmo.
Přepážka je (kromě otvoru) všude stejná, tedy funguje translační symetrie a všechny atomy kmitají stejně.

Každý malý úsek přepážky vyzařuje vlnu $\frac{{\vec{E}}_{0}}{r} \exp (i (ω t - k r))$ . Celkově tedy máme

{\vec{E}}_{A} = - {\vec{E}}_{ind B} = \int_{B} \frac{{\vec{E}}_{0}}{r} \exp (i (ω t - k r)) d S

Tím bychom mohli říct, že je úloha vyřešena, ale výraz uvnitř integrálu je vlastně dost hnusný, takže ještě provedeme nějaké aproximace.

Zaveďme v rovině přépážky souřadnice $X, Y$ a v rovině stínítka souřadnice $x, y$ . Nechť $L$ je vzdálenost mezi přepážkou a stínítkem. Pokud si vybereme bod na přepážce a bod na stínítku, vzdálenost mezi nimi bude

r = \sqrt{L^{2} + {(X - x)}^{2} + {(Y - y)}^{2}}

Integrál tedy bude vypadat takto:

{\vec{E}}_{A} (x, y) = \iint_{S} \frac{{\vec{E}}_{0}}{r (x, y, X, Y)} \exp (i (ω t - k r (x, y, X, Y))) d X d Y

Navíc jsme zanedbali, že vyzařování je anizotropní, což můžeme vyřešit tím, že uvažujeme jen malou část stínítka. Také z našich úvah nelze určit $E_{0}$ , tedy jak moc vlna rozkmitá atomy; na to by byl potřeba složitější model. To nám ale nevadí, protože chceme stanovit pouze relativní intenzity.

Historicky to vychází s Huygensova-Fresnelova principu, kdy ještě neměli model atomů a jen na základě experimentů postulovali, jak to funguje. Nejdříve Huygens zjistil, že z otvoru jdou sférické vlnoplochy, poté Fresnel navrhl, že u nich funguje princip superpozice.

Zaveďme vzdálenost $R ≔ \sqrt{L^{2} + x^{2} + y^{2}}$ , která bude ze středu díry (pro jednoduchost v počátku) do bodu na stínítku. Na rozdíl od $r$ nezávisí na integračních proměnných, takže bychom ji chtěli nějak nacpat do integrálu. Zjistěme, jaký je mezi nimi rozdíl:

r^{2} = R^{2} + {(X - x)}^{2} + {(Y - y)}^{2} - x^{2} - y^{2} = R^{2} + X^{2} + Y^{2} - 2 x X - 2 y Y

Použijme obvyklý fyzikální postup – vezmeme nejhrubší aproximaci, při které jev úplně nezmizí. Vybereme tyto aproximace:

$\sqrt{1 + μ} \approx 1 + \frac{μ}{2}$ pro malé $μ$ (Taylor)
$L ≫ D$ (kde $D$ je velikost díry)
zahodíme kvadratické členy, tedy $X^{2}, Y^{2} ≪ x X, y Y$ (pokud to neuděláme, jde o Fresnelovu difrakci, která je složitější; takhle je to Fraunhoferova difrakce)

r = R \sqrt{1 + \frac{X^{2} + Y^{2} - 2 x X - 2 y Y}{R^{2}}} \approx R (1 - \frac{x X + y Y}{R^{2}})

Ještě hrubší aproximace je $r \approx R$ nebo dokonce $r \approx L$ . Ovšem tyto dvě nemůžeme dosadit do integrálu na obou místech, protože potom by to byl integrál z konstanty a nevyšlo by nic zajímavého. Rozhodneme se tak, že do jmenovatele za $r$ dosadíme $R$ a do kosínu lineární vztah.

\begin{aligned} {\vec{E}}_{A} (x, y) & \approx \iint_{S} \frac{{\vec{E}}_{0}}{R} \exp (i (ω t - k (R - \frac{x X + y Y}{R}))) d X d Y \\ = \frac{{\vec{E}}_{0}}{R} \exp (i (ω t - k R)) \iint_{S} \exp (i \frac{k}{R} (x X + y Y)) d X d Y \end{aligned}

Pokud definujeme $f (X, Y) ≔ [(X, y) \in B]$ , můžeme integrovat přes celé $ℝ^{2}$ , akorát s tím, že to ještě vynásobíme $f (X, Y)$ . To nás povede na dvourozměrnou Fourierovu transformaci.

Kdybychom vrátili zpět ten kvadratický člen, který jsme zanedbali, přibyl by do fáze a způsobil by fázový rozdíl. Aby tato aproximace byla dobrá, musí tento rozdíl být malý, čímž vzniká podmínka Fraunhoferovy difrakce:

Δ φ ≔ k \frac{X^{2} + Y^{2}}{2 R} ≪ 1

Díra v přepážce je podmnožina koule o průměru $D$ , takže platí $X^{2} + Y^{2} \leq \frac{D^{2}}{4}$ . Také z definice máme $R \geq L$ . Z toho plyne

Δ φ \leq \frac{2 π}{λ} \frac{D^{2}}{4} \frac{1}{2 L} = \frac{π D^{2}}{4 λ L} \leq \frac{D^{2}}{λ L} \overset{m \overset{ˊ}{a} b \overset{ˊ}{y} t}{≪} 1

Aproximaci tedy můžeme provést, pokud platí zjednodušená podmínka:

D^{2} ≪ λ L

Jaký je geometrický význam $k \frac{x X + y Y}{R}$ ? Z každého bodu díry vychází vlna a dopadá do bodu na stínítku. Zajímá nás, jakou dráhu při tom urazí. Zaveďme úhel $θ$ na spojnici mezi středem díry a bodem na stínítku, tedy $\sin (θ) = \frac{x}{R}$ . Pokud si nakreslíme obrázek s paprskem od jiného bodu díry, zjistíme, že zároveň $\sin (θ) = \frac{l}{X}$ , kde $l$ je kolmý průmět bodu díry na spojnici mezi středem díry a bodem stínítka. Z toho plyne $l = \frac{x X}{R}$ , tedy našli jsme geometrickou podstatu výrazu. Máme $l \approx r_{0} - r_{X}$ , kde $r_{0}, r_{X}$ jsou délky spojnic.

Youngův pokus

Mějme dvě obdélníkové štěrbiny. Zjednodušíme si je na dva bodové otvory, čímž se z integrálu stane jednoduše součet dvou čísel. Z Fraunhoferova integrálu máme

\begin{aligned} \vec{E} & = \frac{{\vec{E}}_{0}}{R} \exp (i (ω t - k R)) (\exp (i \frac{k}{R} x \frac{d}{2}) + \exp (- i \frac{k}{R} x \frac{d}{2})) \\ = 2 \frac{{\vec{E}}_{0}}{R} \exp (i (ω t - k R)) \cos (\frac{k d x}{R}) \\ = 2 \frac{{\vec{E}}_{0}}{R} \exp (i (ω t - k R)) \cos (k d \sin (θ)) \end{aligned}

V reálné části se z $\exp$ stane $\cos$ , což nám umožní spočítat intenzitu:

I = ⟨ E^{2} ⟩ = \frac{E_{0}^{2}}{R^{2}} \frac{4}{2} \cos {(\frac{k d \sin (θ)}{2})}^{2} = 2 \frac{E_{0}^{2}}{R^{2}} \cos {(\frac{π d \sin (θ)}{λ})}^{2}

Intenzita tedy bude mít maxima v bodech, kde $\frac{π d \sin (θ)}{λ} = m π, m \in ℤ$ . Pokud bude stínítko daleko od přepážky, budou tím vznikat přibližně rovnoměrně rozmístěné kopce ve vzdálenosti $L \frac{λ}{d}$ . Každý kopec má nějaký řád $m$ . Aby bylo $| \sin (θ) | < 1$ , musí být $| m | < \frac{d}{λ}$ , což je tedy maximální řád maxim.

Difrakční mřížka

Jak bychom to mohli zesložitit? Co takhle $N$ bodových štěrbin? Nechť jsou rovnoměrně rozmístěny na úsečce ve vzdálenostech $0, d, 2 d, \dots, N d$ .

\begin{aligned} \vec{E} & \overset{\overset{}{\begin{array}{c} F r a u n h o f e r \overset{˚}{u} v \\ vzorec \end{array}}}{=} \frac{{\vec{E}}_{0}}{R} \exp (i (ω t - k R)) \sum_{j = 0}^{N - 1} \exp (i \frac{k}{R} x j d) \\ \overset{\overset{}{\begin{array}{c} g e o m e t r i c k \overset{ˊ}{a} \\ \overset{ˇ}{r} a d a \end{array}}}{=} \frac{{\vec{E}}_{0}}{R} \exp (i (ω t - k R)) \frac{\exp (i \frac{k}{R} x d N) - 1}{\exp (i \frac{k}{R} x d) - 1} \\ \overset{\overset{}{\begin{array}{c} v y n \overset{ˊ}{a} s o b e n \overset{ˊ}{ı} \\ j e d n i \overset{ˇ}{c} k o u \end{array}}}{=} \frac{{\vec{E}}_{0}}{R} \exp (i (ω t - k R)) \frac{\exp (i \frac{k}{R} x d N) - 1}{\exp (i \frac{k}{R} x d) - 1} \cdot \frac{\exp (- i \frac{k}{R} x d \frac{N}{2})}{\exp (- i \frac{k}{R} x d \frac{N}{2})} \cdot \frac{\exp (- i \frac{k}{R} x \frac{d}{2})}{\exp (- i \frac{k}{R} x \frac{d}{2})} \\ \overset{\overset{}{\sin (x) = \frac{\exp (i x) - \exp (- i x)}{2}}}{=} \frac{{\vec{E}}_{0}}{R} \exp (i (ω t - k R - \frac{k}{R} x d \frac{N - 1}{2})) \frac{\sin (\frac{k d N x}{2 R})}{\sin (\frac{k d x}{2 R})} \end{aligned}

I = ⟨ E^{2} ⟩ = \frac{{\vec{E}}_{0}^{2}}{2 R^{2}} \frac{\sin {(\frac{k d N \sin (θ)}{2})}^{2}}{\sin {(\frac{k d \sin (θ)}{2})}^{2}}

Opět chceme najít maxima. Ta máme v bodech, kde je nulový jmenovatel. Takže zjistíme, že to vychází úplně stejně jako u Youngova pokusu. Co se ovšem změnilo, je šířka maxim. Ta závisí na tom, kde je čitatel nulový, což jsou násobky $\frac{λ}{N d}$ . Tedy čím více máme štěrbin, tím užší jsou maxima. Pokud definujeme šířku maxim jako vzdálenost mezi nulami čitatele, vyjde $\frac{2 λ}{N d}$ .

To můžeme použít k vytvoření spektrometru. Ovšem pokud budou dvě vlnové délky příliš blízké, jejich kopce se slijí, takže nepůjdou moc dobře rozlišit. Aby k tomu nedošlo, požadujeme:

| \sin (θ_{1}) - \sin (θ_{2}) | \geq \frac{2 λ}{N d}

m | λ_{1} - λ_{2} | \geq \frac{λ_{1} + λ_{2}}{N}

N \geq \frac{λ_{1} + λ_{2}}{m | λ_{1} - λ_{2} |}

To nám určuje, kolik děr musíme mít, abychom rozpoznali spektrum.

Obdélníkový otvor

Co zkusit něco složitějšího? Mějme otvor ve tvaru obdélníku. Ve směru $x$ má šířku $a$ , ve směru $y$ výšku $b$ . Na cvičení zjistíme, že vyjde

\vec{E} \propto a b \frac{\sin (\frac{k a x}{2 R})}{\frac{k a x}{2 R}} \frac{\sin (\frac{k b y}{2 R})}{\frac{k b y}{2 R}} \overset{\overset{}{y = 0}}{=} a b \frac{\sin (\frac{k a \sin (θ)}{2})}{\frac{k a \sin (θ)}{2}}

I \propto \frac{\sin {(\frac{k a \sin (θ)}{2})}^{2}}{{(\frac{k a \sin (θ)}{2})}^{2}} ≕ {(\frac{\sin (α)}{α})}^{2}

Máme nějakou úhlovou šířku maxima $Δ θ = \frac{2 λ}{d}$ , ta se nazývá úhlová rozbíhavost svazku.

Kruhový otvor

Pro jednoduchost použijeme polární souřadnice: $d X d Y ≕ ρ d ρ d φ$ . Ze symetrie můžeme očekávat, že indenzita bude záviset pouze na $r$ (což naní to samé $r$ jako předtím, ale vlastně něco jako $x$ , akorát v polárních souřadnicích). Bude z toho extrémně hnusný výpočet, z něhož vyjde tohle:

I (θ) = {(\frac{J_{1} (\frac{k d \sin (θ)}{2})}{\frac{k d \sin (θ)}{2}})}^{2}

$J_{n}$ je Besselova funkce, kterou si lze představit jako jakýsi ubývající sínus.

J_{n} (x) ≔ \frac{1}{π} \int_{0}^{π} \cos (n u - x \sin (u)) d u

Maxima teď budou $u_{0} = 0, u_{1} \approx 1.22 π$ .

Skutečný Youngův pokus, tedy dvě obdélníkové štěrbiny

Nechť štěrbiny mají velikost $d$ a vzdálenost mezi nimi je $d$ . Potom budou vznikat jakési dvě difrakce, které se navzájem vynásobí, takže výsledkem bude vlna s vysokou frekvencí zabalená ve vlně s nízkou frekvencí (něco jako u vlnových balíků).

Kritérium rozmazanosti

Proč v běžném životě nepozorujeme difrakci? No protože je to zase interferenční jev, takže tam záleží na koherenci. Koherenční doba je $t_{koh} \approx 10^{- 9} s$ , tedy koherenční délka je $l_{koh} = c t_{koh} \approx 30 c m$ . Interference je viditelná, pokud dráhový rozdíl je menší než koherenční délka, a dráhový rozdíl je $d \sin (θ)$ . U difrakce máme díry mnohem menší než 30 centimetrů, takže časová koherence nám nevadí.

Horší je ale prostorová koherence. Pokud nám na díru svítí více zdrojů světla, které jsou spolu vzájemně nekoherentní, jejich difrakční obrazce se superponují. Pokud budou všechny na ose, tak nám to moc nevadí, protože obrazce vzniknou stejné. Ale co když budou mimo osu? Tím vznikne jakýsi našikmený obrazec.

Pokud se maximum šikmého obrazce zrovna náhodou trefí do prvního maxima rovného obrazce, pořád se navzájem posílí. Tedy pokud jsou zdroje světla navzájem pod úhlem $ϑ$ , máme kritérium rozmazanosti: $Δ ϑ \approx Δ θ$ . Nebo taky můžou být blízko sebe a trefit se do stejného maxima, to je za podmínky $Δ ϑ ≪ Δ θ$ .

Poznámky V[O]AF — elektromagnetické vlnění

Vyzařování elektromagnetických vln

Energetické veličiny v elektromagnetickém poli

Vztahy v rovinné elektromagnetické vlně

Tlak záření

Energie vyzářené vlny pohybujícího se náboje

Index lomu $n$

Disperzní vztah v plazmatu

Vlnovod

Podmínky napojení elektromagnetického pole na rozhraní dvou látkových prostředí

Polarizace

Lineární polarizátor

Vsuvka: Jonesův kalkulus

Malusův zákon

Vlnová destička

Optická aktivita

Nepolarizované světlo

Měření polarizace

Odraz elektromagnetické vlny na rovinném rozhraní

Zkouška

Interference

Difrakce

Babinetův princip

Difrakční integrál

Youngův pokus

Difrakční mřížka

Obdélníkový otvor

Kruhový otvor

Skutečný Youngův pokus, tedy dvě obdélníkové štěrbiny

Kritérium rozmazanosti

Geometrická optika

Poznámky V[O]AF — elektromagnetické vlnění

Vyzařování elektromagnetických vln

Energetické veličiny v elektromagnetickém poli

Vztahy v rovinné elektromagnetické vlně

Tlak záření

Energie vyzářené vlny pohybujícího se náboje

Index lomu n

Disperzní vztah v plazmatu

Vlnovod

Podmínky napojení elektromagnetického pole na rozhraní dvou látkových prostředí

Polarizace

Lineární polarizátor

Vsuvka: Jonesův kalkulus

Malusův zákon

Vlnová destička

Optická aktivita

Nepolarizované světlo

Měření polarizace

Odraz elektromagnetické vlny na rovinném rozhraní

Zkouška

Interference

Difrakce

Babinetův princip

Difrakční integrál

Youngův pokus

Difrakční mřížka

Obdélníkový otvor

Kruhový otvor

Skutečný Youngův pokus, tedy dvě obdélníkové štěrbiny

Kritérium rozmazanosti

Geometrická optika

Index lomu $n$