Poznámky z cvičení VOAF

Matematický aparát

Střední hodnoty

Definice. Mějme

f : ℝ \to ℝ, x_{1}, x_{2} \in ℝ, x_{1} < x_{2}

. Potom střední hodnota

f

na intervalu

(x_{1}, x_{2})

{⟨ f ⟩}_{(x_{1}, x_{2})} = \frac{1}{x_{2} - x_{1}} \int_{x_{1}}^{x_{2}} f

. Celková střední hodnota funkce je

⟨ f ⟩ = {⟨ f ⟩}_{ℝ} = \lim_{x_{0} \to \infty} {⟨ f ⟩}_{(- x_{0}, x_{0})}

Věta (Vlastnosti střední hodnoty).

Operátor střední hodnoty $⟨ \cdot ⟩ : (ℝ \to ℝ) \to ℝ$ je lineární.
Je-li funkce $f$ periodická s periodou $L$ , potom $⟨ f ⟩ = {⟨ f ⟩}_{(x_{0}, x_{0} + L)}$ .

Příklad.

$⟨ 1 ⟩ = 1$
$⟨ \cos (ω t) ⟩ = 0$
$⟨ \sin (ω t) ⟩ = 0$
$⟨ \sin (ω t + φ_{0}) ⟩ = 0$
$⟨ \cos^{2} (ω t) ⟩ = \frac{1}{2}$
$⟨ \sin^{2} (ω t) ⟩ = \frac{1}{2}$

Komplexní čísla

Definice.

ℂ = {a + i b | a, b \in ℝ}

+ : ℂ \times ℂ \to ℂ

\cdot : ℂ \times ℂ \to ℂ, i \cdot i = - 1

ℜ : ℂ \to ℝ

ℑ : ℂ \to ℝ

\cdot : ℂ \to ℂ

| \cdot | : ℂ \to ℝ

\exp : ℂ \to ℂ

\cos : ℂ \to ℂ, \cos (ϕ) = \frac{\exp (i ϕ) + \exp (- i ϕ)}{2}

\sin : ℂ \to ℂ, \cos (ϕ) = \frac{\exp (i ϕ) - \exp (- i ϕ)}{2 i}

Věta (Vlastnosti komplexních čísel).

$ℜ, ℑ, | \cdot |$ jsou lineární
$z \cdot w = z \cdot w$
$| z \cdot w | = | z | \cdot | w |$
$\exp (z + w) = \exp (x) \cdot \exp (w)$
$\exp (i ϕ) = \cos (ϕ) + i \sin (ϕ)$
$| \exp (z) | = \exp (ℜ (z))$
$\exp (z) = \exp (z)$

Struna

\begin{matrix} L \in ℝ^{+} & (g e o m e t r i c k \overset{ˊ}{y} p a r a m e t r : d \overset{ˊ}{e} l k a s t r u n y) \end{matrix}

f : ⟨ 0, L ⟩ \to ℝ

ψ : ⟨ 0, L ⟩ \times ℝ \to ℝ

\begin{matrix} T \in ℝ^{+} & (f y z i k \overset{ˊ}{a} l n \overset{ˊ}{ı} p a r a m e t r : n a p \overset{ˇ}{e} t \overset{ˊ}{ı} s t r u n y) \end{matrix}

\begin{matrix} ρ \in ℝ^{+} & (f y z i k \overset{ˊ}{a} l n \overset{ˊ}{ı} p a r a m e t r : h u s t o t a s t r u n y) \end{matrix}

Pevné konce

\forall t : ψ (0, t) = ψ (L, t) = 0

Řešení.

ψ (z, t) = \sum_{m = 1}^{\infty} A_{m} \sin (k_{m} z) \sin (ω_{m} t + φ_{m})

\begin{matrix} k_{m} = \frac{m π}{L} & (v l n o v \overset{ˊ}{e} \overset{ˇ}{c} \overset{ˊ}{ı} s l o) \end{matrix}

ω_{m} = \sqrt{\frac{T}{ρ}} k_{m}

Volné konce

Řešení.

ψ (z, t) = z_{0} + v_{0} t + \sum_{m = 1}^{\infty} A_{m} \cos (k_{m} z) \sin (ω_{m} t + φ_{m})

\begin{matrix} k_{m} = \frac{m π}{L} & (v l n o v \overset{ˊ}{e} \overset{ˇ}{c} \overset{ˊ}{ı} s l o) \end{matrix}

ω_{m} = \sqrt{\frac{T}{ρ}} k_{m}

Fourierova řada

f : ℝ \to ℝ s periodou 2 L

f_{F} (z) ≔ \frac{a_{0}}{2} + \sum_{m = 1}^{\infty} (a_{m} \cos (\frac{m π z}{2}) + b_{m} \sin (\frac{m π z}{2}))

a_{m} ≔ \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f (z) \cos (\frac{m π z}{L}) d z

b_{m} ≔ \frac{1}{L} \int_{- L}^{L} f (z) \sin (\frac{m π z}{L}) d z

Hustota energie

Definice (hustoty energie).

ε ≔ τ + u ≔ \frac{ρ}{2} {(\frac{\partial ψ}{\partial t})}^{2} + \frac{T}{2} {(\frac{\partial ψ}{\partial z})}^{2}

Definice (energie úseku).

E_{⟨ z_{1}, z_{2} ⟩} ≔ \int_{z_{1}}^{z_{2}} ε d z

Definice (toku energie).

S ≔ - T \frac{\partial ψ}{\partial t} \frac{\partial ψ}{\partial z}

Definice (impedance).

Z ≔ \sqrt{T ρ}

Fourierova transformace

Něco jako spojitá verze Fourierovy řady

f : ℝ \to ℝ

f (t) = \int_{0}^{\infty} (A (ω) \cos (ω t) + B (ω) \sin (ω t)) d ω

A (ω) ≔ \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} f (t) \cos (ω t) d t

B (ω) ≔ \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} f (t) \sin (ω t) d t

ψ (z, t) ≔ f (t_{r} (z, t))

Opét pokud je funkce sudá/lichá, můžeme si ušetřit práci a nepočítat $B (ω)$ , respektive $A (ω)$

Další veličiny, protože veličin není nikdy dost

Definice. Disperzní vztah

ω (k)

udává přípustné kombinace

ω, k

Definice. Fázová rychlost je rychlost samotné vlny:

v_{φ} ≔ \frac{ω}{k}

Definice. Grupová rychlost je rychlost obálky:

v_{g} ≔ \frac{d ω}{d k}

Definice (indexu lomu).

n ≔ \frac{c}{v_{φ}}

Polarizace

Pro světlo šířící se ve směru $\vec{z}$ máme

\vec{E} (t) = (\begin{array}{c} E_{x 0} \cos (ω t + φ_{1}) \\ E_{y 0} \cos (ω t + φ_{2}) \end{array})

Označme $δ φ ≔ φ_{1} - φ_{2}$ . Bez újmy na obecnosti $δ φ \in [0,2 π)$ .

Definice. Světlo je lineárně polarizované, pokud projekce grafu

\vec{E} (t)

do roviny

x y

je úsečka, tedy

δ φ \in {0, π}

Definice. Světlo je kruhově polarizované, pokud projekce grafu

\vec{E} (t)

do roviny

x y

je kružnice, tedy

δ φ \in {\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}}

Polarizaci můžeme měnit pomocí těchto světelných prvků:

Polarizátor (charakterizovaný vektorem $\vec{n}$ ): $𝐏_{\vec{n}} ≔ (\begin{array}{cc} n_{x}^{2} & n_{x} n_{y} \\ n_{x} n_{y} & n_{y}^{2} \end{array})$ ${\vec{E}}_{out} = ({\vec{E}}_{in} \cdot \vec{n}) \cdot \vec{n} = 𝐏_{\vec{n}} {\vec{E}}_{in}$
Věta (Malusův zákon). $I_{out} = I_{in} \cos {(θ)}^{2}$
Vlnová destička (charakterizovaná vektory $n_{1,2}$ ): ${\vec{E}}_{in} (t) ≕ E_{1} {\vec{n}}_{1} \cos (ω t + φ_{1}) + E_{2} {\vec{n}}_{2} \cos (ω t + φ_{2})$ ${\vec{E}}_{out} (t) = E_{1} {\vec{n}}_{1} \cos (ω t + φ_{1} + Δ φ) + E_{2} {\vec{n}}_{2} \cos (ω t + φ_{2})$

Difrakce

Máme difrakční mřížku a stínítko

Poloha interferenčních maxim: $\sin (θ_{m}) = m \frac{λ}{d}$

Řešení (11.6 obdélníkový otvor).

\begin{aligned} \vec{E} (x, y) = & \frac{{\vec{E}}_{0}}{R} \exp (i (ω t - k R)) \iint_{B} \exp (i \frac{k}{R} (x X + y Y)) d X d Y \\ = & \frac{{\vec{E}}_{0}}{R} \exp (i (ω t - k R)) \int_{- \frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} d X (\exp (i \frac{k}{R} x X) \int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} d Y \exp (i \frac{k}{R} y Y)) \\ \overset{\overset{}{Fubini}}{=} & \frac{{\vec{E}}_{0}}{R} \exp (i (ω t - k R)) (\int_{- \frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} d X \exp (i \frac{k}{R} x X)) (\int_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} d Y \exp (i \frac{k}{R} y Y)) \\ = & \frac{{\vec{E}}_{0}}{R} \exp (i (ω t - k R)) {[\frac{\exp (i \frac{k}{R} x X)}{i \frac{k}{R} x}]}_{- \frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} {[\frac{\exp (i \frac{k}{R} y Y)}{i \frac{k}{R} y}]}_{- \frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}} \\ = & \frac{{\vec{E}}_{0}}{R} \exp (i (ω t - k R)) \frac{R^{2}}{4 k^{2} x y} (\frac{\exp (i \frac{k}{R} x \frac{a}{2}) - \exp (- i \frac{k}{R} x \frac{a}{2})}{2 i}) (\frac{\exp (i \frac{k}{R} y \frac{b}{2}) - \exp (- i \frac{k}{R} y \frac{b}{2})}{2 i}) \\ = & \frac{{\vec{E}}_{0}}{R} \exp (i (ω t - k R)) \frac{R^{2}}{4 k^{2} x y} \sin (\frac{k a x}{2 R}) \sin (\frac{k b y}{2 R}) \\ \propto & a b \frac{\sin (\frac{k a x}{2 R})}{\frac{k a x}{2 R}} \frac{\sin (\frac{k b y}{2 R})}{\frac{k b y}{2 R}} \end{aligned}