Zápisky z Úvodu do křivek a ploch

Příklad (Descartův list).

F (x, y) = x^{3} + y^{3} - 3 a x y, a \neq 0

Hledáme singulární body:

\partial_{x, y} F = 3 (\begin{array}{cc} x^{2} - a y & y^{2} - a x \end{array})

x^{2} - a y = 0, y^{2} - a x = 0

Řešení soustavy rovnic jsou

(0,0), (a, a)

. Ovšem pouze

(0,0)

splňuje rovnici křivky, jde tedy a jediný singulární bod.

Jak najít parametrizaci? Pokud vezmeme

y ≕ t x

, dostaneme

x = \frac{3 a t}{t^{3} + 1}, y = \frac{3 a t^{2}}{t^{3} + 1}

Tyto výrazy ovšem nejsou definované v

t = - 1

, což způsobí, že se křivka rozdělí na dvě části. Jak to vyřešit? Použijeme takový trik. Najdeme funkci

u (t)

, která má v

t = - 1

singularitu, a přeparametrizujeme křivku podle ní.

u ≔ \frac{1}{t + 1} ∴ t = \frac{1 - u}{u}

x = \frac{3 a u^{2} (1 - u)}{3 u^{2} - 3 u + 1}, y = \frac{3 a u {(1 - u)}^{2}}{3 u^{2} - 3 u + 1}

Snadno ověříme, že tato parametrizace je definovaná na celém

ℝ

a dá nám celý list (dokonce dvakrát projde singulárním bodem).

Rovinné křivky

Definice. Rovinná křivka je speciálně

\vec{f} : I \to ℝ^{2}

Věta (směrový úhel křivky). Nechť

\vec{α} : (a, b) \to ℝ^{2}

je rovinná regulární křivka a

\vec{T} (t_{0}) ≔ \frac{\dot{\vec{α}} (t_{0})}{| \dot{\vec{α}} (t_{0}) |} = (\cos (ϑ_{0}), \sin (ϑ_{0}))

. Potom existuje právě jedna funkce

ϑ : (a, b) \to ℝ

taková, že

ϑ (t_{0}) = ϑ_{0}

\vec{T} (t) = (\cos (ϑ (t)), \sin (ϑ (t)))

Definice. Lokální křivost rovinné křivky

\vec{α}

v bodě

t

κ_{2} (t) ≔ \lim_{t^{'} \to t} \frac{ϑ (t^{'}) - ϑ (t)}{s (t^{'}) - s (t)} = \frac{\dot{ϑ} (t)}{| \dot{\vec{α}} (t) |}

Věta.

ϑ (t) = \arctan (\frac{\dot{y}}{\dot{x}})

Věta.

κ_{2} (t) = \frac{\dot{x} \ddot{y} - \dot{y} \ddot{x}}{{({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2})}^{\frac{3}{2}}}

Lemma. Pokud

β

je přirozeně (délkově) parametrizovaná, potom

{\vec{β}}^{''} (s) = κ_{2} [β] (- y^{'}, x^{'})

Věta. Lokální rovinná křivost je invariantní vůči reparametrizaci až na znaménko.

Věta. Lokální rovinná křivost se při euklidovské transformaci mění jen o znaménko, což je určeno determinantem transformační matice. A vopáčně: Pokud mají křivky všude stejnou křivost, potom mezi nimi existuje ortogonální transformace s determinantem

1

Cvičení. Najděte takovou křivku, aby platilo

κ_{2} (s) = \frac{1}{1 + s^{2}}, s \in ℝ

Řešení.

\vec{β} (s) = (argsinh s, \sqrt{1 + s^{2}} - 1)

Reparametrizace:

s ≕ \sinh t

\vec{α} (t) = (t, \cosh t - 1)

Jde tedy o graf funkce

\cosh t

neboli řetězovku.

Definice. Evoluta křivky je jiná křivka, která v každém bodě určuje střed oskulační kružnice původní křivky.

\vec{E} (t) ≔ \vec{α} (t) + \frac{\vec{N} (t)}{κ_{2} [α] (t)}

Cvičení. Najděte evolutu elipsy.

Řešení.

\vec{γ} (t) ≔ (a \cos t, b \cos t)

\cos t ≕ c, \sin t ≕ s

κ = \frac{{\dot{f}}_{1} {\dot{f}}_{2} - {\dot{f}}_{2} {\dot{f}}_{1}}{{(f_{1}^{2} + f_{2}^{2})}^{\frac{3}{2}}} = \dots = \frac{a b}{{(b^{2} c^{2} + a^{2} s^{2})}^{\frac{3}{2}}}

\vec{N} = \frac{(- {\dot{f}}_{2}, {\dot{f}}_{1})}{‖ (- {\dot{f}}_{2}, {\dot{f}}_{1}) ‖} = \frac{(- b c, - a s)}{\sqrt{b^{2} c^{2} + a^{2} s^{2}}}

\vec{E} (t) = γ (t) + \frac{N (t)}{κ [γ] (t)} = \dots = (b^{2} - a^{2}) (- \frac{\cos {(t)}^{3}}{a}, \frac{\sin {(t)}^{3}}{b})

Cvičení. Najděte evolutu traktrixy.

Řešení.

\vec{α} (t) = l (\begin{array}{c} \cos t + \ln (\tan \frac{t}{2}) \\ \sin t \end{array})

Přeparametrizujeme:

p ≔ \ln (\tan \frac{t}{2})

Po jedné tabuli úprav:

\vec{α} (p) = l (\begin{array}{c} p - \tanh p \\ \frac{1}{\cosh p} \end{array})

Po další tabuli úprav:

κ_{2} (p) = \frac{1}{l | \sinh p |}

Po kdo ví kolika úpravách:

{\vec{N}}_{0} = \frac{1}{\cosh p} (\begin{array}{c} sgn p \\ | \sinh p | \end{array})

\vec{E} (p) = l (\begin{array}{c} p \\ \cosh p \end{array})

Prostorové křivky

Definice. Prostorová křivka je speciálně

\vec{f} : I \to ℝ^{3}

Definice. Normálová rovina je rovina kolmá na tečnu.

Definice. Rovina

γ \subset ℝ^{3}

je přilehlá ke křivce

\vec{f}

v bodě

t_{0}

, pokud

\lim_{t \to t_{0}} \frac{δ (t)}{d {(t)}^{2}} = 0

, kde

δ (t)

je vzdálenost bodu

\vec{f} (t)

od roviny a

d (t) ≔ ‖ \vec{f} (t) - \vec{f} (t_{0}) ‖

Cvičení. Parametrizujte Vivianiho křivku.

Řešení.

x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2}

{(x - \frac{r}{2})}^{2} + y^{2} = \frac{r^{2}}{4}

Použijeme sférické souřadnice:

z ≕ r \sin ϑ, x ≕ r \cos φ \cos ϑ, y ≕ r \sin φ \cos ϑ

Tím je automaticky splněna první rovnice. Dosadíme do té druhé:

r^{2} \cos {(φ)}^{2} \cos {(ϑ)}^{2} - r^{2} \cos φ \cos ϑ + r^{2} \sin {(φ)}^{2} \cos {(ϑ)}^{2} = 0

\cos ϑ \cdot (\cos ϑ - \cos φ) = 0

Definice. Normálový vektor je vektor velikosti

1

ležící v průsečíku tečné a přilehlé roviny.

Věta. Regulární

𝒞^{2}

křivka má v každém bodě

\vec{f} (t)

přilehlou rovinu určenou vektory

\dot{\vec{f}} (t), \ddot{\vec{f}} (t)

. (Tedy pokud

\dot{\vec{f}} (t), \ddot{\vec{f}} (t)

jsou lineárně nezávislé, potom je určena jednoznačně.)

Věta. Vzoreček pro normálový vektor:

\vec{N} = \frac{- (\dot{\vec{α}} \cdot \ddot{\vec{α}}) \dot{\vec{α}} + \ddot{\vec{α}}}{{\ddot{\vec{α}}}^{2} - \frac{{(\ddot{\vec{α}} \cdot \ddot{\vec{α}})}^{2}}{{\dot{\vec{α}}}^{2}}}

Definice. Lokální křivost trojrozměrné křivky v bodě

t

κ (t) ≔ \lim_{t^{'} \to t} \frac{| θ (t, t^{'}) |}{| s (t, t^{'}) |}

Věta. Nechť

\vec{β} (s)

je přirozeně parametrizovaná trojrozměrná křivka. Potom

κ (s) = | {\vec{β}}^{''} (s) |

Definice. Tečný vektor trojrozměrné křivky je

\vec{T} (t) ≔ \frac{\dot{\vec{α}} (t)}{| \dot{\vec{α}} (t) |}

Definice. Binormálový vektor trojrozměrné křivky je

\vec{B} (t) ≔ \vec{T} (t) \times \vec{N} (t)

Definice. Křivka

\vec{α} (t)

se nazývá Frenetova, pokud

(\forall t) (\dot{\vec{α}}, \ddot{\vec{α}} l i n e \overset{ˊ}{a} r n \overset{ˇ}{e} n e z \overset{ˊ}{a} v i s l \overset{ˊ}{e})

Poznámka. Tečný, normálový a binormálový vektor tvoří v každém bodě Frenetovy křivky ortonormální soustavu — trojnožku.

Věta (Frenetovy vzorce). Platí pouze pro přirozeně parametrizovanou křivku!

{\vec{T}}^{'} (s) = κ (s) \vec{N} (s)

{\vec{N}}^{'} (s) = - κ (s) \vec{T} (s) + τ (s) \vec{B} (s)

{\vec{B}}^{'} (s) = - τ (s) \vec{N} (s)

kde

τ

je torze křivky: rychlost otáčení přilehlé roviny.

Definice. Nechť

\vec{α} (t)

má jednoznačně definované přilehlé roviny na okolí

\vec{α} (t_{0})

. Označme

ρ (t, t_{0})

úhel přilehlých rovin v

t, t_{0}

. Velikost torze v bodě

\vec{α} (t_{0})

\tilde{τ} (t) ≔ \lim_{t \to t_{0}} \frac{| ρ (t, t_{0}) |}{| s (t, t_{0}) |}

Lemma. Nechť

\vec{β}

je prostorová křivka a

κ [β] > 0

pro

s \in I

. Potom

τ [β] (s) = 0

právě tehdy, pokud

β (s)

je rovinná.

Věta. Je-li trojrozměrná křivka regulární a

κ > 0

, potom

\tilde{τ} (t_{0}) = | τ (t_{0}) |

Věta. Pro přirozeně parametrizovanou křivku:

τ [β] (s) = \frac{({\vec{β}}^{'} \times {\vec{β}}^{''}) \cdot {\vec{β}}^{'''}}{{\vec{β}}^{''}^{2}}

Věta. Pro obecnou křivku:

κ [α] (t) = \frac{| \dot{\vec{α}} \times \ddot{\vec{α}} |}{{| \dot{\vec{α}} |}^{3}}

Věta. Pro obecnou křivku:

τ [α] (t) = \frac{(\dot{\vec{α}} \times \ddot{\vec{α}}) \times \overset{\dots}{\vec{α}}}{{| \dot{\vec{α}} \times \ddot{\vec{α}} |}^{2}}

Věta (obecné Frenetovy vzorce). Platí pro libovolnou křivku.

\dot{\vec{T}} = κ \vec{N} v

\dot{\vec{N}} = (κ \vec{T} + τ \vec{B}) v

(kde

v

je rychlost křivky:

v = | \dot{\vec{α}} |

)

Zápisky z Úvodu do křivek a ploch

Organizace

Reparametrizace

Rovinné křivky

Prostorové křivky