Poznámky z Matematické analýzy A 4 – funkce více proměnných (pokračování)

Důkaz. Nechť $A≔\mathrm{D}f\left(a\right)$. Jelikož derivace jsou spojité, existuje takové $r\in {ℝ}^{+}$, že $$(\forall x\in H_a≔B_a\left(r\right))(\Vert \mathrm{D}f\left(x\right)-A\Vert <\frac{1}{2\Vert A^{-1}\Vert }).$$ Zavedeme si pomocné zobrazení $${\varphi }_y\left(x\right)≔x+A^{-1}(y-f\left(x\right))$$ Zřejmě $y=f\left(x\right)$ právě tehdy, pokud ${\varphi }_y\left(x\right)=x$. Dále máme $$\mathrm{D}{\varphi }_y\left(x\right)=I-A^{-1}\mathrm{D}f\left(x\right)=A^{-1}(A-\mathrm{D}f\left(x\right))$$ Vezmeme-li $x\in H_a$, máme $$\Vert \mathrm{D}{\varphi }_y\left(x\right)\Vert \le \Vert A^{-1}\Vert \Vert A-\mathrm{D}f\left(x\right)\Vert <\frac{1}{2}$$ To nám umožňuje použít větu o přírůstku funkce: $$(\forall x_1,x_2\in H_a)(\Vert {\varphi }_y\left(x_1\right)-{\varphi }_y\left(x_2\right)\Vert \le \frac{\Vert x_1-x_2\Vert }{2})$$ Ukážeme, že $f$ je prosté na $H_a$. Nechť $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)=y$. Použitím odvozených vlastností $\varphi$ máme $\Vert x_1-x_2\Vert \le \frac{\Vert x_1-x_2\Vert }{2}$, z čehož plyne $x_1=x_2$. Tím jsme dokázali první bod věty. Pojďme na druhý. Vezměme nějaké $x_0\in H_a,y_0=f\left(x_0\right)$. Najdeme takové $\epsilon$, aby $B_{x_0}\left(\epsilon \right)\subseteq H_a$. Dokážeme, že platí $$B_{y_0}\left(\frac{\epsilon }{2\Vert A^{-1}\Vert }\right)\subseteq f\left(H_a\right)$$ Z toho už bude platit otevřenost $f\left(H_a\right)$, protože jsme tam pro libovolný bod našli jeho kouli. Nechť $y\in B_{y_0}\left(\frac{\epsilon }{2\Vert A^{-1}\Vert }\right),x\in B_{x_0}\left(\epsilon \right)$. $$\begin{array}{rl}\Vert {\varphi }_y\left(x\right)-x_0\Vert & \le \Vert {\varphi }_y\left(x\right)-{\varphi }_y\left(x_0\right)\Vert +\Vert {\varphi }_y\left(x_0\right)-x_0\Vert \\ & \le \frac{\Vert x-x_0\Vert }{2}+\Vert A^{-1}(y-f\left(x_0\right))\Vert \\ & \le \frac{\epsilon }{2}+\Vert A^{-1}\Vert \Vert y-y_0\Vert \\ & \le \epsilon \end{array}$$ Z toho plyne, že ${\phi }_y$ je kontrahující zobrazení. Jelikož prostor ${ℝ}^n$ je úplný, můžeme použít Banachovu větu o pevném bodě. Ta nám dá takové $x\in B_{x_0}\left(\epsilon \right)$, že ${\phi }_y\left(x\right)=x$, tedy $f\left(x\right)=y$. Z toho nějak plyne to, co jsme chtěli dokázat, čímž máme druhý bod. Zbývá třetí. Nechť $x\in H_a,y≔f\left(x\right),k\in {ℝ}^n,y+h\in f\left(H_a\right),y+k≕f(x+h)$. Vezměme nějaké $z\in {ℝ}^n$. Platí $$\begin{array}{rl}\Vert {\varphi }_z(x+h)-{\varphi }_z\left(x\right)\Vert & =\Vert x+h+A^{-1}(z-f(x+h))-x-A^{-1}(z-f\left(x\right))\Vert \\ & =\Vert h-A^{-1}(f(x+h)-f\left(x\right))\Vert \\ & =\Vert h-A^{-1}k\Vert \\ & \ge \Vert h\Vert -\Vert A^{-1}k\Vert \end{array}$$ $$???????$$ $$\Vert h\Vert \le 2\Vert A^{-1}k\Vert \le 2\Vert A^{-1}\Vert \Vert k\Vert$$ Z toho plyne spojitost inverze. Nyní dokážeme regularitu derivace: $$\Vert A^{-1}\Vert \Vert \mathrm{D}f\left(x\right)-A\Vert <\frac{1}{2}\stackrel{\stackrel{}{???????????}}{\Rightarrow }\mathrm{D}f\left(x\right)\text{r}\text{e}\text{g}\text{u}\text{l}\acute{\text{a}}\text{r}\text{n}\acute{\text{ı}}$$ Dále dokážeme, že zobrazení $x\mapsto {\left(\mathrm{D}f\left(x\right)\right)}^{-1}$ je spojité na $H_a$: $${\left(\mathrm{D}f\left(x\right)\right)}^{-1}=\frac{{\left(\mathrm{D}f\left(x\right)\right)}^{\text{adj}}}{\det \mathrm{D}f\left(x\right)}$$ To je obojí spojité, protože $f\in {𝒞}^1$ a determinant je spojitý. Nyní zbývá dokázat, že $g≔f^{-1}$ je diferencovatelné na $f\left(H_a\right)$ a platí $\mathrm{D}g\left(y\right)={\left(\mathrm{D}f\left(x\right)\right)}^{-1}$. $$\begin{array}{rl}\frac{\Vert g(y+k)-g\left(y\right)-{\left(\mathrm{D}f\left(x\right)\right)}^{-1}k\Vert }{\Vert k\Vert }& =\frac{\Vert x+h-x-{\left(\mathrm{D}f\left(x\right)\right)}^{-1}(y+k-y)\Vert }{\Vert k\Vert }\\ & \le \Vert {\left(\mathrm{D}f\left(x\right)\right)}^{-1}\Vert \frac{\Vert \mathrm{D}f\left(x\right)h-(f(x+h)-f\left(x\right))\Vert }{\Vert k\Vert }\\ & \le 2\Vert A^{-1}\Vert \Vert {\left(\mathrm{D}f\left(x\right)\right)}^{-1}\Vert \frac{\Vert f(x+h)-f\left(x\right)-\mathrm{D}f\left(x\right)h\Vert }{\Vert k\Vert }\\ & \to 0\end{array}$$

Důkaz. Nechť $U\subseteq \mathrm{\Omega }$ je otevřená množina. Chceme ukázat, že $f\left(U\right)$ je otevřená množina. Nechť $a\in U,b≔f\left(a\right),H_a\subseteq U$. Z věty o inverzní funkci víme, že $f\left(H_a\right)$ je otevřená množina, tedy jde o okolí $b$ a podmnožinu $f\left(U\right)$.

Důkaz. Pokusíme se uplatnit větu o inverzní funkci na funkci $$G:{\mathrm{\Omega }}_n\times {\mathrm{\Omega }}_m\to {ℝ}^{n+m},G(x,y)≔\left(\begin{array}{c}x\\ F(x,y)\end{array}\right)$$ Zřejmě $G(a,b)=0$. Spočteme její derivaci: $$\mathrm{D}G=\left(\begin{array}{cc}I& 0\\ {\partial }_{x}F& {\partial }_{y}F\end{array}\right)$$ Z toho máme, že $\det \left(\mathrm{D}G(a,b)\right)=\det \left({\partial }_{y}F(a,b)\right)\ne 0$. Tím jsou splněny předpoklady věty o inverzní funkci. Z té nám vypadne nějaké $H_{a,b}$, z nějž vezmeme takovou otevřenou podmnožinu, která se dá rozložit na součin $H_a\times H_b$. Nechť $V≔G(H_a\times H_b)$, což víme, že je otevřená množina. Z definice $G$ víme, že $V=H_a\times F(H_a\times H_b)$. Také na okolí existuje $G^{-1}$, pro kterou platí $G^{-1}(x,y)≕\left(\begin{array}{c}x\\ \mathrm{\Phi }(x,y)\end{array}\right)$. Zároveň víme $$(\forall \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\in V)(\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=(G\circ G^{-1})\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ F(x,\mathrm{\Phi }(x,y))\end{array}\right))$$ Z toho plyne $y=F(x,\mathrm{\Phi }(x,y))$. Dosazením $y≔0$ máme $0=F(x,\mathrm{\Phi }(x,0))≕F(x,f\left(x\right))$. Tím jsme nalezli implicitní funkci; nyní k důkazu prvního bodu zbývá ověřit, že je jediná a platí $f\left(a\right)=b$. $$\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=G^{-1}\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\ \mathrm{\Phi }(a,0)\end{array}\right)\therefore b=\mathrm{\Phi }(a,0)=f\left(a\right)$$ Jednoznačnost: nechť k nějakému $x$ je $f(x,y)=f(x,\tilde{y})=0$, potom zřejmě $G(x,y)=G(x,\tilde{y})$ a jelikož $G$ je lokálně injektivní, máme $y=\tilde{y}$. Co se týče druhého tvrzení, již víme $\det \left(\mathrm{D}G\right)=\det \left({\partial }_{y}F\right)$, tedy $\det \left({\partial }_{y}F(x,f\left(x\right))\right)=\det \left(\mathrm{D}G(x,f\left(x\right))\right)\ne 0$. [Nedokončeno]

Důkaz (základní myšlenka). Ukáže se, že $\mathrm{\nabla }f\left(a\right)\in {\left(T_a\left(M\right)\right)}^{⟂}$.

Důkaz (základní myšlenka). Sporem. Předpokládáme, že v $a$ není lokální minimum, tedy existuje posloupnost bodů $x_n\to a$, které mají funkční hodnotu menší. Vezmeme posloupnost $\frac{x_n-a}{\Vert x_n-a\Vert }$, která je zjevně omezená, takže má konvergentní podposloupnost s limitou $\eta$. Z ní vezmeme prvky ležící v kouli $B_a\left(r\right)\subseteq \mathrm{\Omega }$. Dokážeme, že $\eta \in T_a\left(M\right)$ a ${\eta }^{\mathrm{T}}{\mathrm{\nabla }}_x^{2}L(a,\lambda )\eta \le 0$, což je spor.