Funkce komplexní proměnné ⬩ Adamátorovy zápisky

Moje značení	Šťovíčkovo značení	Význam
$ℜ z, ℑ z$	$Re z, Im z$	reálná a imaginární část komplexního čísla $z$
$\partial_{z}$	$\frac{\partial}{\partial z}$	parciální derivace podle $z$

Definice

Topologický prostor

(X, τ)

je nesouvislý, pokud

\exists A \in τ ∖ {\emptyset, X} : X ∖ A \in τ

. Ve vopáčném případě je souvislý. Množina

M \subset X

je souvislá, jestliže relativní topologický prostor

(M, τ_{M})

je souvislý.

(X, τ)

(X, τ)

M \subset X

Poznámka Prázdná a jednoprvkové množiny jsou souvislé.

Věta

Nechť

(X, τ)

je topologický prostor a

M_{α} \subset X, α \in 𝒜

jsou souvislé množiny s neprázdným průnikem. Potom jejich sjednocení je souvislé.

M ≔ ⋃_{α \in 𝒜} M_{α}

Důsledek

Nechť

(X, τ)

je topologický prostor a

M \subset X, M \neq \emptyset

je souvislá. Potom

M

je obsažena právě v jedné maximální souvislé množině. Speciálně každý bod je obsažen právě v jedné maximální souvislé množině.

M

Poznámka

Nechť

(X, τ)

je topologický prostor. Pro

x, y \in X

definujme relaci

x \sim y \Leftrightarrow \exists M \subset X souvislá : x, y \in M

. Potom

\sim

je ekvivalence a její třídy jsou maximální souvislé množiny.

Definice

Maximální souvislé množiny z předchozího tvrzení jsou komponenty souvislosti.

Věta

Nechť

(X, τ)

je topologický prostor,

M \subset X

je souvislá a

x \in \bar{M}

. Potom

M_{1} ≔ M \cup {x}

je souvislá.

A, B \in τ, A \cap B \cap M_{1} = \emptyset, M_{1} \subset A \cup B

Důsledek

Nechť

(X, τ)

je topologický prostor a

M \subset X

je souvislá. Potom

\bar{M}

je souvislá.

M = \emptyset

Důsledek

Souvislé komponenty jsou uzavřené.

Věta

Nechť

(X, τ), (Y, τ)

jsou topologické prostory,

f : X \to Y

je spojitá a

M \subset X

je souvislá. Potom

f (M)

je souvislá.

f (M)

Definice

Nechť

(X, τ)

je topologický prostor. Křivka v

X

je spojité zobrazení

γ : I \to X

, kde

I

je kompaktní interval kladné délky. Značíme

γ \in 𝒞 (I, X)

. Její obor hodnot

γ (I) ≕ ⟨ Γ ⟩

je její geometrický obraz. Je-li

γ

prosté zobrazení, křivka je jednoduchá neboli Jordanův oblouk.

Poznámka

Křivka je spojitý obraz souvislé (dokážeme později) a kompaktní množiny, tudíž je také souvislá a kompaktní.

Definice

Topologický prostor

(X, τ)

je křivkově souvislý, pokud každé dva body lze spojit křivkou, tedy

\forall x, y \in X, \exists γ \in 𝒞 ([α, β], X) : γ (α) = x \land γ (β) = y

Poznámka

Nechť

(X, τ)

je topologický prostor. Pro

x, y \in X

zaveďme relaci

x \sim y \Leftrightarrow x, y lze spojit křivkou

. Tato relace je ekvivalence a její třídy jsou křivkově souvislé podmnožiny, které nazveme křivkově souvislé komponenty.

Věta

Je-li topologický prostor

(X, τ)

křivkově souvislý, potom je souvislý.

x \in X

Věta

Je-li

(V, τ)

topologický vektorový prostor nad

ℝ

M \subset X

je konvexní, potom je křivkově souvislá.

x, y \in M

Věta

Nechť

M \subset ℝ^{n}

je omezená. Potom

ℝ^{n} ∖ M

má právě jednu neomezenou souvislou komponentu.

B

Věta

Množina

M \subset ℝ

je souvislá právě tehdy, pokud je to prázdná množina nebo interval.

M

Příklad topologická sinusoida

Definujme množiny

M_{1} ≔ {(x, sin \frac{1}{x}) | x \in (0, 1]}, M ≔ M_{1} \cup {(0, 0)}

. Potom

M

je souvislá, ale není křivkově souvislá.

M_{1}

γ

Definice

Nechť

(X, τ)

je topologický prostor a

𝒱

je nějaká vlastnost. Říkáme, že

X

má vlastnost

𝒱

lokálně, pokud pro každý bod a jeho okolí existuje otevřené podokolí s vlastností

𝒱

Věta

Nechť topologický prostor

(X, τ)

má vlastnost

𝒱

lokálně a

G \in τ

. Potom

G

má vlastnost

𝒱

lokálně.

Důkaz Triviální.

Věta

Je-li topologický prostor

(X, τ)

souvislý a lokálně křivkově souvislý, potom je křivkově souvislý.

x \sim y \Leftrightarrow x, y lze spojit křivkou

Věta

Normovaný vektorový prostor je lokálně křivkově souvislý.

Důsledek

Otevřená množina v

ℝ^{n}

je křivkově souvislá, právě když je souvislá.

Definice

Křivka

γ : [α, β] \to X

je uzavřená, pokud

γ (α) = γ (β)

Definice

Křivka

γ : [α, β] \to X

je Jordanova nebo jednoduchá uzavřená, pokud je uzavřená a prostá na

[a, b)

Poznámka

Ztotožníme-li body

α, β

, dostaneme kružnici

S_{1}

. Jordanovu křivku potom můžeme brát jako prosté spojité zobrazení

γ \in 𝒞 (S_{1}, X)

Věta Jordan 1887

Nechť

γ

je Jordanova křivka v

ℝ^{2}

. Potom

ℝ^{2} ∖ ⟨ γ ⟩

má právě dvě souvislé komponenty, jednu omezenou a jednu neomezenou, a

⟨ γ ⟩

je jejich společná hranice.

Definice

Nechť

γ

je Jordanova křivka v

ℝ^{2}

. Potom omezená komponenta

ℝ^{2} ∖ ⟨ γ ⟩

je její vnitřek

int γ

a neomezená komponenta

ℝ^{2} ∖ ⟨ γ ⟩

je její vnějšek

ext γ

Definice

Nechť

(X, τ)

je topologický prostor. Uzavřená křivka

γ \in 𝒞 ([α, β], X)

je homotopická nule, pokud existuje spojité zobrazení

H \in 𝒞 ([α, β] \times [0, 1], X)

takové, že

$\forall s \in [0, 1] : H (α, s) = H (β, s)$
$\forall t \in [α, β] : H (t, 0) = γ (t)$
$\exists c \in X, \forall t \in [α, β] : H (t, 1) = c$

Zobrazení

H

je její homotopie. Intuitivně tento pojem vyjadřuje, že křivku je možné spojitě „smrsknout“ do jednoho bodu.

Definice

Topologický prostor

(X, τ)

je jednoduše souvislý, pokud je křivkově souvislý a každá uzavřená křivka je homotopická nule.

ℝ^{2} ∖ {(0, 0)}

Věta

Nechť

V

je topologický vektorový prostor a

M \subset V

je konvexní. Potom

M

je jednoduše souvislá.

F_{0}, F_{1} : M \to M, F_{0} (x) ≔ x, F_{1} (x) ≔ c, c \in M

Poznámka

Nechť

S^{2} ≔ {x \in ℝ^{3} | {‖ x ‖}_{2} = 1}

je jednotková sféra. Stereografická projekce z

S^{2} \subset ℝ^{3}

ℝ^{2}

funguje tak, že sféru postavíme na počátek a její horní pól spojíme polopřímkou s každým jiným bodem. Bod promítneme tam, kde se polopřímka protne s rovinou. Akorát samotný horní pól se nikam nepromítne. Formálně:

π : S^{2} ∖ {(0, 0, 1)} \to ℝ^{2}

π (x, y, z) ≔ (\frac{x}{1 - z}, \frac{y}{1 - z})

π^{- 1} (x, y) = (\frac{2 x}{x^{2} + y^{2} + 1}, \frac{2 y}{x^{2} + y^{2} + 1}, \frac{x^{2} + y^{2} - 1}{x^{2} + y^{2} + 1})

Provedeme-li u

ℝ^{2}

jednobodovou kompaktifikaci (viz FANA1), můžeme horní pól koule identifikovat s nekonečnem.

Věta Jordan pro sféru

Nechť

γ

je Jordanova křivka v

S^{2}

. Potom

S^{2} ∖ ⟨ γ ⟩

má právě dvě souvislé komponenty a

⟨ γ ⟩

je jejich společná hranice.

Věta Jordan - pokračování

Nechť

γ

je Jordanova křivka v

ℝ^{2}

. Potom

int γ

je jednoduše souvislý.

Definice

Nechť

p \in ℝ^{2}

γ \in 𝒞 (⟨ α, β ⟩, ℝ^{2})

je uzavřená křivka neprocházející bodem

p

. Index bodu

p

vzhledem ke křivce

γ

vyjadřuje, kolikrát křivka

γ

„oběhne“ kolem bodu

p

, přičemž oběhnutí v záporném směru počítáme záporně. Značíme

{ind}_{γ} (p)

. Formálně definujeme

Γ_{p} : [α, β] \to S_{1}, Γ_{p} (t) ≔ \frac{γ (t) - p}{{‖ γ (t) - p ‖}_{2}}

. Vezmeme-li projekci

\tilde{π} : ℝ \to S_{1}, \tilde{π} (x) ≔ (cos x, sin x)

, najdeme funkci

{\tilde{Γ}}_{p} : [α, β] \to ℝ

takovou, že

Γ_{p} = \tilde{π} \circ {\tilde{Γ}}_{p}

. Tato funkce je definovaná jednoznačně až na konstantu. Zřejmě je

{\tilde{Γ}}_{p} (β) - {\tilde{Γ}}_{p} (α) = 2 π k, k \in ℤ

. Index definujeme jako toto

k

Věta

Nechť

γ

je uzavřená křivka v

ℝ^{2}

. Potom funkce

(p : ℝ^{2} ∖ ⟨ γ ⟩) \mapsto {ind}_{γ} (p)

je spojitá, tudíž na každé souvislé komponentě je index konstantní.

Věta

Nechť

γ

je uzavřená křivka v

ℝ^{2}

p

je z neomezené souvislé komponenty

ℝ^{2} ∖ ⟨ γ ⟩

. Potom

{ind}_{γ} (p) = 0

Věta

Nechť

γ

je Jordanova křivka v

ℝ^{2}

. Potom

{ind}_{γ} (ext γ) = 0

\exists s \in {\pm 1} : {ind}_{γ} (int γ) = s

Definice

Je-li v předchozí větě

s = 1

, potom

γ

je kladně orientovaná křivka, jinak je to záporně orientovaná křivka.

Definice

Nechť

α, β \in ℝ, α < β

. Dělení intervalu

[α, β]

je konečná posloupnost

σ = {(t_{k})}_{k = 0}^{n}

, kde

α = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{n} = β

. Množinu všech dělení intervalu

[α, β]

budeme značit

𝒟 (α, β)

. Hrubost dělení je

d (σ) ≔ max_{k \in \hat{n}} | t_{k} - t_{k - 1} |

Definice

Nechť

φ : [α, β] \to ℂ

. Variace

φ

V_{α}^{β} (φ) ≔ sup {\sum_{k = 1}^{n} | φ (t_{k}) - φ (t_{k - 1}) | | {(t_{k})}_{k = 0}^{n} \in 𝒟 (α, β)}

Je-li

γ \in 𝒞 ([α, β], ℂ)

křivka, potom

V_{α}^{β} (γ)

je její délka.

Věta substituce

Nechť

φ : [α_{1}, β_{1}] \to ℂ, ω : [α_{2}, β_{2}] \to [α_{1}, β_{1}]

, přičemž

ω

je monotónní. Potom

V_{α_{1}}^{β_{1}} (φ) = V_{α_{2}}^{β_{2}} (φ \circ ω)

Důkaz Triviální. Kdyby někomu nepřišel triviální, je ve Štampachových skriptech .

Věta aditivita

Nechť

φ : [α, β] \to ℂ, τ \in (α, β)

. Potom

V_{α}^{β} (φ) = V_{α}^{τ} (φ) + V_{τ}^{β} (φ)

Důkaz Triviální. Kdyby někomu nepřišel triviální, je ve Štampachových skriptech .

Definice

Křivka

γ \in 𝒞 ([α, β], ℂ)

je regulární, pokud je po částech

𝒞^{1}

, tedy existuje dělení

{(t_{k})}_{k = 0}^{n} \in 𝒟 (α, β)

takové, že

\forall k \in \hat{n} : γ \in 𝒞^{1} ([t_{k - 1}, t_{k}], ℂ)

Věta

Nechť

γ : [α, β] \to ℂ

je regulární křivka. Potom

V_{α}^{β} (γ) = \int_{α}^{β} | γ^{'} (t) | d t < \infty

𝒞^{1}

Definice

Nechť

σ = {(τ_{k})}_{k = 0}^{n} \in 𝒟 (α, β)

\forall k \in \hat{n} : τ_{k} \in [t_{k - 1}, t_{k}]

. Dělení s vyznačenými body je dvojice posloupností

σ^{*} ≔ ({(t_{k})}_{k = 0}^{n}, {(τ_{k})}_{k = 1}^{n})

. Definujeme

d (σ^{*}) ≔ d (σ)

a značíme

D^{*} (α, β)

množinu všech dělení

[α, β]

s vyznačenými body.

Definice

Nechť

f, g \in [α, β] \to ℂ

σ^{*} \in D^{*} (α, β)

. Potom Riemannův-Stieltjesův integrální součet je

S (σ^{*}, f, g) ≔ \sum_{k = 1}^{n} f (τ_{k}) (g (t_{k}) - g (t_{k - 1}))

Definice

Nechť

f, g \in [α, β] \to ℂ

. Číslo

ℐ \in ℂ

je Riemannův-Stieltjesův integrál

f

podle

g

, pokud

\forall ε \in ℝ^{+}, \exists δ \in ℝ^{+}, \forall σ^{*} \in D^{*} (α, β), d (σ^{*}) < δ : | S (σ^{*}, f, g) - ℐ | < ε

Značíme

ℐ = \int_{α}^{β} f d g = \int_{α}^{β} f (t) d g (t)

f

je integrovaná funkce a

g

je integrující funkce. Speciálně pokud

g = id

, potom jde o Riemannův integrál.

Věta

Nechť

f, g \in [α, β] \to ℂ

. Integrál

\int_{α}^{β} f d g

existuje, právě když pro každou posloupnost vyznačených dělení

{(σ_{N}^{*})}_{N = 1}^{\infty} \subset D^{*} (α, β)

platí

lim_{N \to \infty} d (σ_{N}^{*}) = 0 ⟹ lim_{N \to \infty} S (σ_{N}^{*}, f, g) \in ℂ

Pokud existuje, potom limita napravo nezávisí na volbě

(σ_{N}^{*})

a je rovna

\int_{α}^{β} f d g

Věta linearita

Nechť

f_{1}, f_{2}, g_{1}, g_{2} : [α, β] \to ℂ

a existují

\int_{α}^{β} f d g

pro

i \in \hat{2}

. Potom pro každá

a_{1}, a_{2}, b_{1}, b_{2} \in ℂ

existuje

\int_{α}^{β} (a_{1} f_{1} + a_{2} f_{2}) d (b_{1} g_{1} + b_{2} g_{2}) = \sum_{j, k = 1}^{2} a_{j} b_{k} \int_{α}^{β} f_{j} d g_{k}

Věta

Nechť

f, g \in [α, β] \to ℂ, f \in 𝒞 ([α, β]), V_{α}^{β} (g) < \infty

. Potom existuje

\int_{α}^{β} f d g

a platí

| \int_{α}^{β} f d g | \leq {‖ f ‖}_{C} V_{α}^{β} (g)

σ^{*} = ({(t_{k})}_{k = 0}^{n}, {(τ_{k})}_{k = 1}^{n}) \in D^{*} (α, β)

Věta aditivita v mezích

Nechť

f, g \in [α, β] \to ℂ, τ \in (α, β), f \in C, c ([α, β]), V_{α}^{β} (g) < \infty

. Potom

\int_{α}^{β} f d g = \int_{α}^{τ} f d g + \int_{τ}^{β} f d g

Věta substituce

Nechť

f, g \in [α_{1}, β_{1}] \to ℂ

ω \in [α_{2}, β_{2}] \to [α_{1}, β_{1}]

je spojitá monotónní funkce a existuje

\int_{α_{1}}^{β_{1}} f d g

. Potom existuje

\int_{α_{2}}^{β_{2}} f \circ ω d (g \circ ω) = \pm \int_{α_{1}}^{β_{1}} f d g

kde znaménko závisí na tom, jestli je

ω

rostoucí, nebo klesající.

Věta bubun sekibun

Nechť

f, g : [α, β] \to ℂ

a existuje

\int_{α}^{β} f d g

. Potom existuje

\int_{α}^{β} g d f

a platí

\int_{α}^{β} f d g + \int_{α}^{β} g d f = f (β) γ (β) - f (α) g (α)

Věta

Nechť

f \in 𝒞 ([α, β], ℂ)

γ : [α, β] \to ℂ

je regulární křivka. Potom

\int_{α}^{β} f d γ = \int_{α}^{β} f (t) γ^{'} (t) d t

γ \in 𝒞^{1} ([α, β])

Definice

Je-li

Ω

souvislá, potom je to oblast.

Definice

Nechť

a \in ℂ, r \in ℝ^{+}

. Kruh se středem

a

o poloměru

r

D (a, r) ≔ {z \in ℂ | | z - a | < r}

Definice

Nechť

f : Ω \to ℂ, z_{0} \in Ω

. Číslo

f^{'} (z_{0}) \in ℂ

je derivace

f

podle komplexní proměnné, pokud existuje

f^{'} (z_{0}) ≔ lim_{z \to z_{0}} \frac{f (z) - f (z_{0})}{z - z_{0}}

Ekvivalentně na okolí

z_{0}

f (z) = f (z_{0}) + f^{'} (z_{0}) (z - z_{0}) + R (z)

, kde

lim_{z \to z_{0}} \frac{| R (z) |}{| z - z_{0} |} = 0

ℝ^{2}

K funkci

f : Ω \to ℂ

přiřaďme funkci

\tilde{f} : \tilde{Ω} \subset ℝ^{2} \to ℝ^{2}

, kde

\tilde{f} (x, y) ≔ (ℜ f (x + i y), ℑ f (x + i y))

Funkce

\tilde{f}

má v bodě

(x_{0}, y_{0})

derivaci

L ≔ d \tilde{f} (x_{0}, y_{0})

, pokud

f (x, y) = f (x_{0}, y_{0}) + L (x - x_{0}, y - y_{0}) + \tilde{R} (x, y)

, kde

lim_{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})} \frac{{‖ \tilde{R} (x, y) ‖}_{2}}{{‖ (x - x_{0}, y - y_{0}) ‖}_{2}} = 0

Pokud existuje

f^{'} (x_{0} + i y_{0}) = (α + i β)

, potom existuje i

d \tilde{f} (x_{0}, y_{0}) = (\begin{matrix} α & - β \\ β & α \end{matrix})

. A to samé platí i obráceně. Pokud ale

d \tilde{f}

existuje, ale nemá tento speciální tvar, potom

f^{'} (x_{0} + i y_{0})

už existovat nebude. Formálně to ukážeme v následující větě.

Věta Cauchy-Riemannovy rovnice

Nechť

f : Ω \to ℂ

z_{0} \in ℂ, z_{0} ≕ x_{0} + i y_{0}

. Definujme

\tilde{f} (x, y) ≔ (ℜ f (x + i y), ℑ f (x + i y))

Potom existuje

f^{'} (z_{0})

právě tehdy, pokud existuje

d \tilde{f} (x_{0}, y_{0})

a platí

\partial_{1} f_{1} (x_{0}, y_{0}) = \partial_{2} f_{2} (x_{0}, y_{0}) \land \partial_{2} f_{1} (x_{0}, y_{0}) = - \partial_{1} f_{2} (x_{0}, y_{0})

V takovém případě

f^{'} (z_{0}) = \partial_{x} f_{1} (x_{0}, y_{0}) + i \partial_{x} f_{2} (x_{0}, y_{0})

Důkaz TBD

Věta derivace složené funkce, pro reálné funkce více proměnných

Nechť

F : ℝ^{m} \to ℝ^{n}, G : ℝ^{n} \to ℝ^{p}, a \in ℝ^{m}, b ≔ F (a)

a existují

d f (a), d g (b)

. Potom existuje

d (G \circ F) (a) = d G (b) d f (a)

Věta derivace složené funkce pro funkce komplexní proměnné

Nechť

U, V \subset ℂ

jsou otevřené,

f : U \to ℂ, g : V \to ℂ, f (u) \subset V, z_{0} \in U, w_{0} ≔ f (z_{0})

a existují

f^{'} (z_{0}), g^{'} (w_{0})

. Potom

{(g \circ f)}^{'} (z_{0}) = g^{'} (w_{0}) f^{'} (z_{0})

z_{0} ≕ x_{0} + i y_{0}, w_{0} ≔ u_{0} + i v_{0}

Definice

Je-li

z \in ℂ, z ≕ x + i y

, budeme formálně psát

\partial_{z} ≔ \frac{\partial_{x} - i \partial_{y}}{2}, \partial_{\bar{z}} ≔ \frac{\partial_{x} + i \partial_{y}}{2}

Poznámka Odůvodnění, že to dává smysl: TBD

\partial_{\bar{z}} f (x, y) = 0

Poznámka

Komplexní čísla můžeme psát v polárních souřadnicích:

x + i y = r exp (i ϕ)

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, ϕ = arctan2 (y, x)

x = r cos ϕ, y = r sin ϕ

\partial_{x} = cos ϕ \partial_{r} - \frac{sin ϕ}{r} \partial_{ϕ}

\partial_{y} = sin ϕ \partial_{r} + \frac{cos ϕ}{r} \partial_{ϕ}

\partial_{z} = \frac{exp (- i ϕ)}{2} (\partial_{r} - \frac{i}{r} \partial_{ϕ})

\partial_{\bar{z}} = \frac{exp (i ϕ)}{2} (\partial_{r} + \frac{i}{r} \partial_{ϕ})

Definice

Funkce

f : Ω \to ℂ

je holomorfní, pokud má derivaci v každém bodě. Množinu všech holomorfních funkcí značíme

H (Ω)

Poznámka

Pokud pro

f : Ω \to ℂ, z_{0} \in Ω

existuje

f^{'} (z_{0})

, potom

f

je spojitá v

z_{0}

Poznámka

Pokud

f, g : Ω \to ℂ, λ \in ℂ, z_{0} \in Ω

a existují

f^{'} (z_{0}), g^{'} (z_{0})

, potom platí

{(λ f + g)}^{'} (z_{0}) = λ f^{'} (z_{0}) + g^{'} (z_{0})

{(f g)}^{'} (z_{0}) = f (z_{0}) g^{'} (z_{0}) + f^{'} (z_{0}) g (z_{0})

H (Ω)

Poznámka

Z věty o derivaci složené funkce plyne, že složení dvou holomorfních funkcí je holomorfní.

Lemma

Nechť

U \subset ℝ^{2}

je otevřená množina a

f : U \to ℂ, (x_{0}, y_{0}) \in U

. Definujme

\tilde{f} : ℝ^{2} \to ℝ^{2}, \tilde{f} (x, y) ≔ (ℜ f (x, y), ℑ f (x, y))

Existuje-li

d \tilde{f} (x_{0}, y_{0})

, potom

\forall (ξ, η) \in ℝ^{2} : (1, i) \cdot d \tilde{f} (x_{0}, y_{0}) (ξ, η) = \partial_{z} f (x_{0}, y_{0}) ζ + \partial_{\bar{z}} f (x_{0}, y_{0}) \bar{ζ}

kde

ζ ≔ ξ + i η

Důkaz TBD, stačí si rozepsat obě strany

Věta

Nechť

f : Ω \to ℂ

má jako funkce

ℝ^{2} \to ℝ^{2}

všechny parciální derivace spojité na

Ω

. Potom

f

je holomorfní na

Ω

, právě když splňuje Cauchy-Riemannovy rovnice:

\partial_{\bar{z}} f (x, y) = 0, (x + i y) \in Ω

V takovém případě

f^{'} (z) = \partial_{z} f (ℜ z, ℑ z)

ξ ≔ 1, η ≔ 0

Cvičení

Nechť

Ω ≔ ℂ ∖ (- \infty, 0], z \in Ω, z ≕ r exp i ϕ, r \in ℝ^{+}, ϕ \in (- π, π)

. Definujme komplexní logaritmus:

ln z ≔ ln r + i φ

Dokažte, že je to holomorfní funkce, a spočtěte derivaci.

\bar{z}

Cvičení

Pro

a \in ℂ

definujme komplexní exponenciálu:

exp a ≔ \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a^{n}}{n!}

Dokažte, že

exp a \cdot exp b = exp (a + b)

Příklad

Nechť

Ω ≔ ℂ ∖ (- \infty, 0], a \in ℂ, z \in Ω

. Definujme komplexní mocninu:

z^{a} ≔ exp (a ln z)

Dokažte, že platí

z^{a} \cdot z^{b} = z^{a + b}

a funkce je holomorfní vzhledem k

z

. Určete její derivaci.

Věta

Nechť

I \subset ℝ

je interval,

u_{n} : 𝒞^{1} (I, ℂ)

, řada

u (x) ≔ \sum_{n = 0}^{\infty} u_{n} (x)

konverguje alespoň v jednom bodě

x_{0} \in I

a řada

v (x) ≔ \sum_{n = 0}^{\infty} u_{n^{'}} (x)

konverguje lokálně stejnoměrně na

I

. Potom řada

u

také konverguje lokálně stejnoměrně na

I

u \in 𝒞^{1} (I)

a platí

u^{'} = v

Definice

Nechť

a \in ℂ

c_{n} \in ℂ, n \in ℕ

. Potom poloměr konvergence mocninné řady

\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n}

R ≔ \frac{1}{\underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| c_{n} |}}

r \in [0, R)

z \in ℂ, | z - a | > R

r \in (0, R)

Věta

Zderivovaná řada

\sum_{n = 1}^{\infty} n c_{n} {(z - a)}^{n - 1}

má stejný poloměr konvergence jako

\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n}

R^{'}

Definice

Funkce

f : Ω \to ℂ

je analytická na

Ω

, pokud pro každé

a \in Ω

existuje

r \in ℝ^{+}

takové, že

D (a, r) \subset Ω

f

lze na

D (a, r)

vyjádřit jako konvergentní mocninnou řadu se středem v

a

Věta

Nechť mocninná řada

f (z) ≔ \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n}

má poloměr konvergence

R \in (0, \infty]

. Potom

f \in H (D (a, R))

a platí

f^{'} (z) = \sum_{n = 1}^{\infty} n c_{n} {(z - a)}^{n - 1}

a = 0

w, z \in ℂ

f

r \in ℝ^{+}, a \in ℂ

f : Ω \to ℂ

Definice

Nechť

f : Ω \to ℂ

f

lze na

Ω

vyjádřit mocninnou řadou, pokud pro všechny

D (a, r) \subset Ω

lze

f

zapsat jako mocninnou řadu se středem v

a

Cvičení

Nechť

Ω_{0} ≔ ℂ ∖ 2 π i ℤ, Ω ≔ Ω_{0} \cup {0}

. Definujme

f : Ω_{0} \to ℂ

f (z) ≔ \frac{z}{exp z - 1}

Tato funkce je holomorfní, protože je to podíl dvou holomorfních funkcí. Ukažte, že má limitu v nule.

lim_{z \to 0} f (z) = lim_{z \to 0} \frac{z}{\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} - 1} = lim_{z \to 0} \frac{1}{\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{z^{n - 1}}{n!}} = 1

Dodefinujeme-li ji, aby byla definovaná na

Ω

, můžeme ji na nějakém

D (0, r)

rozvinout do mocninné řady, čímž definujeme Bernoulliova čísla:

f (z) ≕ \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{B_{n}}{n!} z^{n}

Najděte poloměr konvergence a spočtěte

B_{0}, B_{1}, B_{2}

R = 2 π

Dokažte, že pro všechna lichá

n \geq 3

B_{n} = 0

f (- z) = \frac{- z}{exp (- z) - 1} = \frac{- z exp z}{1 - exp z} = \frac{z exp z}{exp z - 1}

Dokažte, že pro

n \in ℕ

platí

\sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{B_{k}}{k! (n - k)!} = [n = 1]

z = f (z) (exp z - 1) = (\sum \dots) (\sum \dots)

Cvičení

Mějme

a \in ℂ, Ω ≔ ℂ ∖ {a}, f (z) ≔ \frac{1}{z - a}

. Zjevně

f \in H (Ω)

. Pro dané

z_{0} \neq a

vyjádřete

f (z)

jako mocninnou řadu na okolí

z_{0}

f (z) = \frac{1}{(z - z_{0}) + (z_{0} - a)} = \frac{1}{z_{0} - a} \cdot \frac{1}{1 - \frac{z_{0} - z}{z_{0} - a}} = \frac{1}{z_{0} - a} \sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{z_{0} - z}{z_{0} - a})}^{n}

Definice

Nechť

γ : [α, β] \to ℂ

je regulární křivka a

f \in 𝒞 (⟨ γ ⟩)

. Potom integrál

f

podle

γ

\int_{γ} f = \int_{γ} f (z) d z ≔ \int_{α}^{β} f (γ (t)) γ^{'} (t) d t

f

Poznámka

| \int_{γ} f | = | \int_{α}^{β} f (γ (t)) γ^{'} (t) d t | \leq {‖ f ‖}_{𝒞 (⟨ γ ⟩)} V_{α}^{β} (γ)

Poznámka substituce

Nechť

γ : [α, β] \to ℂ

je regulární křivka,

f \in 𝒞 (⟨ γ ⟩)

ω : [α_{1}, β_{1}] \to [α, β]

𝒞^{1}

bijekce splňující

ω^{'} (t) > 0, t \in [α_{1}, β_{1}]

(z čehož plyne

ω (α_{1}) = α, ω (β_{1}) = β

). Označme

γ_{1} ≔ γ \circ ω

; zřejmě

⟨ γ_{1} ⟩ = ⟨ γ ⟩

. Potom

\int_{γ_{1}} f = \int_{α_{1}}^{β_{1}} f (γ_{1} (t)) γ_{1^{'}} (t) d t = \int_{α_{1}}^{β_{1}} f (γ (ω (t))) γ^{'} (ω (t)) ω^{'} (t) d t \overset{s ≔ ω (t)}{=} \int_{α}^{β} f (γ (s)) γ^{'} (s) d s = \int_{γ} f

Poznámka vopáčná křivka

Nechť

γ : [α, β] \to ℂ

je regulární křivka,

f \in ℂ (⟨ γ ⟩)

ω : [α, β] \to [α, β], ω (t) ≔ α + β - t

. Označme

γ_{1} ≔ γ \circ ω

; zřejmě

⟨ γ_{1} ⟩ = ⟨ γ ⟩

. Potom

\int_{γ_{1}} f = \int_{α}^{β} f (γ_{1} (t)) γ_{1^{'}} (t) d t = \int_{α}^{β} f (γ (ω (t))) γ^{'} (ω (t)) ω^{'} (t) d t \overset{s ≔ ω (t)}{=} \int_{β}^{α} f (γ (s)) γ^{'} (s) d s = - \int_{γ} f

Řekneme, že

γ_{1}

je vopáčná křivka ke

γ

. Značíme

γ_{1} = - γ

Věta

Nechť

γ : [α, β] \to ℂ

je regulární křivka,

φ, ψ \in 𝒞 (⟨ γ ⟩)

. Pro

Ω ≔ ℂ ∖ φ (⟨ γ ⟩)

položme

f : Ω \to ℂ, f (z) ≔ \int_{γ} \frac{ψ (ζ)}{φ (ζ) - z} d ζ

Potom

f

lze na

Ω

vyjádřit jako mocninnou řadu.

D (a, r) \subset Ω

Příklad

Je-li

a \in ℂ, r \in ℝ^{+}

, potom kladně orientovaná kružnice je křivka

γ (t) ≔ a + r exp i t, t \in [0, 2 π]

. Její vopáčnou křivkou je záporně orientovaná kružnice

\tilde{γ} (t) ≔ a + r exp (- i t), t \in [0, 2 π]

Příklad

Úsečka mezi body

a, b \in ℂ

, kterou značíme

[a, b]

, je křivka

γ (t) ≔ a + (b - a) t = (1 - t) a + t b, t \in [0, 1]

. Pro integrál po úsečce platí

\int_{[a, b]} f = (b - a) \int_{0}^{1} f (a + (b - a) t) d t

Snadno ověříme, že

[b, a]

je vopáčná křivka k

[a, b]

Příklad

Pro

a, b, c \in ℂ

máme trojúhelník

△ (a, b, c) ≔ {[a, b, c]}_{κ}

. Jeho obvod je křivka, přičemž s trochou pochybného značení můžeme psát

\partial △ (a, b, c) = [a, b] \oplus︎ [b, c] \oplus︎ [c, a]

Pro integrál máme

\int_{\partial △ (a, b, c)} f = \int_{[a, b]} f + \int_{[b, c]} f + \int_{[c, a]} f

Sudé permutace

\partial △ (a, b, c), \partial △ (b, c, a), \partial △ (c, a, b)

jsou ekvivalentní křivky.Liché permutace

\partial △ (b, a, c), \partial △ (a, c, b), \partial △ (c, b, a)

jsou k nim vopáčné křivky.

Definice

Nechť

γ : [α, β] \to ℂ

je regulární uzavřená křivka a

z \in ℂ ∖ ⟨ γ ⟩

. Potom index bodu

z

vzhledem ke

γ

{ind}_{γ} (z) ≔ \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{d ζ}{ζ - z}

{ind}_{γ}

Věta

Nechť

γ : [α, β] \to ℂ

je regulární uzavřená křivka a

Ω ≔ ℂ ∖ ⟨ γ ⟩

. Potom funkce

{ind}_{γ} : Ω \to ℂ

nabývá celočíselné hodnoty, je konstantní na každé souvislé komponentě a na neomezené komponentě nabývá hodnotu

0

z \in Ω

Poznámka

Nechť

\emptyset \neq U \subset ℂ

je otevřená množina,

F \in H (U)

I \subset ℝ

je interval a

γ \in 𝒞^{1} (I), ⟨ γ ⟩ \subset U

. Potom pro všechna

t \in I

platí

{(F \circ γ)}^{'} (t) = F^{'} (γ (t)) γ^{'} (t)

přičemž první derivace na pravé straně je podle komplexní proměnné a druhá podle reálné proměnné.

\partial_{\bar{z}} F = 0, \partial_{z} F = F^{'}

Věta

Nechť

F \in H (Ω), F^{'} \in 𝒞 (Ω)

γ : [α, β] \to Ω

je regulární křivka. Potom

\int_{γ} F^{'} = F (γ (β)) - F (γ (a))

Speciálně je-li

γ

uzavřená, potom

\int_{γ} F^{'} = 0

\int_{γ} F^{'} = \int_{α}^{β} F^{'} (γ (t)) γ^{'} (t) d t = \int_{α}^{β} {(F \circ γ)}^{'} = F (γ (β)) - F (γ (a))

γ

Definice

Nechť

(X, ρ)

je metrický prostor a

K \subset X

je kompaktní. Potom průměr

K

diam K ≔ max_{x, y \in K} ρ (x, y)

Lemma

Nechť

(X, τ)

je Hausdorffův prostor a

\emptyset \neq K_{n} \subset X, n \in ℕ

jsou kompaktní, přičemž

\forall n \in ℕ : K_{n} \supset K_{n + 1}

. Potom

⋂_{n = 1}^{\infty} K_{n} \neq \emptyset

K_{n}

(X, ρ)

Věta Goursat

Nechť

f \in H (Ω)

Δ ≔ △ (a, b, c) \subset Ω

. Potom

\int_{\partial Δ} f = 0

a, b, c

Věta

Nechť

f \in 𝒞 (Ω)

K \subset Ω

je kompaktní,

a \in Ω

a platí, že

\forall w \in K : [a, w] \subset Ω

. Potom

(w \in Ω) \mapsto \int_{[a, w]} f

je spojitá funkce.

\int_{[a, w]} f = (w - a) \int_{0}^{1} f (a + t (w - a)) d t

Věta

Nechť pro nějaké

p \in Ω

f \in H (Ω) ∖ {p}

f \in 𝒞 (Ω)

. Potom pro všechny

Δ ≔ △ (a, b, c) \subset Ω

\int_{\partial Δ} f = 0

p \notin Δ

Lemma

Nechť

Ω

je konvexní,

f \in 𝒞 (Ω)

a platí, že pro všechny

Δ ≔ △ (a, b, c), a, b, c \in Ω

\int_{\partial Δ} f = 0

. Potom

f

má primitivní funkci

F \in H (Ω)

a \in Ω

Věta

Nechť

Ω

je konvexní,

p \in Ω, f \in H (Ω ∖ {p})

f \in 𝒞 (Ω)

. Potom pro každou regulární uzavřenou křivku

γ

Ω

platí

\int_{γ} f = 0

(Speciálně to platí i pro

f \in H (Ω)

f

Věta Cauchyův vzorec pro konvexní množiny

Nechť

Ω

je konvexní,

f \in H (Ω)

γ

je regulární uzavřená křivka v

Ω

. Potom

\forall z \in Ω ∖ ⟨ γ ⟩ : \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (ζ)}{ζ - z} d ζ = {ind}_{γ} (z) f (z)

z \in Ω ∖ ⟨ γ ⟩

Věta

Nechť

f \in H (Ω)

. Potom

f

lze vyjádřit na

Ω

mocninnou řadou.

D (a, r) \subset Ω

Důsledek

Nechť

f : Ω \to ℂ

. Potom následující výroky jsou ekvivalentní:

$f \in H (Ω)$
$f$ je analytická na $Ω$
$f$ lze vyjádřit mocninnou řadou na $Ω$

Důsledek

Je-li

f \in H (Ω)

, potom

f^{'} \in H (Ω)

f \in H (Ω) ⟹ f je analytická ⟹ f^{'} je analytická ⟹ f^{'} \in H (Ω)

Důsledek

Je-li

f \in H (Ω)

, potom má derivace všech řádů.

Věta Morera

Nechť

f \in 𝒞 (Ω)

a pro každý trojúhelník

Δ \subset Ω

platí

\int_{\partial Δ} f = 0

. Potom

f \in H (Ω)

D (a, r) \subset Ω

Definice

Nechť

f \in H (Ω)

. Potom množina jejích kořenů je

𝒵 (f) ≔ f^{- 1} ({0}) = {z \in Ω | f (z) = 0}

𝒵 (f)

Poznámka

Nechť

U_{1}, U_{2} \subset ℂ

jsou otevřené a neprázdné a

g_{1} \in H (U_{1}), g_{2} \in H (U_{2})

splňují

\forall z \in U_{1} \cap U_{2} : g_{1} (z) = g_{2} (z)

. Potom existuje právě jedna

g \in H (U_{1} \cup U_{2})

taková, že

g |_{U_{1}} = g_{1}, g |_{U_{2}} = g_{2}

Poznámka

Nechť

f \in H (Ω), a \in Ω

. Potom

f

je nulová na nějakém okolí

a

právě tehdy, pokud všechny její derivace v

a

jsou nulové, tedy

\forall n \in ℕ_{0} : f^{n} (a) = 0

a

f \in 𝒞^{\infty} (ℝ)

Věta

Nechť

f \in H (Ω), a \in Ω

, přičemž

f

není všude rovna nule na žádném okolí

a

. Potom existují jednoznačná

m \in ℕ_{0}, g \in H (Ω)

taková, že

g (a) \neq 0

\forall z \in Ω : f (z) = {(z - a)}^{m} g (z)

\forall z \in Ω : f (z) = {(z - a)}^{m_{1}} g_{1} (z) = {(z - a)}^{m_{2}} g_{2} (z)

Důsledek

Nechť

f \in H (Ω), a \in Ω, f (a) = 0

. Potom buď

f

je nulová na nějakém okolí

a

, nebo

a

je izolovaný kořen.

f

Důsledek

Nechť

f \in H (Ω)

a \in Ω

je izolovaný kořen. Potom existují jednoznačná

m \in ℕ, g \in H (Ω)

taková, že

g (a) \neq 0

\forall z \in Ω : f (z) = {(z - a)}^{m} g (z)

Definice

m

z předchozí věty je násobnost kořenu

a

Věta

Nechť

Ω

je oblast a

f \in H (Ω)

. Potom buď

f = 0

(neboli

𝒵 (f) = Ω

), nebo

𝒵 (f)

nemá hromadný bod. Jinými slovy, všechny kořeny funkce různé od nuly jsou izolované.

A \subset Ω

𝒵 (f)

Poznámka

Nechť

U \subset ℂ

je otevřená. Potom existuje posloupnost kompaktních množin

(K_{n})

, jejíž sjednocení je celé

U

ℳ ≔ {\bar{D} (a, r) \subset U | a \in ℚ [i], r \in ℚ^{+}}

Důsledek

Nechť

Ω

je souvislá a

f \in H (Ω)

není všude nulová. Potom

𝒵 (f)

je nejvýše spočetná.

𝒵 (f)

Důsledek

Nechť

Ω

je souvislá a

f, g \in H (Ω)

. Má-li množina

{z \in Ω | f (z) = g (z)}

hromadný bod, potom se funkce rovnají.

f - g

Poznámka

Existuje právě jedno prodloužení funkce

ln

ℂ ∖ (- \infty, 0]

, ale na celé

ℂ

ji prodloužit nelze.

Příklad

Ω ≔ ℂ ∖ {0}

definujme funkci

f (z) ≔ sin \frac{π}{z}

. Kořeny této funkce mají hromadný bod

0

, ale to nám nevadí, protože neleží v

Ω

Definice

Pro

a \in ℂ, r \in ℝ^{+}

budeme značit „propíchnutý disk“

D^{'} (a, r) ≔ D (a, r) ∖ {a}

Definice

Nechť

Ω \subset ℂ

je oblast,

a \in Ω

f \in H (Ω ∖ {a})

. Potom

f

má v

a

izolovanou singularitu. Je-li možné

f

rozšířit na celé

Ω

tak, aby pořád byla holomorfní, jde o odstranitelnou singularitu.

Věta

Nechť

a \in Ω, f \in H (Ω ∖ {a})

. Potom singularita je odstranitelná právě tehdy, pokud pro nějaké

r \in ℝ^{+}

D (a, r) \subset Ω

f

je omezená na

D^{'} (a, r)

(\Rightarrow)

Definice

Nechť

a \in Ω, f \in H (Ω ∖ {a})

f

má v

a

pól řádu

m \in ℕ

, pokud existují

c_{1}, \dots, c_{m} \in ℂ, c_{m} \neq 0

taková, že funkce

f (z) - \sum_{k = 1}^{m} \frac{c_{k}}{{(z - a)}^{k}}

má v

a

odstranitelnou singularitu. Tato sumáž se nazývá hlavní část

f

a

f (z) = \sum_{k = 1}^{m} \frac{c_{k}}{{(z - a)}^{k}} + g (z)

Definice

Nechť

a \in Ω, f \in H (Ω ∖ {a})

f

má v

a

podstatnou singularitu, pokud pro všechny

D (a, r) \subset Ω

f (D^{'} (a, r))

hustá podmnožina

ℂ

Lemma

Nechť

a \in Ω, f \in H (Ω ∖ {a})

Má-li $f$ v $a$ odstranitelnou singularitu, potom $lim_{a} f \in ℂ$ .
Má-li $f$ v $a$ pól, potom $lim_{a} f = \infty$ .
Má-li $f$ v $a$ podstatnou singularitu, potom neexistuje $lim_{a} f$ .

g \in H (a)

Věta

Nechť

a \in Ω, f \in H (Ω ∖ {a})

. Potom nastane právě jedna z možností:

$f$ má v $a$ odstranitelnou singularitu.
$f$ má v $a$ pól.
$f$ má v $a$ podstatnou singularitu.

f

Příklad

Funkce

f (z) ≔ exp \frac{1}{z}

na množině

Ω ≔ ℂ ∖ {0}

má podstatnou singularitu v bodě

0

Věta Parsevalova rovnost pro funkci komplexní proměnné

Nechť

a \in ℂ, R \in ℝ^{+} \cup {+ \infty}

f \in H (D (a, R))

má tvar mocninné řady

f (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n}

Potom pro všechna

r \in (0, R)

platí

\sum_{n = 0}^{\infty} {| c_{n} |}^{2} r^{2 n} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} {| f (a + r exp i θ) |}^{2} d θ

f (a + r exp i θ) = \sum_{n = 1}^{\infty} c_{n} r^{n} exp i n θ

Věta Liouville

Je-li

f \in H (ℂ)

omezená na

ℂ

, potom je konstantní.

\forall z \in ℂ : | f (z) | \leq M

Věta základní věta algebry

Každý komplexní polynom stupně alespoň 1 má kořen.

P

Věta

Nechť

A \in ℝ_{0}^{+}

(b_{n}) \subset ℝ

. Potom

\underset{n \to \infty}{lim sup} A b_{n} = A \underset{n \to \infty}{lim sup} b_{n}

Věta

Nechť

(a_{n}), (b_{n}) \subset ℝ

lim_{n \to \infty} a_{n} = A \in ℝ_{0}^{+}

. Potom

\underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} b_{n} = A \underset{n \to \infty}{lim sup} b_{n}

B ≔ \underset{n \to \infty}{lim sup} b_{n}

Cvičení

Ω ≔ ℂ ∖ {\pm i}

definujme funkci

f (z) ≔ \frac{1}{z^{2} + 1}

Vyjádřete tuto funkci jako mocninnou řadu kolem daného

z_{0} \in Ω

. Určete poloměr konvergence.

f (z) = \frac{i}{2 (z + i)} - \frac{i}{2 (z - i)}

Věta

Nechť

A \subset ℂ

nemá hromadný bod a

f \in H (ℂ ∖ A)

nemá odstranitelnou singularitu v žádném bodě

A

. Potom pro všechna

z_{0} \in ℂ ∖ A

lze

f

vyjádřit jako mocninnou řadu se středem

z_{0}

a poloměrem konvergence

R ≔ dist (z_{0}, A) > 0

R

Poznámka

Nechť

f \in H (Ω), z_{0} = x_{0} + i y_{0} \in Ω, f^{'} (z_{0}) ≕ α + i β \neq 0

. Vezmeme-li

f

jako funkci

ℝ^{2} \to ℝ^{2}

, potom snadno ověříme, že jakobián je nenulový, takže má inverzi na okolí

(x_{0}, y_{0})

Cvičení

Nechť

Ω \subset ℂ

je souvislá. Najďěte všechny

f \in H (Ω)

takové, že

f (Ω) \subset ℝ

f (x + i y) = u + i v

Cvičení

Spočtěte

\int_{[i, 2 + 3 i]} z exp z^{2} d z

\int_{[i, 2 + 3 i]} z exp z^{2} d z = \int_{[i, 2 + 3 i]} {(\frac{exp z^{2}}{2})}^{'} d z = {[\frac{exp z^{2}}{2}]}_{i}^{2 + 3 i}

Věta

Nechť

a \in ℂ, R \in (0, \infty], f \in H (D (a, R))

. Potom pro všechna

r \in (0, R)

platí

| f (a) | \leq max_{θ \in ℝ} | f (a + r exp i θ) |

přičemž rovnost nastane právě tehdy, pokud

f

je konstantní.

f

Důsledek

Nechť

a \in ℂ, R \in (0, \infty], f \in H (D (a, R))

a navíc

\forall z \in D (a, R) : f (z) \neq 0

. Potom pro všechna

r \in (0, R)

platí

| f (a) | \geq min_{θ \in ℝ} | f (a + r exp i θ) |

\frac{1}{f}

Věta princip maximálního modulu

Nechť

Ω

je souvislá a

f \in H (Ω)

není konstantní. Potom

| f |

nemá v

Ω

lokální maximum.

a \in Ω

Důsledek

Nechť

Ω

je souvislá a

f \in H (Ω)

není konstantní a nemá kořen v

Ω

. Potom

| f |

nemá v

Ω

lokální minimum.

\frac{1}{f}

Důsledek

Nechť

Ω

je souvislá a omezená a

f \in H (Ω), f \in 𝒞 (\bar{Ω})

. Potom

max_{z \in \bar{Ω}} | f (z) | = max_{z \in \partial Ω} | f (z) |

Navíc pokud

f

není konstantní, potom

\forall a \in Ω : | f (a) | < max_{z \in \partial Ω} | f (z) |

\bar{Ω}

Věta Cauchyův odhad

Nechť

a \in ℂ, R \in ℝ^{+}, f \in H (D (a, R))

| f |

je na

D (a, R)

omezená konstantou

M \in ℝ^{+}

. Potom

\forall n \in ℕ_{0} : | f^{n} (a) | \leq \frac{n! M}{R^{n}}

f

R = \infty

Definice

Nechť

f_{j} : Ω \to ℂ

pro každé

j \in ℕ

f : Ω \to ℂ

. Posloupnost

(f_{j})

konverguje stejnoměrně na kompaktních podmnožinách

Ω

, pokud konverguje stejnoměrně k

f

na každé kompaktní

K \subset Ω

Definice

Nechť

f_{j} : Ω \to ℂ

pro každé

j \in ℕ

f : Ω \to ℂ

. Posloupnost

(f_{j})

konverguje lokálně stejnoměrně na

Ω

, pokud pro každé

a \in Ω

existuje okolí

U_{a} \subset Ω

, na němž

(f_{j})

konverguje stejnoměrně k

f

Poznámka

Posloupnost konverguje stejnoměrně na kompaktních podmnožinách, právě když konverguje lokálně stejnoměrně.

U_{a} ≔ D (a, r)

Věta

Nechť

f_{j} \in H (Ω)

pro každé

j \in ℕ

(f_{j})

konverguje stejnoměrně k

f : Ω \to ℂ

na kompaktních podmnožinách

Ω

. Potom

f \in H (Ω)

f_{j^{'}} ⇉ f^{'}

na kompaktních podmnožinách

Ω

a \in Ω

Definice

Nechť

Γ ≔ (γ_{1}, \dots, γ_{n})

je soubor regulárních uzavřených křivek v

Ω

. Značíme

⟨ Γ ⟩ ≔ ⋃_{j = 1}^{n} ⟨ γ_{j} ⟩

Pro

f \in 𝒞 (⟨ Γ ⟩)

značíme

\int_{Γ} f ≔ \sum_{i = 1}^{n} \int_{γ_{j}} f

Pro

a \in ℂ ∖ ⟨ Γ ⟩

značíme

{ind}_{Γ} (a) ≔ \frac{1}{2 π i} \int_{Γ} \frac{d z}{z - a} = \sum_{j = 1}^{n} {ind}_{γ_{j}} (a)

n = 1

Γ = \sum_{j = 1}^{n} γ_{n}

Důkaz

Definujme

g : Ω^{2} \to ℂ

jako

g (z, w) ≔ {\begin{cases} \frac{f (z) - f (w)}{z - w}, & z \neq w \\ f^{'} (z), & z = w \end{cases}

Nejprve dokážeme, že

g \in 𝒞 (Ω^{2})

. V bodech, kde

z \neq w

, je to zřejmé. Zároveň máme

f (z) - f (w) = \int_{0}^{1} \frac{d}{d t} f (w + t (z - w)) d t = (z - w) \int_{0}^{1} f^{'} (w + t (z - w)) d t

Neboli pro každá

z, w \in Ω

(i v případě

z = w

) platí

g (z, w) = \int_{0}^{1} f^{'} (z + t (z - w)) d t

Vezmeme-li libovolné

a \in Ω

, potom

lim_{z, w \to a} g (z, w) = lim_{z, w \to a} \int_{0}^{1} f^{'} (z + t (z - w)) d t = \int_{0}^{1} f^{'} (a) d t = f^{'} (a) = g (a, a)

přičemž můžeme prohodit integrál a limitu, protože

f^{'}

je spojitá, takže na nějakém kompaktním okolí bodu

a

je omezená.Nyní pro

z \in Ω

definujme

h (z) ≔ \frac{1}{2 π i} \int_{Γ} g (z, w) d w

Dokážeme, že

h \in H (Ω)

. Pro pevné

w \in Ω

snadno ověříme, že funkce

z \mapsto g (z, w)

je holomorfní: pro

z \neq w

je to zřejmé a jelikož

g

je spojitá, singularita v

z = w

je odstranitelná. Nyní vezměme trojúhelník

Δ \subset Ω

, potom

2 π i \int_{\partial Δ} h = \int_{\partial Δ} \int_{Γ} g (z, w) d w d z \overset{Fubini}{=} \int_{Γ} \int_{\partial Δ} g (z, w) d z d w \overset{Goursat}{=} \int_{Γ} 0 d w = 0 \overset{Morera}{\to} h \in H (Ω)

kde Fubiniho větu můžeme použít, protože

⟨ \partial Δ ⟩ \times ⟨ Γ ⟩

je kompaktní a

g

je spojitá. Teď dokážeme, že

h (z) = 0

. Definujme

Ω_{1} ≔ {z \in ℂ ∖ ⟨ Γ ⟩ | {ind}_{Γ} (z) = 0}

Podle předpokladu je

ℂ ∖ Ω \subset Ω_{1}

, tedy

Ω \cup Ω_{1} = ℂ

. Definujme funkci

h_{1} : Ω_{1} \to ℂ

h_{1} (z) ≔ \frac{1}{2 π i} \int_{Γ} \frac{f (w)}{w - z} d w

Zřejmě

h_{1} \in H (Ω_{1})

(jmenovatel zlomku nikdy nebude nula, protože

z \in Ω_{1} ⟹ z \notin ⟨ Γ ⟩

). Jelikož pro

z \in Ω_{1}

{ind}_{Γ} (z) = 0

, pro každé

z \in Ω \cap Ω_{1}

platí

h_{1} (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{Γ} \frac{f (w)}{w - z} d w - {ind}_{Γ} (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{Γ} \frac{f (w) - f (z)}{w - z} d w = \frac{1}{2 π i} g (z, w) d w = h (z)

Tudíž je možné spojit

h

h_{1}

do jedné funkce

φ \in H (ℂ)

. Vezměme

R \in ℝ^{+}

takové, že

⟨ Γ ⟩ \subset \bar{D} (0, R)

. Potom pro každé

z \in ℂ ∖ \bar{D} (0, R)

{ind}_{Γ} (z) = 0

, takže

z \in Ω_{1}

, z čehož plyne

φ (z) = h_{1} (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{Γ} \frac{f (w)}{w - z} d w \overset{| z | \to \infty}{\to} 0

Tudíž

φ

je omezená a podle Liouvillovy věty je nulová. Speciálně pro

z \in Ω ∖ ⟨ Γ ⟩

máme

0 = φ (z) = h (z) = \frac{1}{2 π i} \int_{Γ} \frac{f (z) - f (w)}{z - w} d w = \frac{1}{2 π i} \int_{Γ} \frac{f (w)}{w - z} d w - {ind}_{Γ} (z) \cdot f (z)

což je přesně tvrzení Cauchyova vzorce. Zbývá dokázat Cauchyovu větu. Vezměme libovolné

a \in Ω ∖ ⟨ Γ ⟩

. Pro

z \in Ω

definujme

F (z) ≔ (z - a) \cdot f (z)

Zjevně

F \in H (Ω)

. Z Cauchyova vzorce plyne

\int_{Γ} f (z) d z = \int_{Γ} \frac{F (z)}{z - a} d z = 2 π i \cdot {ind}_{Γ} (a) \cdot F (a) = 0

Důsledek

Nechť

Γ_{0}, Γ_{1}

jsou soubory regulárních uzavřených křivek v

Ω

a pro všechna

a \in ℂ ∖ Ω

{ind}_{Γ_{0}} (a) = {ind}_{Γ_{1}} (a)

. Potom pro každou

f \in H (Ω)

\int_{Γ_{0}} f = \int_{Γ_{1}} f

Γ_{0} = (γ_{1}, \dots, γ_{m}), Γ_{1} = (η_{1}, \dots, η_{n})

Důsledek

Nechť

γ

je regulární Jordanova křivka v

Ω

int Γ \subset Ω

. Potom

\forall f \in H (Ω) : \int_{γ} f = 0

Γ ≔ ⟨ γ ⟩

Definice

Uzavřené křivky

γ_{0}, γ_{1} : [α, β] \to Ω

jsou homotopické v

Ω

, pokud existuje spojitá funkce

H : [α, β] \times [0, 1] \to Ω

taková, že

$\forall s \in [0, 1] : H (α, s) = H (β, s)$
$\forall t \in [α, β] : H (t, 0) = γ_{0} (t)$
$\forall t \in [α, β] : H (t, 1) = γ_{1} (t)$

s \in [0, 1]

Lemma

Nechť

γ_{0}, γ_{1}

jsou regulární uzavřené křivky v

ℂ

w \in ℂ

a křivky jsou k sobě blíž, než je jedna z nich k bodu

w

, formálně řečeno platí

\forall t \in [α, β] : | γ_{1} (t) - γ_{0} (t) | < | w - γ_{0} (t) |

Potom

{ind}_{γ_{0}} (w) = {ind}_{γ_{1}} (w)

t \in [α, β]

Věta

Nechť

γ_{0}, γ

jsou regulární uzavřené křivky v

Ω

a jsou homotopické. Potom pro každé

w \in ℂ ∖ Ω

{ind}_{γ_{0}} (w) = {ind}_{γ} (w)

γ_{0}, γ

Poznámka

Je-li

γ

konstantní křivka, potom zjevně z definice její index ve všech bodech kromě toho jednoho je

0

Důsledek

Nechť

γ

je regulární uzavřená křivka v

Ω

homotopická nule. Potom pro všechny

f \in H (Ω)

platí

$\int_{γ} f = 0$
$\forall z \in Ω ∖ ⟨ γ ⟩ : \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (w)}{w - z} d w = {ind}_{γ} (z) \cdot f (z)$

Důkaz Speciální případ Cauchyovy věty.

Ω

Důsledek

Nechť

γ_{1}, γ_{2}

jsou dvě homotopické křivky v

Ω

. Potom pro všechny

f \in H (Ω)

platí

\int_{γ_{1}} f = \int_{γ_{2}} f

Γ ≔ (- γ_{1}, γ_{2})

Definice

Nechť

a \in ℂ

r_{1}, r_{2} \in [0, \infty], r_{1} < r_{2}

. Potom mezikruží se středem

a

a poloměry

r_{1}, r_{2}

P (a, r_{1}, r_{2}) ≔ {z \in ℂ | r_{1} < | z - a | < r_{2}} = D (a, r_{2}) ∖ \bar{D} (a, r_{1})

P (a, 0, r) = D^{'} (a, r)

Definice

Nechť

a \in ℂ, {(c_{n})}_{n \in ℤ} \subset ℂ

. Potom Laurentova řada v proměnné

z

\sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n} = \underset{hlavní část}{\underset{⏟}{\sum_{n = 1}^{\infty} c_{- n} {(z - a)}^{- n}}} + \underset{regulární část}{\underset{⏟}{\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n}}}

Věta

Nechť

a \in ℂ, {(c_{n})}_{n \in ℤ} \subset ℂ

. Označme

R_{+} ≔ poloměr konvergence \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} w^{n}

R_{-} ≔ poloměr konvergence \sum_{n = 1}^{\infty} c_{- n} w^{n}

Jestliže

\frac{1}{R_{-}} < R_{+}

, potom Laurentova řada konverguje lokálně stejnoměrně na

P (a, \frac{1}{R_{-}}, R_{+})

a její součet

f

je na tomto mezikruží holomorfní. Navíc pro každé

r \in (\frac{1}{R_{-}}, R_{+}), n \in ℤ

platí

c_{n} = \frac{1}{2 π i} \int_{γ_{r}} \frac{f (z)}{{(z - a)}^{n + 1}} d z

kde

γ_{r} (t) ≔ a + r exp i t, t \in [0, 2 π]

m \in ℕ

Důsledek

Nechť

a \in ℂ, r_{1}, r_{2} \in [0, \infty], r_{1} < r_{2}, f \in H (P (a, r_{1}, r_{2}))

. Lze-li

f

vyjádřit jako Laurentovu řadu, potom toto vyjádření je jednoznačné.

f

Poznámka

Mějme funkci vyjádřenou jako Laurentovu řadu na

P (a, r_{1}, r_{2})

f (z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n}

Nechť

γ

je uzavřená regulární křivka v

P (a, r_{1}, r_{2})

a pro každé

w \in \bar{D} (a, r_{1})

{ind}_{γ} (w) = 1

. Potom pro všechna

n \in ℤ

platí

c_{n} = \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (z)}{{(z - a)}^{n + 1}} d z

Ω ≔ P (a, r_{1}, r_{2})

Lemma

Nechť

a \in ℂ, r \in ℝ^{+}

. Definujme

γ_{r} (t) ≔ a + r exp i t, t \in [0, 2 π]

. Nechť

f \in 𝒞 (⟨ γ_{r} ⟩)

. Označme

g : ℂ ∖ ⟨ γ_{2} ⟩ \to ℂ, g (z) ≔ \frac{1}{2 π i} \int_{γ_{r}} \frac{f (w)}{w - z} d w

c_{n} ≔ \frac{1}{2 π i} \int_{γ_{r}} \frac{f (w)}{{(w - a)}^{n + 1}} d w

Potom pro všechna

z \in int γ_{r} = D (a, r)

platí

g (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n}

a pro všechna

z \in ext γ_{r} = ℂ ∖ \bar{D} (a, r)

platí

g (z) = - \sum_{n = 1}^{\infty} c_{- n} {(z - a)}^{n}

z \in D (a, r), w \in ⟨ γ ⟩ = \partial D (a, r)

Věta

Nechť

a \in ℂ, r_{1}, r_{2} \in [0, \infty], r_{1} < r_{2}, f \in H (P (a, r_{1}, r_{2}))

. Potom

f

lze jednoznačně vyjádřit jako Laurentovu řadu.

ρ_{1}, ρ_{2} \in (r_{1}, r_{2}), ρ_{1} < ρ_{2}

Poznámka izolovaná singularita

Nechť

f \in H (D^{'} (a, r))

. Podle předchozí věty můžeme

f

vyjádřit na

D^{'} (a, r) = P (a, 0, r)

jako Laurentovu řadu:

f (z) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} {(z - a)}^{n}

Potom

singularita je odstranitelná, právě když $\forall n \in ℤ^{-} : c_{n} = 0$ (neboli $f$ lze vyjádřit jako mocninnou řadu),
singularita je pól řádu $m \in ℕ$ , právě když $c_{- m} \neq 0$ a $\forall n \in ℤ^{-}, n < m : c_{n} = 0$ (plyne přímo z definice pólu),
singularita je podstatná, právě když $\exists_{\infty} n \in ℤ^{-} : c_{n} \neq 0$ (plyne z toho, že to je doplněk zbylých dvou možností).

Poznámka

Nechť

f \in H (P (a, r_{1}, r_{2}))

. Potom nutně

R_{+} \geq r_{2}, R_{-} \geq \frac{1}{r_{1}}

. Označme

Q (z) ≔ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{c_{- n}}{{(z - a)}^{n}}

Potom

Q \in H (ℂ ∖ \bar{D} (a, r_{1}))

. Speciálně pro

r_{1} = 0

Q \in H (ℂ ∖ {a})

Definice

Nechť

f \in H (D^{'} (a, r))

. Potom reziduum

f

v bodě

a

, značeno

{res}_{a} (f)

, je koeficient

c_{- 1}

její Laurentovy řady v bodě

a

γ

Věta reziduová

Nechť

A \subset Ω

nemá v

Ω

hromadný bod,

f \in H (Ω ∖ A)

Γ = (γ_{1}, \dots, γ_{n})

je soubor regulárních uzavřených křivek v

Ω ∖ A

\forall w \in ℂ ∖ Ω, {ind}_{Γ} (w) = 0

. Potom

\int_{Γ} f = 2 π i \sum_{a \in A} {ind}_{Γ} (a) {res}_{a} (f)

A

A

f

V ≔ {z \in ℂ ∖ ⟨ Γ ⟩ | {ind}_{Γ} (z) = 0}

{a \in A | {ind}_{Γ} (a) \neq 0}

γ

Definice

Funkce

f : Ω \to ℂ

je meromorfní na

Ω

, pokud existuje množina

A \subset Ω

, která nemá hromadný bod v

Ω

f \in H (Ω ∖ A)

f

má pól v každém bodě

A

A ≔ \emptyset

A

a \in A

Poznámka Lineární kombinace meromorfních funkcí je meromorfní.

Definice

Pro meromorfní funkci

f

označme

𝒵 (f) ≔ {z \in Ω | f (z) = 0}

𝒫 (f) ≔ {z \in Ω | f (z) = \infty}

Lemma

Nechť

n \in ℕ, n \geq 2

U \subset ℝ^{n}

je oblast a

A \subset U

nemá hromadné body v

U

. Potom

U ∖ A

je souvislá.

U ∖ A

Věta

Nechť

f \neq 0

je meromorfní na oblasti

Ω

. Potom

𝒵 (f)

nemá v

Ω

hromadný bod,

\frac{1}{f}

je meromorfní na

Ω

𝒵 (\frac{1}{f}) = 𝒫 (f), 𝒫 (\frac{1}{f}) = 𝒵 (f)

A ≔ 𝒫 (f)

Ω

Věta Cauchyův princip argumentu

Nechť

f

je meromorfní funkce na

Ω

γ

je regulární kladně orientovaná Jordanova křivka v

Ω

int (γ) \subset Ω

𝒵 (f) \cap ⟨ γ ⟩ = \emptyset, 𝒫 (f) \cap ⟨ γ ⟩ = \emptyset

. Potom

\frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f^{'}}{f} = \sum_{a \in 𝒵 (f) \cap int (γ)} mult (a, f) - \sum_{a \in 𝒫 (f) \cap int (γ)} ord (a, f)

kde

mult (a, f)

je násobnost kořene a

ord (a, f)

je řád pólu.

f \in H (Ω)

\frac{f^{'}}{f} \in H (Ω ∖ 𝒫 (f) ∖ 𝒵 (f))

Věta Rouché

Nechť

f, g \in H (Ω)

γ

je regulární Jordanova křivka v

Ω

int (γ) \subset Ω

\forall z \in ⟨ γ ⟩ : | f (z) - g (z) | < | f (z) |

Potom

f

g

mají v

int (γ)

stejný počet kořenů, přičemž je počítáme včetně násobnosti, neboli

\sum_{a \in 𝒵 (f) \cap int (γ)} mult (a, f) = \sum_{a \in 𝒵 (f) \cap int (γ)} mult (a, g)

γ

Cvičení

Pro funkci

f (z) ≔ \frac{z}{exp z - 1}

určete poloměry konvergence v bodech

0, 2, 10 i

2 π i k, k \in ℤ ∖ {0}

Cvičení

Nechť

f (z) ≔ \frac{g (z)}{P (z)}

, kde

g \in H (ℂ)

P

je polynom se vzájemně různými kořeny

a_{1}, \dots, a_{n}

. Pro regulární uzavřenou křivku

γ

, na níž neleží žádný z kořenů, spočtěte

\int_{γ} f

\frac{1}{P (z)}

Cvičení

Spočtěte integrál

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{x^{2}}{x^{4} + 1} d x

R \in ℝ^{+}

Cvičení

Spočtěte integrál

\int_{0}^{\infty} \frac{x}{x^{3} + 1} d x

\frac{2 π}{3}

Funkce komplexní proměnné

Literatura

Rozdíly ve značení

Souvislost a křivky

Variace

Riemannův-Stieltjesův integrál

Holomorfní funkce

Analytické funkce

Cvičení

Křivkový integrál

Goursatova věta

Cauchyova věta pro konvexní množiny

Kořeny holomorfních funkcí

Izolované singularity holomorfní funkce

Liouvillova věta

Cvičení

Princip maximálního modulu

Stejnoměrná konvergence posloupnosti holomorfních funkcí

Obecná Cauchyova věta

Souvislost s homotopií

Laurentovy řady

Reziduová věta

Meromorfní funkce

Cvičení