Funkcionální analýza

Rozdíly ve značení

Moje značení	Šťovíčkovo značení	Význam
$A^{'}$	$h r o m a d n \overset{ˊ}{e} b o d y A$	množina všech hromadných bodů množiny $A$
$A \in c τ$	$A = A$	množina $A$ je uzavřená
$ℝ_{0}^{+}$	$[0, \infty)$	nezáporná reálná čísla
$ℝ^{+}$	$(0, \infty)$	kladná reálná čísla
$\sqrt[p]{x}$	$x^{\frac{1}{p}}$	$p$ -tá odmocnina z $x$
$V ⋐ W$	$V \subset W podprostor$	$V$ je lineární podprostor lineárního prostoru $W$
$ℜ$	$Re$	reálná část
$ℑ$	$Im$	imaginární část
$⟨ x \| y ⟩$	$⟨ x, y ⟩$	skalární součin $x$ a $y$
$x_{0} = \underset{x \in X}{arg min} f (x)$	$f (x) \underset{\underset{}{x \in X}}{\to} \min pro x = x_{0}$	funkce $f$ nabývá svého minima v bodě $x_{0}$
$A X$	$Ran A$	obor hodnot lineárního zobrazení $A$ z prostoru $X$
${[x_{1}, \dots, x_{n}]}_{λ}$	$span {x_{1}, \dots, x_{n}}$	lineární obal vektorů $x_{1}, \dots, x_{n}$

Topologické prostory

Definice. Nechť

X

je množina, potom její potenční množina je

𝒫 (X) ≔ {M | M \subset X}

Definice. Nechť

A, B

jsou množiny, potom

B^{A}

je množina všech funkcí z

A

B

. Je-li

| B | = n \in ℕ

, píšeme také

n^{A}

. Speciálně potenční množinu

X

lze tedy také značit

2^{X}

Definice. Nechť

X

je množina a

τ \subset 𝒫 (X)

. Dvojice

(X, τ)

je topologický prostor na

X

, pokud

$\emptyset, X \in τ$
$(\forall 𝒢 \subset τ) (⋃ 𝒢 \in τ)$
$(\forall 𝒢 \subset τ, | 𝒢 | < \infty) (⋂ 𝒢 \in τ)$

τ

je topologie a její prvky se nazývají otevřené množiny.

Definice. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor. Kotopologie je množina

c τ ≔ {X ∖ M | M \in τ}

Prvky

c τ

se nazývají uzavřené množiny.

Věta. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor. Pro kotopologii platí

$\emptyset, X \in c τ$
$(\forall ℱ \subset c τ) (⋂ ℱ \in c τ)$
$(\forall ℱ \subset c τ, | ℱ | < \infty) (⋃ ℱ \in c τ)$

Důkaz. Duální výroky k těm v definici topologie.

Komiksový vtip. Obchod s cedulí “Not Closed”. Přijde zákazník a snaží se otevřít dveře, ale nejde to. Uvnitř se objeví majitel obchodu, otočí ceduli a zlověstně se usměje. Na druhé straně cedule je nápis “Not Open Either”. Pod posledním okénkem je nápis “Scumbag topologist 'opens' a store”.

Vnitřky a uzávěry

Definice. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor a

M \in X

. Potom vnitřek

M

a uzávěr M jsou

M ° ≔ ⋃ {G | G \in τ, G \subset M}

M ≔ ⋂ {F | F \in c τ, F \supset M}

Věta.

X ∖ M ° = X ∖ M

Věta.

X ∖ M = (X ∖ M) °

Věta.

M \cup N = M \cup N

Věta.

(M \cap N) ° = M ° \cap N °

Věta.

M \cap N \subset M \cap N

Věta.

(M \cup N) ° \supset M ° \cup N °

Důkazy viz skripta Dr. Štampacha nebo se dají celkem snadno vymyslet.

Definice. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor,

x \in X

U \subset X

U

je okolí

x

, pokud

x \in U °

Věta. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor,

x \in X

U \subset X

. Potom

x \in M ⟺ (\forall U o k o l \overset{ˊ}{ı} x) (U \cap M \neq \emptyset)

Důkaz.

(\Rightarrow)

Pokud existuje

U

disjunktní s

M

, potom

X ∖ U °

je jednou z množin v definici

M

, tedy

x \notin M

(\Leftarrow)

Nechť pro spor

F

je uzavřená nadmnožina

M

neobsahující

x

. Potom

X ∖ M

je okolí

x

a tedy podle předpokladu má neprázdný průnik s

M

, což je spor.

Věta. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor a

M \subset X

. Potom

M \in τ ⟺ (\forall x \in M) (\exists U o k o l \overset{ˊ}{ı} X) (U \subset M)

Definice. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor. Řekneme, že

M \subset X

je hustá v

X

, pokud

M = X

Věta. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor a

M \subset X

. Následující tři výroky jsou ekvivalentní:

$M$ je hustá v $X$
$(X ∖ M) ° = \emptyset$
$\forall G \in τ ∖ {\emptyset} : G \cap M \neq \emptyset$

Důkaz. Ekvivalence

(1) ⟺ (2)

je zřejmá. Implikace

(1) ⟹ (3)

přímo plyne z předchozí věty. Implikace

(3) ⟹ (2)

: kdyby

(X ∖ M) ° \neq \emptyset

, potom by šla použít jako

G

v předpokladu, čímž vznikne spor.

Hromadné body

Definice. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor,

M \subset X

x \in X

x

je hromadný bod

M

, pokud

(\forall U o k o l \overset{ˊ}{ı} x) ((U ∖ {x}) \cap M \neq \emptyset)

Bod

x \in M

je izolovaný, pokud není hromadný, neboli

(\exists U o k o l \overset{ˊ}{ı} x) (U \cap M = {x})

. (Izolovaný bod na rozdíl od hromadného musí v množině ležet!)

Věta. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor a

M \subset X

. Potom

M ∖ M = M^{'} ∖ M

Důkaz.

x \in M ∖ M ⟺ (\forall U o k o l \overset{ˊ}{ı} X) (M \cap U \neq \emptyset) \land X \notin M ⟺ (\forall U o k o l \overset{ˊ}{ı} X) (M \cap (U ∖ {x}) \neq \emptyset) \land X \notin M

Důsledek. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor a

M \subset X

. Potom

M

je sjednocením disjunktních množin:

M = M^{i} \cup (M^{'} ∖ M) \cup (M^{'} \cap M)

Důsledek. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor a

M \subset X

. Potom

M \in c τ ⟺ M^{'} \subset M

. Speciálně

M^{'} = \emptyset ⟹ M \in c τ

Báze a součinové topologie

Definice. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor.

ℬ \subset τ

je báze

τ

, pokud

τ = {⋃ \tilde{ℬ} | \tilde{ℬ} \subset ℬ}

Věta. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor a

ℬ

je báze

τ

. Potom pro každé

M \subset X

platí

M \in τ ⟺ (\forall x \in M) (\exists G \in ℬ) (x \in G \subset M)

Důkaz.

(\Leftarrow)

M = ⋃_{x \in M} G_{x}

(\Rightarrow)

Jestliže

M \in τ

, je to sjednocení nějakých

G \in ℬ

a alespoň jedno z nich musí obsahovat

x

(jelikož

x \in M

Věta. Nechť

X

je množina. Systém

𝒢 \subset 𝒫 (X)

je bází nějaké topologie právě tehdy, pokud

$⋃ 𝒢 = X$
$(\forall G_{1}, G_{2} \in 𝒢) (\forall x \in G_{1} \cap G_{2}) (\exists G_{3} \in 𝒢) (x \in G_{3} \subset G_{1} \cap G_{2})$

Důkaz.

(\Rightarrow)

První vlastnost je triviální. Je-li

G_{1}, G_{2} \in 𝒢

, potom

G_{1}, G_{2} \in τ ∴ G_{1} \cap G_{2} \in τ

. Podle předchozí věty kolem libovolného

x \in G_{1} \cap G_{2}

najdeme vhodné

G_{3}

(\Leftarrow)

Dokážeme, že množina

τ

definovaná zřejmým způsobem je topologie. Zřejmě

\emptyset, X \in τ

. Ověříme zbylé dva axiomy topologie. Viz skripta Dr. Štampacha.

Věta. Nechť

X

je množina se dvěma topologiemi

τ_{1}, τ_{2}

generovanými bázemi

ℬ_{1}, ℬ_{2}

. Potom

τ_{1} = τ_{2} ⟺ ℬ_{1} \subset τ_{2} \land ℬ_{2} \subset τ_{1}

Důkaz.

(\Rightarrow)

Triviální.

(\Leftarrow)

Z definic báze a topologie platí

ℬ_{1} \subset τ_{2} ⟹ τ_{1} \subset τ_{2}

a vopáčně.

Věta. Nechť

(X, τ_{X}), (Y, τ_{Y})

jsou topologické prostory. Potom

ℬ ≔ {U \times V | U \in τ_{X}, V \in τ_{Y}}

je báze nějaké topologie

τ_{X} \otimes τ_{Y}

X \times Y

Důkaz. Triviální s použitím věty o tom, kdy je množina báze.

Věta. Nechť

(X, τ_{X}), (Y, τ_{Y})

jsou topologické prostory s bázemi

ℬ_{X}, ℬ_{Y}

. Potom

ℬ^{'} ≔ {U \times V | U \in ℬ_{X}, V \in ℬ_{Y}}

je báze topologie

τ_{X} \otimes τ_{Y}

Definice. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor,

x \in X

. Systém

ℬ_{x} \subset τ

je báze okolí (lokální báze) v bodě

x

, pokud

(\forall B \in ℬ_{x}) (x \in B) \land (\forall U o k o l \overset{ˊ}{ı} x) (\exists B \in ℬ) (B \subset U)

Separabilita

Definice. Topologický prostor

(X, τ)

je separabilní, pokud existuje spočetná množina

S

taková, že

S = X

Definice. Topologický prostor

(X, τ)

splňuje druhý axiom spočetnosti, pokud má spočetnou bázi.

Věta. Pokud topologický prostor

(X, τ)

splňuje druhý axiom spočetnosti, potom je separabilní.

Důkaz. Nechť

ℬ ≕ {B_{n} | n \in ℕ}

je báze

τ

. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že množiny

B_{n}

jsou neprázdné. Pro všechna

n \in ℕ

zvolíme

s_{n} \in B_{n}

a definujeme

S ≔ {s_{n} | n \in ℕ}

. Dokážeme sporem, že

S = X

. Kdyby ne, potom

\emptyset \neq X ∖ S \in τ

, tedy

(\exists \tilde{ℬ} \subset ℬ) (X ∖ S = ⋃ \tilde{ℬ})

, tedy pro nějaké

n

s_{n} \notin S

, což je spor.

Spojitost

Definice. Nechť

(X, τ_{X}), (Y, τ_{Y})

jsou topologické prostory. Funkce

f : X \to Y

je spojitá v

x_{0} \in X

, pokud

(\forall V o k o l \overset{ˊ}{ı} f (x_{0})) (\exists U o k o l \overset{ˊ}{ı} x_{0}) (f (U) \subset V)

Věta. Nechť

(X, τ_{X}), (Y, τ_{Y})

jsou topologické prostory. Funkce

f : X \to Y

je spojitá v

x_{0} \in X

právě tehdy, pokud

(\forall V \in τ_{Y}, f (x_{0}) \in V) (x_{0} \in f^{- 1} (V) °)

Důkaz.

(\Rightarrow)

x_{0} \in U \subset f^{- 1} (V) °

(\Leftarrow)

U ≔ f^{- 1} (V) °

Definice. Nechť

(X, τ_{X}), (Y, τ_{Y})

jsou topologické prostory. Funkce

f : X \to Y

je spojitá, pokud

(\forall V \in τ_{Y}) (f^{- 1} (V) \in τ_{X})

Věta. Složení dvou spojitých funkcí je spojitá funkce.

Důkaz. Triviální.

Věta. Funkce je spojitá právě tehdy, pokud je spojitá ve všech bodech.

Důkaz.

(\Rightarrow)

Nechť

x_{0} \in X, V o k o l \overset{ˊ}{ı} f (x_{0})

. Potom

x \in f^{- 1} (V) ° \in τ_{X}

(\Leftarrow)

Pro každé

x_{0} \in f^{- 1} (V)

najdeme okolí

U_{x}

takové, že

f (U_{x}) \subset V

, tedy každý bod v množině leží i se svým okolím, tudíž je otevřená.

Věta. Nechť

(X, τ_{X}), (Y, τ_{Y})

jsou topologické prostory. Potom funkce

p_{X} : X \times Y \to X, p_{X} (x, y) ≔ x

je spojitá.

Důkaz. Nechť

U \in τ_{X}

, potom

p_{X}^{- 1} (U) = U \times Y \in τ_{X \times Y}

Oddělitelnost

Definice. Topologický prostor

(X, τ)

je T₁-prostor, pokud

(\forall x, y \in X, x \neq y) (\exists U \in τ) (x \in U \land y \notin U)

Definice. Topologický prostor

(X, τ)

je T₂-prostor (Hausdorffův), pokud

(\forall x, y \in X, x \neq y) (\exists U, V \in τ) (x \in U \land y \in V \land U \cap V = \emptyset)

Definice. Topologický prostor

(X, τ)

je regulární, pokud

(\forall A \in c τ) (\forall x \in X ∖ A) (\exists U, V \in τ) (x \in U \land A \subset V \land U \cap V = \emptyset)

Je-li navíc T₁-prostor, potom je T₃-prostor.

Definice. Topologický prostor

(X, τ)

je normální, pokud

(\forall A, B \in c τ, A \cap B = \emptyset) (\exists U, V \in τ) (A \subset U \land B \subset V \land U \cap V = \emptyset)

Je-li navíc T₁-prostor, potom je T₄-prostor.

Věta. Topologický prostor

(X, τ)

je T₁ právě tehdy, pokud každá jednoprvková množina je uzavřená.

Důkaz.

\begin{aligned} {y} \in c τ & ⟺ X ∖ {y} \in τ \\ ⟺ (\forall x \in X ∖ {y}) (\exists U \in τ) (x \in U \subset X ∖ {y}) \\ ⟺ (\forall x \in X, x \neq y) (\exists U \in τ) (x \in U \land y \notin U) \end{aligned}

Obrázkové makro. “Car Salesman: *slaps roof of Hausdorff space* This bad boy can fit open sets 𝑈, 𝑉 containing 𝑥, 𝑦 such that 𝑈 ∩ 𝑉 = ∅”.

Relativní topologie

Definice. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor a

Y \subset X

. Potom

τ_{Y} ≔ {G \cap Y | G \in τ}

je relativní topologie na

Y

Věta. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor. Pro danou množinu

M \subset Y

značíme

M^{Y}

její uzávěr v

(Y, τ_{Y})

. Potom

M^{Y} = M

Kompaktnost

Definice. Topologický prostor

(X, τ)

je kompaktní, pokud každé otevřené pokrytí má konečné podpokrytí, tedy

(\forall 𝒢 \subset τ, ⋃ 𝒢 = X) (\exists \tilde{𝒢} \subset 𝒢, | \tilde{𝒢} | < \infty) (⋃ \tilde{𝒢} = X)

Množina

M \subset X

je kompaktní, jestliže prostor

M, τ_{M}

je kompaktní.

Věta. Topologický prostor

(X, τ)

je kompaktní právě tehdy, pokud

(\forall ℱ \subset c τ) ((\forall \tilde{ℱ} \subset ℱ, | \tilde{ℱ} | < \infty) (⋂ \tilde{ℱ} \neq \emptyset) ⟹ ⋂ ℱ \neq \emptyset)

Důkaz. Duální výrok k definici.

Věta. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor. Množina

M \subset X

je kompaktní právě tehdy, pokud

(\forall 𝒢 \subset τ, ⋃ 𝒢 \supset M) (\exists \tilde{𝒢} \subset 𝒢, | \tilde{𝒢} | < \infty) (⋃ \tilde{𝒢} \supset M)

Věta. Nechť

(X, τ)

je kompaktní topologický prostor. Potom každá množina

M \in c τ

je kompaktní.

Důkaz. K libovolnému otevřenému pokrytí

M

můžeme přidat

X ∖ M

, čímž vznikne otevřené pokrytí

X

. Z toho vybereme konečné podpokrytí a pokud bude obsahovat

X ∖ M

, odstraníme ho, čímž vznikne konečné podpokrytí

M

Věta. Nechť

(X, τ)

je kompaktní topologický prostor. Potom každá nekonečná množina

M \subset X

má hromadný bod.

Důkaz. Vyberme (pomocí axiomu výběru) spočetnou podmnožinu

S = {s_{1}, s_{2}, \dots} \subset M

. Definujme

S_{n} ≔ {s_{k} | k \geq n}

. Zjevně jde o ostře klesající posloupnost množin s prázdným průnikem, ale každý konečný průnik je neprázdný. Jelikož

X

je kompaktní, alespoň jedna množina

S_{n}

není uzavřená, jinak by posloupnost byla ve sporu s „uzavřenou“ definicí kompaktnosti.

S_{n}

tudíž má hromadný bod, takže i

M

má hromadný bod.

Věta. Nechť

(X, τ)

je Hausdorffův prostor. Potom každá kompaktní množina

K \subset X

je uzavřená.

Důkaz. Nechť

x \in X ∖ K

. Pro každé

y \in K

existují disjunktní otevřená okolí

V_{y} ∋ y, U_{y} ∋ x

. Potom

⋃ V_{y}

je otevřené pokrytí

K

, takže má konečné podpokrytí

{V_{y_{1}}, \dots, V_{y_{n}}}

. Nechť

U ≔ ⋂_{k = 1}^{n} U_{y_{k}}

. Z konstrukce je

x \in U \in τ, U \cap K = \emptyset

. Kolem každého prvku

X ∖ K

jsme našli otevřené okolí, takže

X ∖ K

je otevřená.

Věta. Nechť

(X, τ_{X}), (Y, τ_{Y})

jsou topologické prostory,

(X, τ_{X})

je kompaktní a

f : X \to Y

je spojitá. Potom

f (X)

je kompaktní.

Důkaz. Jekikož

f

je spojitá, otevřené pokrytí

f (X)

můžeme zpětně zobrazit na otevřené pokrytí

X

. Z toho vezmeme konečné podpokrytí a zobrazíme zpátky.

Definice. Topologický prostor

(X, τ)

je lokálně kompaktní, pokud každý bod má kompaktní okolí.

Lemma. Nechť

(X, τ_{X}), (Y, τ_{Y})

jsou topologické prostory a

x_{0} \in X

. Potom funkce

f : Y \to X \times X, f (y) ≔ (x_{0}, y)

je spojitá.

Důkaz. Dokážeme, že

f

je spojitá v každém bodě

y \in Y

. Nechť

W

je okolí

f (y) = (x_{0}, y)

. Potom z definice součinové topologie existují

U \in τ_{X}, V \in τ_{Y}

takové, že

(x_{0}, y) \in U \times V \subset W

. Zjevně

f (V) \subset W

Lemma. Nechť

(X, τ_{X}), (Y, τ_{Y}), (Z, τ_{Z})

jsou topologické prostory,

g : X \times Y \to Z

je spojité a

x_{0} \in X

. Potom funkce

h : Y \to Z, h (y) ≔ g (x_{0}, y)

je spojitá.

Důkaz. Vezměme funkci

f

z předchozího lemmatu, potom

h = g \circ f

a spojité funkce jsou uzavřené na skládání.

Lemma (tubulární). Nechť

(X, τ_{X}), (Y, τ_{Y})

jsou topologické prostory,

x_{0} \in X

K \subset Y

je kompaktní a

W \in τ_{X \times Y}, {x_{0}} \times K \subset W

. Potom existuje otevřené okolí

U ∋ x_{0}

takové, že

U \times K \subset W

Důkaz. Vezměme

f

jako z lemmat výše. Ta je spojitá, takže

f (K) = {x_{0}} \times K

je kompaktní. Pro každé

y \in K

zvolme otevřená okolí

U_{y} ∋ x_{0}, V_{y} ∋ y

taková, že

U_{y} \times V_{y} \subset W

(to je možné, protože

W \in τ_{X \times Y}

). Okolí

V_{y}

tvoří otevřené pokrytí

K

, takže z nich můžeme vybrat konečné podpokrytí. Průnik odpovídajících

U_{y}

je potom hledaná množina

U

Věta. Nechť

(X, τ_{X}), (Y, τ_{Y})

jsou kompaktní topologické prostory. Potom

(X \times Y, τ_{X \times Y})

je kompaktní.

Důkaz. Nechť

{W_{α} | α \in 𝒜}

je pokrytí

X \times Y

. Pro každé

x \in X

{x} \times Y

kompaktní, neboť

f : Y \to X \times Y, f (y) ≔ (x, y)

je spojitá. Tedy existuje konečné podpokrytí

{W_{α} | α \in 𝒜 (x) \subset 𝒜}

množiny

{x} \times Y

. Podle tubulárního lemmatu existuje

U_{x} ∋ x

takové, že

U_{x} \times Y \subset ⋃_{α \in 𝒜 (x)} W_{α}

. Jelikož

{U_{x} | x \in X}

je otevřené pokrytí

X

, najdeme

x_{1}, \dots, x_{n} \in X

taková, že

X = ⋃_{j = 1}^{n} U_{x_{j}}

. Definujme

\tilde{𝒜} ≔ ⋃_{j = 1}^{n} 𝒜 (x_{j})

. Zřejmě

{W_{α} | α \in \tilde{𝒜}}

je konečné podpokrytí

X \times Y

Konvergence

Definice. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor a

(x_{n}) : ℕ \to X

. Řekneme, že posloupnost

(x_{n})

konverguje k

x

, psáno

x_{n} \to x

, pokud každé okolí

x

obsahuje všechny body

(x_{n})

až na konečně mnoho.

x

je poté limita

x_{n}

Věta. Nechť

(X, τ)

je Hausdorffův prostor. Potom každá posloupnost

(x_{n})

má nejvýše jednu limitu.

Důkaz. Kdyby měla posloupnost dvě limity, potom kolem nich najdeme disjunktní okolí, která by obě musela obsahovat skoro všechny členy posloupnosti, což je spor.

Definice. Topologický prostor

(X, τ)

je sekvenciálně kompaktní, pokud každá posloupnost má konvergentní podposloupnost.

Metrické prostory

Definice. Nechť

X

je množina a

ρ : X^{2} \to ℝ_{0}^{+}

(X, ρ)

je metrický prostor, pokud platí

$(\forall x, y \in X) (x = y ⟺ ρ (x, y) = 0)$
$(\forall x, y \in X) (ρ (x, y) = ρ (y, x))$
$(\forall x, y, z \in X) (ρ (x, z) \leq ρ (x, y) + ρ (y, z))$

Funkce

ρ

se pak nazývá metrika.

Definice. Nechť

(X, ρ)

je metrický prostor. Potom otevřená koule se středem

x \in X

o poloměru

r \in ℝ^{+}

B (x, r) ≔ {y \in X | ρ (x, y) < r}

Definice. Nechť

(X, ρ)

je metrický prostor. Potom uzavřená koule se středem

x \in X

o poloměru

r \in ℝ^{+}

\overline{B} (x, r) ≔ {y \in X | ρ (x, y) \leq r}

Věta. Nechť

(X, ρ)

je metrický prostor. Potom systém

ℬ ≔ {B (x, r) | x \in X, r \in ℝ^{+}}

je báze nějaké topologie.

Důkaz. Zjevně

⋃ ℬ = X

, protože každý bod patří do své koule s libovolným poloměrem. Nechť

G_{1} ≕ B (x_{1}, r_{1}) \in ℬ, G_{2} ≕ B (x_{2}, r_{2}) \in ℬ, x \in G_{1} \cap G_{2}

. Vezměme

r ≔ \min (r_{1} - ρ (x_{1}, x), r_{2} - ρ (x_{2}, x))

, zjevně

r > 0

. Potom

G_{3} ≔ B (x, r_{3}) \subset G_{1}

, protože pro všechna

y \in G_{3}

ρ (x_{1}, y) \leq ρ (x_{1}, x) + ρ (x, y) < ρ (x_{1}, x) + r \leq r_{1}

. Analogicky

G_{3} \subset G_{2}

, tedy

x \in G_{3} \subset G_{1} \cap G_{2}

Definice. Nechť

(X, ρ)

je metrický prostor. Topologii generovanou bází z věty výše budeme brát jako topologii

τ

metrického prostoru.

Věta. Nechť

(X, ρ)

je metrický prostor a

U \in X

. Potom

U \in τ ⟺ (\forall x \in U) (\exists y \in X, r \in ℝ^{+}) (x \in B (y, r) \subset U) ⟺ (\forall x \in X) (\exists r^{'} \in ℝ^{+}) (B (x, r^{'}) \subset U)

Tedy množina je otevřená, pokud v ní každý bod leží i s nějakou svou koulí.

Důkaz. První ekvivalence je vlastnost báze. Druhá ekvivalence:

(\Leftarrow)

Triviální.

(\Rightarrow)

Zvolíme

r^{'} ≔ r - ρ (x, y)

, potom podle trojúhelníkové nerovnosti

B (x, r^{'}) \subset B (y, r)

Definice. Nechť

X

je množina. Diskrétní metrika je funkce

ρ_{d} : X^{2} \to ℝ, ρ_{d} (x, y) ≔ [x \neq y]

Věta. Diskrétní metrika je metrika.

Důkaz. Přímočarý.

Věta. Nechť

(X, ρ)

je metrický prostor a

x \in X, r \in ℝ^{+}

. Potom

\overline{B} (x, r) \in c τ

Důkaz. Nechť

y \in X ∖ \overline{B} (x, r)

, potom tam leží i se svojí koulí

B (y, ρ (x, y) - r)

Důsledek. Nechť

(X, ρ)

je metrický prostor a

x \in X, r \in ℝ^{+}

. Potom

B (x, r) \subset \overline{B} (x, r)

Poznámka. Obecně neplatí rovnost. Protipříkladem je množina

{x, y}

s diskrétní metrikou a

ρ = 1

Definice. Nechť

X

je množina. Metriky

ρ_{1}, ρ_{2}

X

jsou ekvivalentní, pokud

\exists A, B \in ℝ^{+}, \forall x, y \in X : A ρ_{1} (x, y) \leq ρ_{2} (x, y) \leq B ρ_{2} (x, y)

Věta. Ekvivalence metrik je ekvivalence.

Důkaz. Přímočarý.

Věta. Nechť

X

je množina a

ρ_{1}, ρ_{2}

jsou ekvivalentní metriky na

X

. Potom indukují stejné topologie

τ_{1} = τ_{2}

Důkaz.

\begin{aligned} τ_{1} = τ_{2} & ⟺ (\forall x \in X) (\forall r \in ℝ^{+}) (B_{1} (x, r) \in τ_{2} \land B_{2} (x, r) \in τ_{1}) \\ ⟺ (\forall x \in X) (\forall r \in ℝ^{+}) (\exists r^{'}, r^{''} \in ℝ^{+}) (B_{2} (x, r^{'}) \subset B_{1} (x, r) \land B_{1} (x, r^{''}) \subset B_{2} (x, r)) \end{aligned}

Věta. Nechť

(X, ρ_{X}), (Y, ρ_{Y})

jsou metrické prostory. Potom funkce

ρ_{X \times Y}, ρ_{X \times Y}^{'}, ρ_{X \times Y}^{''} : X \times Y \to ℝ_{0}^{+}

definované jako

ρ_{X \times Y} ((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})) ≔ ρ_{X} (x_{1}, x_{2}) + ρ_{Y} (y_{1}, y_{2})

ρ_{X \times Y}^{'} ((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})) ≔ \max {ρ_{X} (x_{1}, x_{2}), ρ_{Y} (y_{1}, y_{2})}

ρ_{X \times Y}^{''} ((x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})) ≔ \sqrt{ρ_{X} {(x_{1}, x_{2})}^{2} + ρ_{Y} {(y_{1}, y_{2})}^{2}}

jsou ekvivalentní metriky. Zároveň

t_{X \times Y}

bude vypadat stejně, ať už ji odvodíme z kterékoli z těchto metrik, nebo pomocí součinu topologií.

Věta. Nechť

(X, ρ)

je metrický prostor a

(x_{n}) \subset X

. Potom

x_{n} \to x ⟺ \lim_{n \to \infty} ρ (x_{n}, x) = 0

Důkaz.

\begin{aligned} x_{n} \to x & ⟺ (\forall r \in ℝ^{+}) (\exists n_{0} \in ℕ) (\forall n \in ℕ, n \geq n_{0}) (x_{n} \in B (x, r)) \\ ⟺ (\forall r \in ℝ^{+}) (\exists n_{0} \in ℕ) (\forall n \in ℕ, n \geq n_{0}) (ρ (x_{n}, x) < r) \\ ⟺ \lim_{n \to \infty} ρ (x_{n}, x) = 0 \end{aligned}

Věta. Nechť

(X, ρ)

je metrický prostor a

S \subset X

. Potom

S \in c τ ⟺ (\forall (x_{n}) \subset S) (x_{n} \to x \in X ⟹ x \in S)

Důkaz.

(\Rightarrow)

Nechť

S \in c τ

, tedy

S = S

. Z nějaké věty víme, že

x \in S ⟺ (\forall U o k o l \overset{ˊ}{ı} x) (U \cap S \neq \emptyset)

. Nechť

U

je okolí

x \in X

, potom pro všechna až na konečně mnoho

n

x_{n} \in U

, tedy nějaké

x_{n} \in U \cap S

, neboli

U \cap S \neq \emptyset

, tedy

x \in S = S

Věta. Každý metrický prostor

(X, ρ)

je T₁, T₂, T₃ i T₄.

Důkaz. Pro T₁ a T₂ oddělíme body

x, y \in X

otevřenými koulemi o poloměru

\frac{ρ (x, y)}{2}

. Dokážeme, že je normální. Nechť

Y, Z \in c τ, Y \cap Z = \emptyset

. Zjevně

Y \subset X ∖ Z \in τ

, tedy pro každé

y \in Y

existuje

r_{y}^{'} \in ℝ^{+}

takové, že

B (y, r_{y}^{'}) \subset X ∖ Z

. Analogicky pro každé

z \in Z

najdeme

r_{z}^{''} \in ℝ^{+}

takové, že

B (z, r_{z}^{''}) \subset X ∖ Y

. Vezmeme

U ≔ ⋃_{y \in Y} B (y, \frac{r_{y}^{'}}{2}), V ≔ ⋃_{z \in Z} B (z, \frac{r_{z}^{''}}{2})

. To jsou zřejmě otevřená okolí; ukážeme, že jsou disjunktní. Nechť pro spor existuje

a \in U \cap V

. Potom existují

y \in Y, z \in Z

takové, že

ρ (a, y) < \frac{r_{y}^{'}}{2} \land ρ (a, z) < \frac{r_{z}^{''}}{2}

. Nechť bez újmy na obecnosti

r_{y}^{'} \leq r_{z}^{''}

. Podle trojúhelníkové nerovnosti

ρ (y, z) < r_{z}^{''}

, což je spor s definicí

r_{z}^{''}

Věta. Metrický prostor

(X, ρ)

splňuje druhý axiom spočetnosti právě tehdy, když je separabilní.

Důkaz.

(\Rightarrow)

Již dokázáno pro obecný topologický prostor.

(\Leftarrow)

Nechť

S

je spočetná množína a

S = X

, tedy

(\forall G \in τ ∖ {\emptyset}) (G \cap S \neq \emptyset)

. Dokážeme, že

ℬ ≔ {B (x, r) | x \in S, r \in ℚ^{+}}

je báze. K tomu stačí, aby platilo

(\forall G \in τ) (\forall x \in G) (\exists B (x^{'}, r^{'}) \in B) (x \in B (x^{'}, r^{'}) \subset G)

x

leží v

G

i se svou koulí, tedy existuje

r \in ℝ^{+}

takové, že

B (x, r) \subset G

. Stačí zvolit nějaké

x^{'} \in S \cap B (x, \frac{r}{2})

(to podle předpokladu víme, že je neprázdné) a nějaké

r^{'} \in Q, ρ (x, x^{'}) < r^{'} < \frac{r}{2}

Věta. Nechť

(X, ρ_{X}), (Y, ρ_{Y})

jsou metrické prostory,

x_{0} \in X

f : X \to Y

. Potom

f

je spojitá, právě když

(\forall ε \in ℝ^{+}) (\exists δ \in ℝ^{+}) (\forall x \in B (x_{0}, δ)) (f (x) \in B (f (x_{0}), ε))

Důkaz. Triviální.

Věta. Nechť

(X, ρ_{X}), (Y, ρ_{Y})

jsou metrické prostory a

f : X \to Y

. Potom

f

je spojitá, právě když pro všechny

(x_{n}) \subset X

platí

x_{n} \to x \in X ⟹ f (x_{n}) \to f (x)

Důkaz.

(\Rightarrow)

Nechť

f

je spojitá,

(x_{n})

konverguje a

ε > 0

. Vezmeme

δ

z definice spojitosti a

n_{0}

takové, že

(\forall n \in ℕ, n \geq n_{0}) (x_{n} \in B (x, δ))

. Potom

(\forall n \in ℕ, n \geq n_{0}) (f (x_{n}) \in B (f (x), ε))

(\Leftarrow)

Nechť

f

není spojitá v nějakém bodě

x

, tedy existuje

ε \in ℝ^{+}

takové, že

(\forall δ \in ℝ^{+}) (\exists x_{δ} \in B (x, δ)) (f (x) \notin B (x, ε))

. Vezmeme posloupnost

x_{n} ≔ x_{δ}, δ ≔ \frac{1}{n}

. Tato posloupnost nám zjevně zbourá konvergenci

f (x_{n})

Věta. Nechť

(X, ρ)

je metrický prostor. Potom funkce

ρ

je spojitá.

Kompaktnost a metrické prostory

Definice. Nechť

(X, ρ)

je metrický prostor.

M \subset X

je omezená, pokud

(\exists x \in X, r \in ℝ^{+}) (M \subset B (x, r))

Poznámka. Zřejmě:

podmnožina omezené množiny je omezená
pro omezenou množinu můžeme zvolit jakýkoli střed a vždy najdeme vhodnou kouli
konečné sjednocení omezených množin je omezené
každá kompaktní množina je omezená (uděláme kouli s fixním poloměrem kolem každého bodu, vybereme konečné podpokrytí a použijeme předchozí bod)
uzávěr omezené množiny je omezený

Definice. Nechť

(X, ρ)

je metrický prostor,

M \subset X

ε \in ℝ^{+}

. Množina

A \subset X

ε

-síť množiny

M

, pokud

⋃_{x \in A} B (x, ε) \supset M

Věta. Nechť

(X, ρ)

je metrický prostor a množina

A \subset X

ε

-síť množiny

M \subset X

. Potom existuje množina

\tilde{A} \subset M

, která je

2 ε

-síť

M

| \tilde{A} | \leq | A |

Důkaz. Ze sítě můžeme vyházet body, jejichž koule jsou disjunktní s

M

. Pro ty ostatní zvolíme libovolný bod, který je v kouli i v

M

, a vrazíme ho do

\tilde{A}

. Snadno ověříme, že to bude fungovat.

Definice. Nechť

(X, ρ)

je metrický prostor.

M \subset X

je totálně omezená, pokud pro každé

ε \in ℝ^{+}

má konečnou

ε

-síť.

Poznámka. Zřejmě:

podmnožina totálně omezené množiny je totálně omezená
totálně omezená množina je omezená
je-li množina totálně omezená, potom její síť můžeme volit jako její podmnožinu

Lemma. Nechť

(X, τ)

je T₁-prostor,

M \subset X

x \in M^{'}

. Potom pro všechna

U

okolí

x

je množina

M \cap U

nekonečná.

Důkaz. Nechť pro spor existuje otevřené okolí

U

takové, že

M \cap U

je konečné, tedy i

M \cap U ∖ {x}

. Tato množina je uzavřená, protože jsme v T₁-prostoru, tedy

V ≔ U ∖ (M \cap U ∖ {x})

je otevřená. Z nějakého důvodu je to okolí

x

, které vyvrací hromadnost.

Lemma. Nechť

(X, ρ)

je metrický prostor. Pokud každá nekonečná množina

M \subset X

má hromadný bod, potom

X

je totálně omezený.

Důkaz. Nechť pro spor

X

není totálně omezený, tedy existuje

ε \in ℝ^{+}

takové, že pro všechny konečné

A \subset X

⋃_{a \in A} B (a, ε) \neq X

. Definujeme posloupnost

(x_{n}) \subset X

tak, že

x_{1}

zvolíme libovolně z

X

x_{n + 1}

zvolíme libovolně z

X ∖ ⋃_{j = 1}^{n} B (x_{j}, ε)

, což podle předpokladu můžeme. Tato posloupnost má zřejmě vlastnost, že každé dva různé body jsou od sebe vzdálené alespoň

ε

. Potom ale množina všech

x_{n}

nemá hromadný bod, což je spor.

Věta. Nechť

(X, ρ)

je metrický prostor a

K \subset M

je kompaktní. Potom

K

je totálně omezená.

Důkaz. Podle nějaké už dávno dokázané věty má každá nekonečná podmnožina

K

hromadný bod, takže podle předchozího lemmatu je

K

totálně omezená.

Věta. Kompaktní metrický prostor

(X, ρ)

je separabilní.

Důkaz. Jelikož je kompaktní, tak je totálně omezený. Nechť pro každé

n \in ℕ

A_{n}

konečná

\frac{1}{n}

-síť

K

. Nechť

S ≔ ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}

. Z definice snadno dokážeme, že

S = X

Věta. Nechť topologický prostor

X, τ

splňuje druhý axiom spočetnosti. Potom každé otevřené pokrytí

X

má spočetné podpokrytí.

Důkaz. Nechť

ℬ

je spočetná báze

τ

. Mějme

𝒢

otevřené pokrytí

X

. Pro všechna

x \in X

zvolíme

G_{x} \in 𝒢, x \in G_{x}

B_{x} \in ℬ, x \in B_{x} \subset G_{x}

. Množina

\tilde{ℬ} ≔ {B_{x} | x \in X}

je podmnožina

ℬ

a tedy spočetná. Tím pádem pokud pro každé

B \in \tilde{ℬ}

zpětně zvolíme

G_{B} \in 𝒢, B \subset G_{B}

, dostáváme spočetné podpokrytí.

Věta. Metrický prostor

(X, ρ)

je kompaktní právě tehdy, pokud každá nekonečná podmnožina má hromadný bod.

Důkaz. Implikace doprava je již dokázaná pro obecný topologický prostor. Dokážeme implikaci doleva. Pokud každá nakonečná podmnožina má hromadný pod, potom je prostor totálně omezený, tedy je separabilní, tedy splňuje druhý axiom spočetnosti, tedy každé otevřené pokrytí má spočetné podpokrytí

𝒢 = {G_{k} | k \in ℕ}

. Dokážeme, že toto podpokrytí má konečné podpodpokrytí. Nechť pro spor neexistuje. Pro každé

n \in ℕ

zvolíme

x_{n} ∖ X ∖ ⋃_{k = 1}^{n}

. Snadno ověříme, že

M ≔ {x_{n} | n \in ℕ}

je nekonečná.

M

tedy podle předpokladu má hromadný bod

y

, který patří do nějakého

G_{N}

. Potom ale

G_{N} \cap M

je konečná, což je spor s jedním z předchozích lemmat.

Věta. Metrický prostor

(X, ρ)

je sekvenciálně kompaktní právě tehdy, pokud každá nekonečná podmnožina má hromadný bod.

Důkaz.

(\Rightarrow)

Nechť

M \subset X

je nekonečná. Potom existuje

(x_{n})

posloupnost různých bodů z

M

a podle předpokladu má konvergentní podposloupnost

x_{n_{k}} \to y

. Potom pro libovolné okolí

U ∋ y

je od nějakého indexu každé

x_{n_{k}} \in U \cap M

, tedy

U \cap M

je nekonečný.

(\Leftarrow)

Nechť každá nekonečná podmnožina má hromadný bod. Vezměme libovolnou nekonečnou posloupnost

(x_{n})

. Nechť

M ≔ {x_{n} | n \in ℕ}

. Je-li

M

konečná, potom se do nějakého bodu musí trefit nekonečněkrát, takže zjevně má konvergentní podposloupnost. Je-li nekonečná, potom má hromadný bod

y

. Z toho najdeme podposloupnost

x_{n_{k}}

takovou, že

x_{n_{k}} \in B (y, \frac{1}{k})

. Tím pádem

x_{n_{k}} \to y

Důsledek. Metrický prostor je kompaktní právě tehdy, pokud je sekvenciálně kompaktní.

Poznámka. Nechť

M \subset ℝ

je uzavřená a omezená,

(x_{n}) \subset M

y ≔ lim sup x_{n}

, přičemž

y \in M

. Potom zjevně existuje vybraná posposloupnost

(x_{n}^{'})

taková, že

y = \lim x_{n}

. Tedy

M

je sekvenčně kompaktní a tedy i kompaktní.

Úplné prostory

Definice. Nechť

(X, ρ)

je metrický prostor. Posloupnost

(x_{n}) \subset X

je cauchyovská, pokud

\lim_{m, n \to \infty} ρ (x_{m}, x_{n}) = 0

Věta. Pokud posloupnost konverguje, potom je cauchyovská.

Důkaz. Slovy prof. Pelantové: Pokud jsou všichni lidé blízko Berouna, potom jsou všichni blízko od sebe.

Věta. Pokud je posloupnost cauchyovská, potom je omezená.

Definice. Metrický prostor

(X, ρ)

je úplný, pokud každá cauchyovská posloupnost má limitu.

Věta. Nechť

(X, θ)

je úplný metrický prostor a

Y \subset X

. Potom metrický prostor

(Y, ρ_{Y})

je úplný právě tehdy, pokud

Y \in c τ

Lemma. Nechť

(X, ρ)

je metrický prostor,

(x_{n}) \subset X

je cauchyovská a podposloupnost

(x_{n_{k}})

konverguje k

y

. Potom

x_{n} \to y

Důkaz. Jednoduchý.

Věta. Nechť

(X, ρ)

je kompaktní metrický prostor. Potom

(X, ρ)

je úplný.

Důkaz. Využijeme předchozí lemma s tím, že je prostor sekvenciálně kompaktní.

Věta. Metrický prostor

(X, ρ)

je kompaktní právě tehdy, pokud je úplný a totálně omezený.

Důkaz. Implikace doprava je již dokázaná. Dokážeme implikaci doleva. Nechť

(x_{n})

je libovolná posloupnost. Stačí dokázat, že má cauchyovskou podposloupnost, protože potom bude prostor sekvenciálně kompaktní a tedy i kompaktní. Sestrojíme posloupnosti

(x_{n}^{(k)})

a posloupnost

(a_{k})

takové, že

$x_{n}^{(0)} = x_{n}$
$(x_{n}^{(k + 1)})$ je vybraná z $(x_{n}^{(k)})$
pro $k \geq 1$ jsou $x_{n}^{(k)} \in B (a_{k}, \frac{1}{k})$

Nechť

A_{1}

je konečná

1

-síť prostoru

X

. Potom jistě existuje

a_{1} \in A_{1}

takové, že v jeho kouli leží nekonečně mnoho

x_{n}

. Takováto

x_{n}

dáme do

(x_{n}^{(1)})

. Poté najdeme konečnou

\frac{1}{2}

-síť

A_{2}

a stejným způsobem z ní vytvoříme

a_{2}

(a_{n}^{(2)})

. A tak dále. O siagonální posloupnosti

(x_{n}^{(n)})

pak snadno dokážeme, že je cauchyovská.

Definice. Nechť

(X, ρ_{X}), (Y, ρ_{Y})

jsou metrické prostory. Funkce

f : X \to Y

je izometrie, pokud

\forall x_{1}, x_{2} \in X : ρ_{X} (x_{1}, x_{2}) = ρ_{Y} (f (x_{1}), f (x_{2}))

. Pokud izometrie existuje, prostory jsou izometrické.

Poznámka. Zjevně platí:

izometrie je prostá
pokud $f, g$ jsou izometrie a existuje $f \circ g$ , potom to taky je izometrie
izometrie zachovává metrické vlastnosti

Definice. Zúplnění (úplný obal) metrického prostoru

(X, ρ)

je úplný metrický prostor

(X^{*}, ρ^{*})

takový, že existuje izometrie

f : X \to X^{*}, f (X) = X^{*}

Lemma. Nechť

(X, τ_{X}), (Y, τ_{Y})

jsou topologické prostory,

(Y, τ_{Y})

je Hausdorffův,

f, g : X \to Y

jsou spojité a

\exists M \subset X : M = X, f |_{M} = g |_{M}

. Potom

f = g

Důkaz. Nechť pro spor existuje

x

takové, že

f (x) \neq g (x)

. Podle Hausdorffova axiomu se tyto dvě hodnoty dají oddělit otevřenými okolími

U, V

. Máme

x \in f^{- 1} (U) \cap g^{- 1} (V) \in τ_{X}

. Jistě existuje nějaké

z \in M \cap f^{- 1} (U) \cap g^{- 1} (V)

. Potom ale

U ∋ f (z) = g (z) \in V

, což je spor s disjunktností

U, V

Věta (o zúplnění). Každý metrický prostor má zúplnění, které je jednoznačné až na izometrii.

Pseudometrické prostory

Definice. Nechť

X

je množina a

ρ : X^{2} \to ℝ_{0}^{+}

(X, ρ)

je pseudometrický prostor, pokud platí

$(\forall x \in X) (ρ (x, x) = 0)$
$(\forall x, y \in X) (ρ (x, y) = ρ (y, x))$
$(\forall x, y, z \in X) (ρ (x, z) \leq ρ (x, y) + ρ (y, z))$

Funkce

ρ

se pak nazývá pseudometrika.

Věta. Nechť

(X, ρ)

je pseudometrický prostor. Potom relace

x \sim y ⟺ ρ (x, y) = 0

je ekvivalence.

Důkaz. Triviální.

Definice. Nechť

(X, ρ)

je pseudometrický prostor. Potom faktorprostor je

\tilde{X} ≔ X ⁄ \sim

Věta. Nechť

(X, ρ)

je pseudometrický prostor. Potom funkce

\tilde{ρ} : {\tilde{X}}^{2} \to ℝ_{0}^{+}, \tilde{ρ} ([x], [y]) ≔ ρ (x, y)

je dobře definovaná metrika.

Důkaz. Stačí ukázat, že je dobře definovaná, poté bude zřejmé, že jde o metriku. Nechť

x \sim x^{'}, y \sim y^{'}

, potom

\tilde{ρ} ([x], [y]) = ρ (x, y) \leq ρ (x, x^{'}) + ρ (x^{'}, y^{'}) + ρ (y^{'}, x) = ρ (x^{'}, y^{'}) = \tilde{ρ} ([x^{'}], [y^{'}])

Analogicky vopáčně, takže platí rovnost.

Poznámka. Typickým příkladem pseudometrického prostoru je prostor lebesgueovsky integrabilních funkcí

ℒ^{1} (ℝ)

s pseudometrikou

ρ (f, g) ≔ \int | f - g |

. Faktorizací z něj dostaneme Lebesgueův prostor

L^{1} (ℝ)

Tady už jsem vzdal myšlenku, že to bude nějak roztříděné do sekcí

Věta. Nechť

(K, τ)

je kompaktní topologický prostor a

f : K \to ℝ

je spojitá. Potom

f

nabývá svého maxima.

Důkaz.

f (K)

je kompaktní, tedy uzavřená a omezená, tedy má konečné suprémum

s ≔ \sup f (K)

. Pokud pro spor

s \notin f (K)

, potom

s \in ℝ ∖ f (K)

, což je otevřená množina, takže tam

s

leží i se svou koulí, což odporuje definici suprema.

Věta. Nechť

(K, ρ)

je kompaktní metrický prostor a

f : K \to ℝ

je spojitá. Potom

f

je stejnoměrně spojitá.

Důkaz. Nechť

ε \in ℝ^{+}

. Z definice spojitosti ke každému

x

najdeme

δ_{x}

takové, že

ρ (x, y) < δ_{x} ⟹ | f (x) - f (y) | < \frac{ε}{2}

. Z kompaktnosti existují

x_{1}, \dots, x_{n}

taková, že

X = ⋃_{i = 1}^{n} B (x_{i}, \frac{δ_{x_{i}}}{2})

. Nechť

δ ≔ \frac{\min {δ_{x_{1}}, \dots, δ_{x_{n}}}}{2}

. Potom pro všechna

x, y \in X, ρ (x, y) < δ

jistě najdeme takové

x_{i}

, že

x \in B (x_{i}, \frac{δ_{x_{i}}}{2})

, tedy

x, y \in B (x_{i}, δ_{x_{i}})

. Potom

| f (x) - f (y) | \leq | f (x) - f (x_{i}) | + | f (x_{i}) - f (y) | \leq ε

Věta. Na množině

ℓ^{\infty} ≔ {x = (x_{n}) \in ℝ^{ω} | \sup_{n \in ℕ} | x_{n} | < \infty}

definujme normu

‖ x ‖ ≔ \sup_{n \in ℕ} | x_{n} |

. Potom to je skutečně norma.

Důkaz. Jednoduchý.

Věta. Prostor

ℓ^{\infty}

není separabilní.

Důkaz. Vezměme podmnožinu

{0,1}^{ω} \subset ℓ^{\infty}

. Pokud kolem každého prvku této množiny uděláme kouli o poloměru

\frac{1}{2}

, dostaneme nespočetně mnoho disjunktních koulí. Jakákoli hustá množina se musí trefit do všech těchto koulí, takže nemůže být hustá.

Definice. Topologický prostor

(X, τ)

je lokálně kompaktní, pokud každý bod má kompaktní okolí.

Věta (jednobodová kompaktifikace). Nechť

(X, τ)

je lokálně kompaktní Hausdorffův prostor. Definujme

X^{*} ≔ X \cup {\infty}, \infty \notin X

τ^{*} ≔ τ \cup {X^{*} ∖ K | K \subset X k o m p a k t n \overset{ˊ}{ı}}

. Potom

(X^{*}, τ^{*})

je kompaktní Hausdorffův prostor.

Důkaz. Musíme nejdřív dokázat, že je to vůbec topologický prostor, a poté zmíněné dvě vlastnosti.

$\emptyset \in τ \subset τ^{*}$
$X^{*} = X^{*} ∖ \emptyset ≕ X^{*} ∖ K \in τ^{*}$
Nechť $A, B \in τ^{*}$ . Pokud $A, B \in τ$ , potom $A \cap B \in τ \subset τ^{*}$ . Pokud $A = X^{*} ∖ K_{1}, B = X^{*} ∖ K_{2}$ , potom $A \cap B = X^{*} ∖ (K_{1} \cup K_{2}) ≕ X^{*} ∖ K \in τ^{*}$ . Pokud $A \in τ, B = X^{*} ∖ K$ , potom $A \cap B = A \cap (X ∖ K) \in τ$ , jelikož $K$ je díky Hausdorffovosti uzavřená v $τ$ .
Nechť $(A_{α}) \subset τ, (B_{β}) = (X^{*} ∖ K_{β})$ . Pokud nemáme žádná $B_{α}$ , potom $⋃_{α} A_{α} \in τ \subset τ^{*}$ . Pokud máme nějaké $B_{α}$ , nechť $A ≔ \cup_{α} A_{α} \in τ, K ≔ \cap_{β} K_{β}$ . $K$ je kompaktní, protože je to uzavřená podmnožina kompaktní množiny. Potom $B ≔ ⋃_{β} B_{β} = X^{*} ∖ K \in τ^{*}$ . Dále $A \cup B = A \cup (X ∖ K) \cup {\infty} = (X ∖ (X ∖ A)) \cup (X ∖ K) \cup {\infty} = (X ∖ (X ∖ A) \cap K) \cup {\infty} = X^{*} ∖ \tilde{K} \in τ^{*}$ kde $\tilde{K}$ je kompaktní, protože je to uzavřená podmnožina kompaktní množiny.

Nyní dokážeme, že

(X^{*}, τ^{*})

je Hausdorffův prostor. Nechť

x, y \in X, x \neq y

. Je-li

x, y \in X

, poutom Hausdorffovost plyne z Hausdorffovosti

(X, τ)

. Nechť tedy

x \in X, y = \infty

. Podle předpokladu lokální kompaktnosti najdeme kompaktní okolí

K ∋ X

. Potom

K °

X^{*} ∖ K

jsou disjunktní otevřená okolí

X, Y

. Zbývá dokázat, že

(X^{*}, τ^{*})

je kompaktní. Nechť

A \cap B = ⋃_{α} A_{α} \cup ⋃_{β} B_{β}

je pokrytí

X^{*}

, kde

A_{α} \in τ

B_{β} = X^{*} ∖ K_{β}

. Musí existovat alespoň jedno

B_{β}

, jinak by pokrytí neobsahovalo

\infty

. Vezměme tedy nějaké konkrétní

β_{0}

. Zjevně

K_{β_{0}} \subset ⋃_{α} A_{α} \cup ⋃_{β} (X ∖ K_{β})

. To je tedy pokrytí

K_{β_{0}}

a najdeme k němu konečné podpokrytí

K_{β_{0}} \subset ⋃_{\tilde{α}} A_{\tilde{α}} \cup ⋃_{\tilde{β}} (X ∖ K_{\tilde{β}})

. Potom

⋃_{\tilde{α}} A_{\tilde{α}} \cup ⋃_{\tilde{β}} B_{\tilde{β}} \cup B_{β_{0}} = X^{*}

, tedy máme konečné podpokrytí původního pokrytí.

Příklad. Pokud tímto způsobem kompaktifikujeme reálná čísla, reálná přímka se tím spojí do jakési kružnice. Můžeme to namapovat na skutečnou kružnici pomocí tzv. stereografické projekce. Reálnou přímku přilepíme zdola ke kružnici, severní pól identifikujeme s

\infty

a ostatní body na kružnici s průsečíkem jejich spojnice se severním pólem a reálné osy. Formálně, pokud máme bod

(x, y)

na jednotkové kružnici, tedy

x^{2} + y^{2} = 1

, přiřadíme mu číslo

t ≔ \frac{2 x}{1 - y}

. Vopáčné zobrazení je

x = \frac{4 t}{4 + t^{2}}, y = \frac{t^{2} - 4}{t^{2} + 4}

Příklad. Pokud to samé uděláme s komplexními čísly, dostaneme tzv. Riemannovu sféru.

Věta. Nechť

(X, ρ)

je metrický prostor a

f : X \to ℂ

je stejnoměrně spojitá funkce. Potom

f

zobrazuje cauchyovské posloupnosti na cauchyovské.

Věta. Na vektorech

ℝ^{2}

zaveďme normu

‖ (x, y) ‖ ≔ \sqrt[p]{{| x |}^{p} + {| y |}^{p}}, p \in ℝ^{+}

. Potom je to norma, právě když

p \geq 1

Důkaz. Nezápornost a vytahování čísla je triviální. Trojúhelníková nerovnost:

\sqrt[p]{{| x_{1} + x_{2} |}^{p} + {| y_{1} + y_{2} |}^{p}} \leq \underset{A}{\underset{⏟}{\sqrt[p]{{| x_{1} |}^{p} + {| y_{1} |}^{p}}}} + \underset{B}{\underset{⏟}{\sqrt[p]{{| x_{2} |}^{p} + {| y_{2} |}^{p}}}}

Je-li

A = 0 \lor B = 0

, důkaz je triviální. Jinak máme

\begin{aligned} \frac{\sqrt[p]{{| x_{1} + x_{2} |}^{p} + {| y_{1} + y_{2} |}^{p}}}{A + B} & \leq \frac{\sqrt[p]{{(| x_{1} | + | x_{2} |)}^{p} + {(| y_{1} | + | y_{2} |)}^{p}}}{A + B} \\ = \sqrt[p]{{(\frac{| x_{1} | + | x_{2} |}{A + B})}^{p} + {(\frac{| y_{1} | + | y_{2} |}{A + B})}^{p}} \\ = \sqrt[p]{{(\frac{A}{A + B} \frac{| x_{1} |}{A} + \frac{B}{A + B} \frac{| x_{2} |}{B})}^{p} + {(\frac{A}{A + B} \frac{| y_{1} |}{A} + \frac{B}{A + B} \frac{| y_{2} |}{B})}^{p}} \\ \leq \sqrt[p]{\frac{A}{A + B} {(\frac{| x_{1} |}{A})}^{p} + \frac{B}{A + B} {(\frac{| x_{2} |}{B})}^{p} + \frac{A}{A + B} {(\frac{| y_{1} |}{A})}^{p} + \frac{B}{A + B} {(\frac{| y_{2} |}{B})}^{p}} \\ = \sqrt[p]{\frac{A}{A + B} \frac{{| x_{1} |}^{p} + {| y_{1} |}^{p}}{A^{p}} + \frac{B}{A + B} \frac{{| x_{2} |}^{p} + {| y_{2} |}^{p}}{B^{p}}} \\ = \sqrt[p]{\frac{A}{A + B} \frac{A^{p}}{A^{p}} + \frac{B}{A + B} \frac{B^{p}}{B^{p}}} = 1 \end{aligned}

kde poslední nerovnost plyne z konvexnosti funkce

x \mapsto x^{p}

. Pro

p < 1

jsou protipříkladem trojúhelníkové nerovnosti vektory

(1,0), (0,1)

(nebo pokud to chceme dělat zbytečně složitě, můžeme dokázat, že jednotková koule není konvexní).

Věta. Nechť

(V, ‖ \cdot ‖)

je normovaný prostor. Potom funkce

‖ \cdot ‖

je stejnoměrně spojitá.

Důkaz. Něco něco epsilon něco něco delta něco něco čtvereček.

Věta. Nechť

(K, ρ)

je kompaktní metrický prostor. Pro spojité funkce

f : K \to ℂ

definujme

‖ f ‖ ≔ \max {| f (x) | | x \in K}

. Máme-li posloupnost funkcí

(f_{n})

, potom

f_{n}

konverguje v

𝒞 (K)

právě tehdy, pokud stejnoměrně konverguje na

K

Důkaz. Jednoduchá série ekvivalencí.

Věta. Prostor

𝒞 (k)

z předchozí věty je úplný.

Důkaz. Chceme dokázat, že každá cauchyovská posloupnost spojitých funkcí v

𝒞 (K)

konverguje v

𝒞 (K)

. Nejdřív dokážeme, že konverguje bodově. To je asi celkem jednoduché. Následně chceme dokázat, že funkce, ke které konvergují, je spojitá. K tomu použijeme nějakou sérii trojúhelníkových nerovností.

Věta. Nechť

𝒞_{b} (ℝ)

je množina omezených spojitých reálných funkcí. Definujme na ní normu

‖ f ‖ ≔ \sup_{x \in ℝ} f (x)

. Potom tento prostor je úplný.

Důkaz. Podobný jako u předchozí věty, vlastně ji částečně můžeme využít, když si reálnou osu rozsekáme na kompaktní intervaly.

Věta. ??????????????????????????????

Topologické vektorové prostory

Definice. Nechť

V

je vektorový prostor nad tělesem

T

τ

je topologie na

V

(V, τ)

je topologický vektorový prostor, pokud

+

\cdot

jsou spojitá zobrazení.

Věta. Nechť

V

je topologický vektorový prostor nad

T

x \in V, λ \in T, λ \neq 0

. Potom

$\forall G \in τ : x + G \in τ \land λ G \in τ$
$\forall F \in c τ : x + F \in c τ \land λ F \in c τ$

Důkaz. Triviální.

Věta. Nechť

V

je topologický vektorový prostor nad

T

A \subset V, U \in τ

. Potom

A + U \in τ

. Navíc pokud

U

je okolí nuly, potom

A + U

je okolí

A

Věta. Nechť

V

je topologický vektorový prostor nad

T

. Potom následující funkce jsou spojité:

$(x, y) \mapsto (x, λ y), λ \in T$
$(x, y) \mapsto α x + β y, α, β \in T$

Důsledek. Nechť

V

je topologický vektorový prostor nad

T

U \in τ, 0 \in U

. Potom

\exists W \in τ, 0 \in W : W + W \subset U

Důsledek. Nechť

V

je topologický vektorový prostor nad

T

U \in τ, 0 \in U

. Potom

\exists W \in τ, 0 \in W : W - W \subset U

Věta. Nechť

V

je topologický vektorový prostor nad

T

. Potom

V

je regulární.

Důkaz. Nechť

x \in V, F \in c τ, x \notin F

. Nechť bez újmy na obecnosti

x = 0

. Potom existuje

W \in τ

takové, že

W - W \subset V ∖ F

. Dokážeme, že

W

F + W

jaou disjunktní okolí oddělující

x

F

. Nechť pro spor

z

je z jejich průniku, tedy

z \in W

z = y + w, y \in F, w \in W

. Potom

y = z - w \in W - W \subset V ∖ F

, tedy

y \notin F

, což je spor.

Definice. Nechť

V

je vektorový prostor nad

ℝ

X \subset V

. Potom konvexní obal

X

, značeno

{[X]}_{κ}

, je nejmenší konvexní nadmnožina

X

Věta. Nechť

V

je vektorový prostor nad

ℝ

X \subset V

. Potom

{[X]}_{κ} = {\sum_{j = 1}^{n} α_{j} x_{j} | n \in ℕ, x_{j} \in M, α_{j} \in ℝ^{+}, \sum α_{j} = 1}

Věta. Nechť

V

je topologický vektorový prostor nad

ℝ

M \in τ

. Potom

{[M]}_{κ} \in τ

Důkaz. Nechť

z \in {[M]}_{κ}

. Potom

z = \sum_{j = 1}^{n} α_{j} x_{j}, n \in ℕ, x_{j} \in M, α_{j} \in ℝ^{+}, \sum α_{j} = 1

. Každé

x_{j}

leží v množině

M

i se svým okolím

U_{j}

. Potom

U ≔ \sum U_{j}

je také otevřená množina a platí

z \in U \subset {[M]}_{κ}

Věta. Nechť

V

je topologický vektorový prostor nad

ℝ

M \subset V

je konvexní. Potom

M °, M

jsou konvexní.

Důkaz.

Zjevně $M ° \subset {[M °]}_{κ} \subset {[M]}_{κ} = M$ . Podle předchozí věty je ${[M °]}_{κ} \in τ$ , tudíž podle maximality vnitřku $M ° = {[M °]}_{κ}$ .
Nechť $x_{1}, x_{2} \in M, α \in (0,1), y ≔ (1 - α) x_{1} + α x_{2}$ . Nechť dále $U$ je otevřené okolí $y$ ; dokážeme, že protíná $M$ , tedy $y \in M$ . Definujme funkci $f : V^{2} \to V, f (z_{1}, z_{2}) ≔ (1 - α) z_{1} + α z_{2}$ . Jelikož $f (x_{1}, x_{2}) = y$ , existují otevřená okolí $W_{1} ∋ x_{1}, W_{2} ∋ x_{2}$ taková, že $(1 - α) W_{1} + α W_{2} = f (W_{1} \times W_{2}) \subset U$ . Jelikož $x_{1}, x_{2} \in M$ , existují $w_{1} \in W_{1} \cap M, w_{2} \in W_{2} \cap M$ , tudíž $f (w_{1}, w_{2}) \in {[M]}_{κ} = M$ a zároveň $f (w_{1}, w_{2}) \in f (W_{1} \times W_{2}) \subset U$ .

Definice. Nechť

V

je topologický vektorový prostor nad

ℝ

. Funkce

p : V \to ℝ_{0}^{+}

je konvexní funkcionál, pokud

$\forall x \in V, λ \in ℝ_{0}^{+} : p (λ x) = | λ | p (x)$
$\forall x, y \in V : p (x + y) \leq p (x) + p (y)$

Věta. Nechť . Potom

p (0) = 0

Důkaz.

p (0) = p (λ \cdot 0) = λ \cdot p (0) = 0

Věta. Nechť

p

je konvexní funkcionál na

V

k \in ℝ^{+}

. Položme

E ≔ {x \in V | p (x) < k}, F ≔ {x \in V | p (x) \leq k}

Potom

E, F

jsou konvexní množiny a platí

\forall x \in V, \exists ε \in ℝ^{+}, \forall λ \in [0, ε) : λ x \in E

Důkaz. Nechť

x_{1}, x_{2} \in E, α \in (0,1), y ≔ (1 - α) x_{1} + α x_{2}

. Potom

p (y) \leq p ((1 - α) x_{1}) + p (α x_{2}) = (1 - α) p (x_{1}) + α p (x_{2}) < k

Analogicky pro

F

. Co se týče druhého tvrzení: Pokud

p (x) = 0

, potom tvrzení zřejmě platí pro jakékoli

ε

. Pokud

p (x) > 0

, stačí zvolit

ε ≔ \frac{k}{p (x)}

Definice. Nechť

V

je topologický vektorový prostor nad

ℝ

E \subset V

je konvexní. Nechť

\forall x \in X, \exists ε \in ℝ^{+}, \forall λ \in [0, ε) : α x \in E

. Položme

p_{E} : V \mapsto ℝ_{0}^{+}, p_{E} (x) ≔ \inf {λ \in ℝ^{+} | \frac{1}{λ} x \in E}

Potom

p_{E}

je Minkowského funkcionál příslušející

E

Věta. Minkowského funkcionál je konvexní funkcionál.

Důkaz. Možná někdy uděláme na cvičení.

Věta (Hahn-Banach pro $T = ℝ$ ). Nechť

V

je topologický vektorový prostor nad

ℝ

p

je konvexní funkcionál na

V

V_{0} \subset V

je podprostor a

f_{0}

je lineární funkcionál na

V_{0}

takový, že

\forall x \in V_{0}, f_{0} (x) \leq p (x)

. Potom existuje lineární funkcionál

f

V

takový, že

f |_{V_{0}} = f_{0}

\forall x \in V : f (x) \leq p (x)

Důkaz. Nechť

z \in V ∖ V_{0}, W ≔ V_{0} + ℝ z

. Pro nějaké

c \in ℝ

definujme lineární funkci

g \in ℒ (W)

\forall v \in V_{0}, λ \in ℝ : g (v + λ z) ≔ f_{0} (v) + λ c

Tedy speciálně

g |_{V_{0}} = f_{0}

c

zvolíme tak, aby

\forall x \in W : g (x) \leq p (x)

\forall y \in V_{0} : - p (- y - z) - f_{0} (y) \leq c \leq p (y + z) - f_{0} (y)

Takové

c

existuje právě tehdy, pokud

\sup_{y \in V_{0}} (- p (- y - z) - f_{0} (y)) \leq \sup_{y \in V_{0}} (p (y + z) - f_{0} (y))

\forall y_{1}, y_{2} \in V_{0} : - p (- y_{1} - z) - f_{0} (y_{1}) \leq p (y_{2} + z) - f_{0} (y_{2})

\forall y_{1}, y_{2} \in V_{0} : f_{0} (y_{2} - y_{1}) \leq p (- y_{1} - z) + p (y_{2} + z)

To platí podle trojúhelníkové nerovnosti:

f_{0} (y_{2} - y_{1}) \leq p (y_{2} - y_{1}) = p (y_{2} + z - y_{1} - z) \leq p (y_{2} + z) + p (- y_{1} - z)

Z toho plyne, že dokážeme funkci prodloužit o jednu dimenzi. Pro konečnědimenzionální prostor by to stačilo, ale my chceme být super obecní, takže musíme použít Zornovo lemma. Definujme

ℱ ≔ {(W, y) | W ⋐ V, V_{0} \subset W, g \in ℒ (W, ℝ), g |_{V_{0}} = f_{0}, \forall x \in W : g (x) \leq p (x)}

ℱ

je neprázdná, protože zjevně

(V_{0}, f_{0}) \in ℱ

. Definujme na této množině relaci

\leq

(W_{1}, g_{1}) \leq (W_{2}, g_{2}) ⟺ W_{1} \subset W_{2} \land g_{2} |_{V_{1}} = g_{1}

Snadno dokážeme, že je to (částečné) uspořádání. Nechť

𝒢 ≕ {(W_{α}, g_{α}) | α \in 𝒜} \subset ℱ

je řetězec (úplně uspořádaná podmnožina). Nechť

W ≔ ⋃_{α \in 𝒜} W_{α}

, potom snadno dokážeme

W ⋐ V

. Také je zřejmé, že pokud

α, β \in 𝒜, x \in W_{α} \cap W_{β}

, potom

g_{α} (x) = g_{β} (x)

. Tudíž pro

x \in W

můžeme jednoznačně definovat

g (x) ≔ g_{α} (x), α \in 𝒜

. Snadno ověříme, že

g

je lineární funkcionál,

\forall x \in W : g (x) \leq p (x)

g |_{V_{0}} = f_{0}

. Tudiž

(W, g) \in ℱ

a zjevně je to horní závora

𝒢

. Podle Zornova lemmatu v

ℱ

existuje maximální prvek

(W, g)

. Dokážeme, že

W = V

. Nechť pro spor

W \neq V

, zvolme

z \in V ∖ W

a definujme

W_{1} ≔ W + ℝ z

. Podle již dokázaného prodlužování o jednu dimenzi existuje

g_{1} \in ℒ (W_{1}, ℝ)

takový, že

g_{1} |_{W} = g

\forall x \in W_{1} : g_{1} (x) \leq p (x)

. To znamená, že

(W_{1}, g_{1}) \in ℱ

, ale

(W_{1}, g_{1}) > (W_{g})

, což je spor s maximalitou

(W, g)

Definice. Nechť

V

je vektorový prostor. Funkce

‖ \cdot ‖ : V \to ℝ_{0}^{+}

je seminorma, pokud je to norma, akorát může pro nenulový vektor být nulová.

Věta (Hahn-Banach pro $T = ℂ$ ). Nechť

V

je vektorový prostor nad

ℂ

p

je seminorma na

V

V_{0} \subset V

je podprostor a

f_{0}

je lineární funkcionál na

V_{0}

takový, že

\forall x \in V_{0}, | f_{0} (x) | \leq p (x)

. Potom existuje lineární funkcionál

f

V

takový, že

f |_{V_{0}} = f_{0}

\forall x \in V : | f (x) | \leq p (x)

Důkaz. Nechť

V_{ℝ}, V_{0 ℝ}

jsou vektorové prostory nad

ℝ

definované zúžením násobení u

V, V_{0}

. Snadno ověříme, že

p

je konvexní funkcionál na

V_{ℝ}

. Definujme

f_{0 ℝ} ≔ ℜ \circ f_{0}

; zjevně je to lineární funkcionál na

V_{0 ℝ}

f_{0 ℝ} (x) \leq p (x)

. Podle Hahn-Banacha pro

ℝ

existuje funkcionál

f_{ℝ}

V_{ℝ}

takový, že

f_{ℝ} |_{V_{0 ℝ}} = f_{0 ℝ}

f_{ℝ} (x) \leq p (x)

. Definujme

f : V \to ℂ, f (x) ≔ f_{ℝ} (x) - i f_{ℝ} (i x)

. Dokážeme, že je to funkce, kterou hledáme. Začneme tím, že je lineární. Zjevně je aditivní a homogenní s reálnými čísly, takže stačí dokázat

f (i x) = i f (x)

f (i x) = f_{ℝ} (x) - i f_{ℝ} (- i x) = i (f_{ℝ} (x) - i f_{ℝ} (i x)) = i f (x)

Pro

x \in V_{0}

máme

f (x) = f_{ℝ} (x) - i f_{ℝ} (i x) = f_{0 ℝ} (x) - i f_{0 ℝ} (i x) = ℜ (f_{0} (x)) - i ℜ (f_{0} (i x)) = ℜ (f_{0} (x)) + i ℑ (f_{0} (x)) = f_{0} (x)

Ještě zbývá dokázat nerovnost s

p

. Pro každé

x \in V

jistě najdeme

c \in ℂ, | c | = 1

takové, že

c f (x) \in ℝ_{0}^{+}

. Potom

| f (x) | = | c f (x) | = c f (x) = f (c x) = ℜ (f (c x)) = f_{ℝ} (c x) \leq p (c x) = | c | p (x) = p (x)

Metrické vektorové prostory

Definice. Metrika

ρ

na vektorovém prostoru

V

je invariantní, pokud

\forall x, y, z \in V : ρ (x + z, y + z) = ρ (x, y)

Poznámka. Nechť

ρ

je invariantní metrika na

V

. Potom

ρ (x, y) = ρ (0, x - y)

. Speciálně

ρ (0, x) = ρ (0, - x)

Poznámka. Nechť

ρ

je invariantní metrika na

V

. Potom

ρ (x + x^{'}, y + y^{'}) \leq ρ (x, x^{'}) + ρ (y, y^{'})

, tedy

+

je spojitá funkce.

Definice. Topologický vektorový prostor je metrický vektorový prostor, pokud je topologie určena invariantní metrikou.

Definice. Fréchetův prostor je úplný metrický vektorový prostor.

Věta. Nechť

V

je vektorový prostor a

{‖ \cdot ‖}_{p}

je posloupnost seminorem taková, že

\forall x \in V : (\forall p \in ℕ : {‖ x ‖}_{p} = 0) ⟹ x = 0

. Potom funkce

ρ : V \times V \to ℝ_{0}^{+}

definovaná následovně je invariantní metrika:

ρ (x, y) ≔ \sum_{p = 1}^{\infty} 2^{- p} \frac{{‖ x - y ‖}_{p}}{1 + {‖ x - y ‖}_{p}}

Důkaz. Snadno ověříme, že řada vždy konverguje, takže funkce je dobře definovaná. Triviálně

ρ (x, y) = 0 ⟺ x = y

. Komutativita je ještě triviálnější. Trojúhelníková nerovnost už je zajímavější:

\begin{aligned} \frac{‖ x - z ‖}{1 + ‖ x - z ‖} & \leq \frac{‖ x - y ‖ + ‖ y - z ‖}{1 + ‖ x - y ‖ + ‖ y - z ‖} \\ = \frac{‖ x - y ‖}{1 + ‖ x - y ‖ + ‖ y - z ‖} + \frac{‖ y - z ‖}{1 + ‖ x - y ‖ + ‖ y - z ‖} \\ \leq \frac{‖ x - y ‖}{1 + ‖ x - y ‖} + \frac{‖ y - z ‖}{1 + ‖ y - z ‖} \end{aligned}

Že jde o invariantní metriku, je zřejmé.

Věta. Nechť

V

je vektorový prostor a

{‖ \cdot ‖}_{p}

je posloupnost seminorem taková, že

\forall x \in V : (\forall p \in ℕ : {‖ x ‖}_{p} = 0) ⟹ x = 0

. Vezměme topologii

τ_{2}

definovanou metrikou z předchozí věty a topologii

τ_{2}

danou následující bází:

U (n, ε) ≔ {x \in V | \forall p \in {0, \dots, n} : {‖ x ‖}_{p} < ε} = ⋂_{p = 0}^{n} B_{p} (0, ε)

ℬ_{2} ≔ {x + U (n, ε) | x \in V, n \in ℕ_{0}, ε \in ℝ^{+}}

Potom

τ_{1} = τ_{2}

Důkaz. Ověříme podmínku, že

ℬ_{1} \subset τ_{2} \land ℬ_{2} \subset τ_{1}

. Nechť

x \in V, r \in ℝ^{+}

. Chceme ukázat, že

B (x, r) \in τ_{2}

. To ukážeme tak, že každý bod tam leží s nějakým bazickým okolím. Nechť tedy

y \in B (x, r)

. Hledáme taková

n, ε

, aby

y + U (n, ε) \subset B (x, r)

, k čemuž stačí

\forall z \in U (n, ε) : ρ (0, z) < r ρ (y, z) ≕ d

. K tomu využijeme nějaké odhady s geometrickou řadou. Druhá inkluze se udělá analogicky.

Normované vektorové prostory

Definice. Nechť

V

je vektorový prostor. Zobrazení

‖ \cdot ‖

je norma, pokud… to už snad všichni víme, ne?

Definice. Nechť

(X, {‖ \cdot ‖}_{X}), (Y, {‖ \cdot ‖}_{Y})

jsou normované prostory. Zobrazení

A \in ℒ (X, Y)

je omezené, pokud

\exists M \in ℝ^{+}, \forall x \in X : {‖ A x ‖}_{Y} \leq M {‖ x ‖}_{X}

Věta. Nechť

(X, {‖ \cdot ‖}_{X}), (Y, {‖ \cdot ‖}_{Y})

jsou normované prostory. Je-li zobrazení

A \in ℒ (X, Y)

omezené, potom je spojité.

Důkaz. Dokážeme, že

A

zobrazuje konvergentní posloupnosti na konvergentní. Nechť

(x_{n}) \in X^{ω}, x_{n} \to x

. Potom

{‖ A x_{n} - A x ‖}_{Y} = {‖ A (x_{n} - x) ‖}_{Y} \leq M ‖ x_{n} - x ‖

. Limitním přechodem

A x_{n} \to A x

Věta. Uvažujme Fourierovu transformaci

ℱ : L^{1} (ℝ) \to 𝒞_{b} (ℝ)

definovanou jako

ℱ [f] (x) ≔ \int_{ℝ} \exp (i x y) f (y) d y

Potom

ℱ

je omezené lineární zobrazení.

Důkaz. Pro libovolné

x

máme

| ℱ [f] (x) | \leq \int_{ℝ} | \exp (i x y) | | f (y) | d y = \int_{ℝ} | f (y) | d y

Z toho plyne, že

{‖ F [f] ‖}_{b} \leq {‖ f ‖}_{1}

. Ovšem hlavně musíme ověřit, že

ℱ [f]

je vůbec spojitá. Opět využijeme podmínku posílání konvergentních posloupností na konvergentní:

ℱ [f] (x_{n}) = \int_{ℝ} \exp (i x_{n} y) f (y) d y \to_{\underset{}{i n t e g r a b i l n \overset{ˊ}{ı} m a j o r a n t a}}^{\overset{}{pokud existuje}} \int_{ℝ} \lim_{n \to \infty} \exp (i x_{n} y) f (y) d y = ℱ [f] (x)

Jako majorantu asi stačí vzít

f

Definice. Nechť

(X, {‖ \cdot ‖}_{X}), (Y, {‖ \cdot ‖}_{Y})

jsou normované prostory. Norma omezeného zobrazení

A \in ℒ (X, Y)

‖ A ‖ ≔ \sup_{{‖ x ‖}_{X} \leq 1} {‖ A x ‖}_{Y} = \sup_{x \in X ∖ {0}} \frac{{‖ A x ‖}_{Y}}{{‖ x ‖}_{X}} = \sup_{{‖ x ‖}_{X} = 1} {‖ A x ‖}_{Y} = \min {M \in ℝ_{0}^{+} | \forall x \in X : ‖ A x ‖ \leq M}

Důkaz (ekvivalence definic). Ekvivalence prvních tří definic plyne triviálně z vlastností normy. Co se týče poslední:

\forall x \in X, x \neq 0 : \frac{‖ A x ‖}{‖ x ‖} \leq ‖ A ‖ ∴ ‖ A x ‖ \leq ‖ A ‖ ‖ x ‖

Tedy

‖ A ‖

patří do množiny, z níž děláme minimum, a zároveň musí být menší nebo rovna všem jejím prvkům, tedy je to minimum.

Příklad. Jelikož

M

u Fourierovy transformace bylo

1

, jistě

‖ ℱ ‖ \leq 1

. Abychom normu odhadli zespodu, zkusme najít Fourierovu transformaci nějaké konkrétní funkce. Nechť

f (y) ≔ \exp (- y) ϑ (y) ≔ \exp (- y) [y \geq 0]

, potom

ℱ [f] (x) = \int_{0}^{\infty} \exp (- (1 - i x) y) d y = \frac{1}{1 - i x}

{‖ ℱ [f] ‖}_{b} = \sup_{x \in ℝ} | ℱ [f] (x) | = \sup_{x \in ℝ_{0}^{+}} \frac{1}{| 1 - i x |} = 1

{‖ f ‖}_{1} = \int_{ℝ} | f | = \int_{0}^{\infty} | \exp (- y) | d y = 1

Tedy

\frac{{‖ ℱ [f] ‖}_{𝐜}}{{‖ f ‖}_{1}} = 1

, tudíž

‖ ℱ ‖ = 1

Věta. Nechť

X, Y

jsou normované vektorové prostory. Potom prostor omezených lineárních zobrazení

ℬ (X, Y) \subset ℒ (X, Y)

s operátorovou normou je normovaný prostor.

Důkaz. Nechť

A, B \in ℬ (X, Y), x \in X

‖ (A + B) x ‖ \leq ‖ A x ‖ + ‖ B x ‖ \leq (‖ A ‖ + ‖ B ‖) x

Z toho plyne, že

A + B

je omezené a

‖ A + B ‖ \leq ‖ A ‖ + ‖ B ‖

. Homogenita plyne přímo z definice. Zbývá ukázat, že pokud

A \neq 0

, potom

‖ A ‖ > 0

. Jisté existuje takové

x \in X

, že

A x \neq 0

, potom

‖ A ‖ \geq \frac{‖ A x ‖}{‖ x ‖} > 0

Věta. Nechť

X, Y

jsou normované vektorové prostory a

A \in ℒ (X, Y)

. Potom následující výroky jsou ekvivalentní:

$A$ je omezené
$A$ je stejnoměrně spojité
$A$ je spojité
$A$ je spojité v nějakém bodě

Důkaz.

(2) ⟹ (3) ⟹ (4)

by zvládl i student VŠE.

(1) ⟹ (2)

: nechť

x_{1}, x_{2} \in X

, potom

‖ A x_{1} - A x_{2} ‖ \leq ‖ A ‖ ‖ x_{1} - x_{2} ‖

, tedy v definici stejnoměrné spojitosti stačí volit

δ ≔ \frac{ε}{‖ A ‖}

. Zbývá

(4) ⟹ (1)

. Nechť

A

je spojité v bodě

x_{0} \in X

ε \in ℝ^{+}

. K tomu najdeme

δ \in ℝ^{+}

takové, že

‖ x - x_{0} ‖ < δ ⟹ ‖ A x - A x_{0} ‖ < ε

. Nechť dále

v \in X, ‖ v ‖ \leq 1

. Vezmeme-li

λ \in (o, δ)

, potom

‖ λ (x_{0} + v) - λ x_{0} ‖ = ‖ λ v ‖ < δ

, tudíž

λ ‖ A v ‖ = ‖ A λ (x_{0} + v) - A λ x_{0} ‖ < ε

Limitním přechodem

‖ A v ‖ \leq \frac{ε}{δ}

. Jelikož jsme za

v

volili obecný vektor normy nejvýše

1

, máme

‖ A ‖ \leq \frac{ε}{δ}

Věta. Nechť

X, Y, Z

jsou normované vektorové prostory,

A \in ℬ (X, Y), B \in ℬ (Y, Z)

. Potom

B A \in ℬ (X, Z), ‖ B A ‖ \leq ‖ B ‖ ‖ A ‖

Důkaz. Nechť

x \in X

, potom

‖ B A x ‖ \leq ‖ B ‖ ‖ A ‖ ‖ x ‖

Důsledek. Je-li

X

normovaný prostor, potom

ℬ (X)

je normovaná algebra s jednotkou (vektorový prostor, kde se vektory navíc dají násobit).

Důsledek. Je-li

A \in ℬ (X)

, potom

‖ A^{n} ‖ \leq {‖ A ‖}^{n}

Definice. Nechť

X

je normovaný prostor s dvěma normami

{‖ \cdot ‖}_{1}, {‖ \cdot ‖}_{2}

. Tyto normy jsou ekvivalentní, pokud

\exists A, B \in ℝ^{+}, \forall x \in X : A {‖ x ‖}_{2} \leq {‖ x ‖}_{1} \leq B {‖ x ‖}_{2}

Věta. Normy jsou ekvivalentní, právě když indukují stejnou topologii.

Důkaz. Zřejmě stačí dokázat, že identita je spojité zobrazení. A to je právě tehdy, pokud je omezené. Což dokážeme snadno.

Věta. Každé dvě normy na prostoru konečné dimenze jsou ekvivalentní.

Důkaz.

Nechť $X$ je nenulový vektorový prostor nad $ℂ$ a $\dim X = n \in ℕ$ . Mějme v něm nějakou normu $‖ \cdot ‖$ . Pokud vezmeme $X$ jako prostor nad $ℝ$ , jeho dimenze bude dvojnásobná, ale normu máme stejnou. Tedy stačí uvažovat prostory nad $ℝ$ .
Nechť $X, Y$ jsou vektorové prostory, $U : X \to Y$ je izomorfismus a ${‖ \cdot ‖}_{Y}$ je norma nad $Y$ . Pokud definujeme ${‖ x ‖}_{X} ≔ {‖ U x ‖}_{Y}$ , potom to taky bude norma (důkaz triviální) a $U$ bude její izometrie. Z toho plyne, že každý normovaný prostor dimenze $n$ je izometrický s $ℝ^{n}$ , tedy stačí uvažovat prostor $ℝ^{n}$ .

Ukážeme, že každá norma je ekvivalentní euklidovské normě. Odhad na jednu stranu je snadný: nechť

x = (ξ_{1}, \dots, ξ_{n}) \in ℝ^{n}

B

, potom

‖ x ‖ \leq \sum_{i = 1}^{n} | ξ_{i} | ‖ e_{i} ‖ \leq B \sum_{i = 1}^{n} | ξ_{i} | \leq B \sqrt{n} {‖ x ‖}_{2}

Z toho plyne, že

‖ \cdot ‖

je (stejnoměrně) spojitá vzhledem k euklidovské normě. Nechť

S_{1} ≔ {x \in ℝ^{n} | {‖ x ‖}_{2} = 1}

. Vezměme

x_{0} \in S_{1}

takové, že

A ≔ ‖ x_{0} ‖

je minimální, což existuje, protože

S_{1}

je kompaktní, potom

\forall x \in ℝ^{n} : A {‖ x ‖}_{2} \leq ‖ x ‖

Důsledek. Normovaný prostor konečné dimenze je úplný.

Důkaz. Díky ekvivalenci norem je úplnost přenese z euklidovské normy do nějaké jiné normy, která je izometrická s normou toho prostoru.

Důsledek. Nechť

X

je normovaný prostor a

V ⋐ X

je konečné dimenze. Potom

V

je uzavřený.

Důkaz. Konverguje-li posloupnost bodů z

V

X

, potom je cauchyovská, tudíž konverguje i ve V.

Věta. Nechť

X, Y

jsou vektorové prostory,

V ⋐ X

A \in ℒ (X, Y), B ≔ A |_{V}

. Potom

‖ B ‖ \leq ‖ A ‖

Důkaz. Triviální.

Definice. Duální prostor k normovanému prostoru

X

nad tělesem

T

X^{*} ≔ ℬ (X, T)

(množina omezených lineárních zobrazení z prostoru do tělesa).

Věta (Hahn-Banach). Nechť

X

je normovaný vektorový prostor nad

ℝ

nebo

ℂ

X_{0} ⋐ X

f_{0} \in X_{0^{*}}

. Potom existuje

f \in X^{*}

takové, že

F |_{X_{0}} = f_{0}

‖ f ‖ = ‖ f_{0} ‖

Důkaz. Použijeme již dokázané speciální případy Hahn-Banachovy věty, kde zvolíme

p (x) ≔ ‖ f_{0} ‖ ‖ x ‖

. Potom

\forall x \in X_{0} : | f_{0} (x) | \leq ‖ f_{0} ‖ ‖ x ‖ = p (x)

, tedy je to seminorma nebo konvexní funkcionál. Dostaneme funkci

f

, která je rozšíření

f_{0}

a pro všechna

x

platí

| f (x) | \leq p (x)

(v komplexním případě). V reálném případě máme jen

f (x) \leq p (x)

, ale to snadno opravíme, protože

- f (x) = f (- x) \leq p (- x) = p (x)

. Z toho snadno odvodíme, že

‖ f ‖ \leq ‖ f_{0} ‖

. Nerovnost na druhou stranu plyne z toho, že je to zúžení.

Věta. Nechť

X

je normovaný prostor nad tělesem

T

x, y \in X, x \neq y

. Potom existuje

f \in X^{*}

takové, že

f (x - y) = ‖ x - y ‖

‖ f ‖ = 1

Důkaz. Nechť

z ≔ x - y

X_{0} ≔ T z \subset X

. Na

X_{0}

definujeme zobrazení

f_{0} (λ z) ≔ λ ‖ z ‖

a rozšíříme ho pomocí Hahn-Banacha; výsledek bude zjevně splňovat požadavky věty.

Banachovy prostory

Definice. Banachův prostor je úplný normovaný prostor.

Věta (o zúplnění normovaného prostoru). Nechť

X

je normovaný prostor. Potom existuje Banachův prostor

\hat{X}

takový, že

X ⋐ \hat{X}

X = \hat{X}

. Navíc je určen jednoznačně až na izometrii, jejíž zúžení na

X

je identita.

Důkaz. Šťovíček ho neukazoval, protože vypadá úplně stejně jako u normální věty o zúplnění, akorát musíme ještě sledovat, že se zachovává lineární struktura.

Věta. Nechť

X

je normovaný prostor,

V ⋐ X

𝒴

je Banachův prostor a

A \in ℬ (V, 𝒴)

. Potom

\exists_{1} \hat{A} \in ℬ (V, 𝒴) : \hat{A} |_{V} = A

. Navíc

‖ \hat{A} ‖ = ‖ A ‖

Důkaz. Pro každé

x \in V

vezměme nějakou posloupnost

(x_{n}) \subset V, x_{n} \to x

. Tato posloupnost je cauchyovská, takže díky omezenosti

A

je i posloupnost

A x_{n}

cauchyovská a díky úplnosti

𝒴

konverguje. Definujme

\hat{A} x ≔ \lim_{n \to \infty} A x_{n}

. Dokažme, že tato definice je jednoznačná: nechť

({\tilde{x}}_{n})

je jiná posloupnost konvergující k

x

, potom

‖ \lim A x_{n} - \lim A {\tilde{x}}_{n} ‖ = ‖ \lim A (x_{n} - {\tilde{x}}_{n}) ‖ \leq ‖ A ‖ \lim ‖ x_{n} - {\tilde{x}}_{n} ‖ = 0

Taky by mělo být celkem zjevné, že

\hat{A} \in ℒ (V, 𝒴)

. K dokázání, že

\hat{A} |_{V} = A

, stačí vzít

x_{n} ≔ x

. Dále ukážeme rovnost norem: nechť

x \in V

, potom

‖ \hat{A} x ‖ = ‖ \lim A x_{n} ‖ = \lim ‖ A x_{n} ‖ \leq ‖ A ‖ \lim ‖ x_{n} ‖ = ‖ A ‖ ‖ x ‖

Odtud

‖ \hat{A} ‖ \leq ‖ A ‖

, vopáčná nerovnost plyne z toho, že je to rozšíření. Nyní zbývá jednoznačnost. Nechř

B

je jiné rozšíření, potom pro všechna

x \in V

máme

B x = \lim B x_{n} = \lim A x_{n} = \hat{A} x

Důsledek. Nechť

X

je normovaný prostor,

𝒳

jeho zúplnění a

𝒴

Banachův prostor. Potom zobrazení

ℬ (𝒳, 𝒴) \Rightarrow ℬ (X, 𝒴), A \mapsto A |_{X}

je izometrický izomorfismus. Tedy speciálně

X^{*} ≃ 𝒳^{*}

Věta. Nechť

X

je normovaný prostor a

𝒴

Banachův prostor. Potom

ℬ (X, 𝒴)

je Banachův prostor.

Důkaz. Nechť

(A_{n}) \subset ℬ (X, 𝒴)

je cauchyovská posloupnost. Nechť

x \in X

, potom

‖ A_{n} x - A_{m} x ‖ \leq ‖ A_{n} - A_{m} ‖ ‖ x ‖ \to 0

, tedy posloupnost

(A_{n} x)

je cauchyovská a tudíž konvergentní. Definujeme

A x ≔ \lim A_{n} x

. Snadno dokážeme, že

‖ A ‖ \leq \sup ‖ A_{n} ‖

, tedy

A

je omezené. Nyní zbývá dokázat, že

A_{n} \to A

. S obvyklými kvantifikátory pro cauchyovskost platí

‖ A_{n} x - A_{m} x ‖ \leq ‖ A_{n} - A_{m} ‖ ‖ x ‖ \leq ε ‖ x ‖

Limitním přechodem

m \to \infty

dostáváme

‖ A_{n} - A ‖ \leq ε

Důsledek. Je-li

𝒳

Banachův prostor, potom

ℬ (𝒳)

je Banachův prostor.

Důsledek. Je-li

X

normovaný prostor, potom

X^{*}

je Banachův prostor.

Konvergence v normovaných prostorech

Definice. Nechť

X

je normovaný prostor,

(x_{n}) \subset X

x \in X

. Říkáme, že

$(x_{n})$ konverguje k $x$ silně, pokud $\lim_{n \to \infty} ‖ x - x_{n} ‖ = 0$ .
$(x_{n})$ konverguje k $x$ slabě, pokud $\forall φ \in X^{*} : \lim_{n \to \infty} φ (x_{n}) = φ (x)$ .

Poznámka. Jednoznačnost slabé limity plyne z Hahn-Banachovy věty:

\forall x, y \in X, \exists φ \in X^{*} : φ (x) = φ (y) ⟹ x = y

Věta. Nechť

X

je normovaný prostor. Pro

φ_{1}, \dots, φ_{n} \in X^{*}, ε \in ℝ^{+}

definujme

U (φ_{1}, \dots, φ_{n}; ε) ≔ {x \in X | \forall j \in \hat{n} : | φ_{j} (x) | < ε}

ℬ ≔ {x + U (φ_{1}, \dots, φ_{n}; ε) | x \in X, φ_{1}, \dots, φ_{n} \in X^{*}, ε \in ℝ^{+}}

Potom

ℬ

je báze topologie a posloupnost konverguje v této topologii právě tehdy, pokud slabě konverguje v normě.

Důkaz. Nedokazujeme, protože na tom není nic extra zajímavého a nemáme čas.

Definice. Topologie z věty výše je slabá topologie.

Definice. Nechť

X, Y

jsou normované prostory,

(A_{n}) \subset ℬ (X, Y)

A \in ℬ (X, Y)

. Říkáme, že

$(A_{n})$ konverguje k $A$ stejnoměrně nebo v operátorové normě, pokud $\lim_{n \to \infty} ‖ A_{n} - A ‖ = 0$ . $(A_{n})$ konverguje k $A$ silně, pokud $\forall x \in X : \lim_{n \to \infty} ‖ A_{n} x - A x ‖ = 0$ . $(A_{n})$ konverguje k $A$ slabě, pokud $\forall x \in X, φ \in Y^{*} : \lim_{n \to \infty} ‖ φ (A_{n} x) - φ (A x) ‖ = 0$ .

Lebesgueovy prostory

Definice. Nechť

(X, μ)

je prostor s mírou a

p \in [1, \infty)

. Pro měřitelnou funkci

f : X \to ℂ

definujeme

{‖ f ‖}_{p} ≔ \sqrt[p]{\int_{X} {| f |}^{p} d μ}

{‖ f ‖}_{\infty} ≔ \underset{x \in X}{ess sup} | f (x) | ≔ \inf {M \in ℝ_{0}^{+} | \forall_{μ} x \in X : | f (x) | \leq M}

Funkce

f

p

-integrovatelná, pokud

{‖ f ‖}_{p} < \infty

. Speciálně pro

p = 1

říkáme jen integrovatelná.

Poznámka. Ve skutečnosti budeme brát funkce jako třídy ekvivalence, kde

f \sim g ⟺ \forall_{μ} x \in X : f (x) = g (x)

Věta (Youngova nerovnost). Nechť

p, q \in (1, \infty), \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1

(jsou to sdružené exponenty). Potom

\forall a, b \in ℝ_{0}^{+} : a b \leq \frac{a^{p}}{p} + \frac{b^{q}}{q}

Důkaz. Pro

a = 0 \lor b = 0

zřejmé, nechť tedy

a, b > 0

. Substituujme

c ≔ a^{p}, d ≔ b^{q}

\sqrt[p]{c} \sqrt[q]{d} \overset{♡}{\leq} \frac{c}{p} + \frac{d}{q}

\frac{\ln c}{p} + \frac{\ln d}{q} \overset{♡}{\leq} \ln (\frac{c}{p} + \frac{d}{q})

To platí, protože logaritmus je konkávní funkce.

Věta (Hölderova nerovnost). Nechť

(X, μ)

je prostor s mírou,

f, g : X \to ℝ_{0}^{+}

jsou měřitelné funkce a

p, q

jsou sdružené exponenty. Potom

\int_{X}

Důkaz. Pro

{‖ f ‖}_{p} = 0 \lor {‖ g ‖}_{p} = 0

zřejmé. Stejně tak pro

{‖ f ‖}_{p} = \infty \lor {‖ g ‖}_{p} = \infty

. Můžeme tedy předpokládat, že normy jsou kladné konečné. Znormujme obě funkce:

F

Po vydělení obou stran kýžené nerovnosti normami dostáváme

\int F G d μ \overset{♡}{\leq} 1

Z Youngovy nerovnosti máme

F G \leq \frac{F^{p}}{p} + \frac{G^{q}}{q}

\int

Poznámka. Také platí pro

p = 1, q = \infty

a vopáčně, což ověříme snadno.

Věta (Minkowského nerovnost). Nechť

(X, μ)

je prostor s mírou,

f, g : X \to ℝ_{0}^{+}

jsou měřitelné funkce a

p \in [1, \infty)

. Potom

{‖ f + g ‖}_{p} \leq {‖ f ‖}_{p} + {‖ g ‖}_{p}

Důkaz. Opět pro nulu a nekonečno zřejmé, tedy můžeme znormovat:

F ≔ \frac{f}{{‖ f ‖}_{p}}, G ≔ \frac{g}{{‖ g ‖}_{p}}, A ≔ {‖ f ‖}_{p}, B ≔ {‖ g ‖}_{p}

Vydělením obou stran

A + B

dostáváme

{‖ \frac{A}{A + B} F + \frac{B}{A + B} G ‖}_{p} \overset{♡}{\leq} 1

\int {(\frac{A}{A + B} F + \frac{B}{A + B} G)}^{p} d μ \overset{♡}{\leq} 1

Z konvexnosti funkce

x \mapsto x^{p}

máme

\int {(\frac{A}{A + B} F + \frac{B}{A + B} G)}^{p} d μ \leq \int (\frac{A}{A + B} F^{p} + \frac{B}{A + B} G^{p}) d μ = 1

Na rozdíl od Štampacha jsme to zvládli bez Hölderovy nerovnosti a navíc mnohem jednodušeji??? Nebo ne?

Důsledek. Nechť

(X, μ)

je prostor s mírou,

p, q

jsou sdružené exponenty a

f \in L^{p} (X, d μ), g \in L^{q} (X, d μ)

. Potom

f g \in L^{1} (X, d μ)

| \int_{X} f g d μ |

Důsledek. Nechť

(X, μ)

je prostor s mírou,

p \in [1, \infty)

f, g \in L^{p} (X, d μ)

. Potom

f + g \in L^{p} (X, d μ)

Věta. Nechť

(X, μ)

je prostor s mírou a

p \in [1, \infty]

. Potom

(L^{p} (X, d μ), {‖ \cdot ‖}_{p})

je Banachův prostor.

Důkaz. Snadno ukážeme, že

{‖ f ‖}_{p} \geq 0

{‖ f ‖}_{p} = 0 ⟺ f \sim 0

. Trojúhelníková nerovnost je pro

p = \infty

triviální a pro ostatní

p

Minkowského nerovnost. Zbývá úplnost. Mějme cauchyovskou posloupnost

(f_{n}) \subset L^{p}

. Zkonstruujme podposloupnost

(f_{n_{j}})

tak, že v

j

-tém kroku z cauchyovskosti najdeme

n_{j}

takové, že

\forall m > n_{j} : {‖ f_{m} - f_{n_{j}} ‖}_{p} < 2^{- j}

. Taková podposloupnost zjevně má tu vlastnost, že

\forall j \in ℕ : {‖ f_{n_{j + 1}} - f_{n_{j}} ‖}_{p} < 2^{- j}

. Dále označme

g_{k}

. Potom z trojúhelníkové nerovnosti a geometrické řady plyne

{‖ g_{k} ‖}_{p} \leq 1

. Podle Fatouova lemmatu:

\int_{X} g^{p} d μ = \int_{X} \lim_{k \to \infty} g_{k}^{p} d μ \leq \underset{k \to \infty}{lim inf} \int_{X} g_{k}^{p} d μ \leq 1

Z toho plyne, že

g^{p} \in L^{1}

, tedy pro skoro všechna

x

g (x) < \infty

, tudíž řada

\sum_{j = 1}^{\infty} (f_{n_{j + 1}} - f_{n_{j}})

konverguje absolutně skoro všude. Odtud plyne, že pro skoro všechna

x

existuje

\lim_{k \to \infty} f_{n_{k}} (x) = \lim_{k \to \infty} (f_{n_{1}} (x) + \sum_{j = 1}^{k - 1} (f_{n_{j + 1}} (x) - f_{n_{j}} (x))) = f_{n_{1}} (x) + \sum_{j = 1}^{\infty} (f_{n_{j + 1}} (x) - f_{n_{j}} (x))

Položme

f (x) ≔ \lim_{k \to \infty} f_{n_{k}}

(tam, kde limita neexistuje, nám to bude jedno).

Zatím nezařazeno

Definice. Nechť

X

je množina. Algebraická míra je míra definovaná jako

μ : 𝒫 (X) \to ℝ_{0}^{+}, μ (A) ≔ | A |

Věta. Nechť

X

je množina,

μ

počítací míra na

X

f \in L^{1} (X, d μ)

. Potom množina hodnot, pro něž

f \neq 0

, je nejvýše spočetná.

Důkaz. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že

f

je nezáporná. Z předpokladu máme

g ≔ \int_{X} f d μ = \sup_{\begin{array}{c} A \subset X \\ | A | < \infty \end{array}} \sum_{a \in A} f (a) < \infty

Nechť

B_{n} ≔ {x \in X | f (x) \geq \frac{1}{n}}

. Je-li

A

konečná podmnožina

B_{n}

, potom

g \geq \sum_{a \in A} f (A) \geq \frac{| A |}{n}

, tudíž

| B_{n} | < n g

(protože nemá žádné větší podmnožiny). No a sjednocení spočetně mnoha konečných množin je spočetné.

Definice. Nechť

X

je množina a

f : X \to [0, \infty)

. Zavedeme značení

\sum_{x \in X} f (x) ≔ \sup_{\begin{array}{c} a \subset X \\ | a | < \infty \end{array}} \sum_{x \in A} f (x)

Věta. Nechť

f : ℕ \to [0, \infty)

je posloupnost. Potom

\sum_{n \in ℕ} f_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}

Důkaz. Dokážeme jako dvě nerovnosti:

\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} = \lim_{N \to \infty} \sum_{n = 1}^{n} f_{n} = \sup_{N \in ℕ} \sum_{n \in \hat{N}} f_{n} \leq \sum_{n \in ℕ} f_{n}

Zároveň víme, že pro všechny konečné

A \subset ℕ

\sum_{n \in A} f_{n} \leq \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}

, tedy i

\sum_{n \in ℕ} f_{n} \leq \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}

Věta. Nechť

𝒳

je Banachův prostor a

(x_{n}) \subset 𝒳

. Potom

\sum_{n = 1}^{\infty} ‖ x_{n} ‖ < \infty ⟹ \sum_{n = 1}^{\infty} x_{n} konverguje

Důkaz.

\lim_{M, N \to \infty} ‖ \sum_{n = 1}^{N} x_{n} - \sum_{n = 1}^{N} x_{n} ‖ \leq \sum_{n = M + 1}^{N} ‖ x_{n} ‖ = 0

Věta. Nechť

𝒳

je Banachův prostor a

A \in ℬ (𝒳), ‖ A ‖ < 1

. Potom existuje

{(I - A)}^{- 1} \in ℬ (𝒳)

a platí

‖ {(I - A)}^{- 1} ‖ \leq \frac{1}{1 - ‖ A ‖}

Důkaz.

\sum_{n = 0}^{\infty} ‖ A^{n} ‖ \leq \sum_{n = 0}^{\infty} {‖ A ‖}^{n} = \frac{1}{1 - ‖ A ‖}

Z toho plyne, že zobrazení

B ≔ \sum_{n = 0}^{\infty} A^{n}

je omezené a nějak ze spojitosti normy plyne

‖ B ‖ \leq \frac{1}{1 - ‖ A ‖}

. Nyní zbývá dokázat, že

B = {(I - A)}^{- 1}

(I - A) B = (I - A) \lim_{N - > \infty} \sum_{n = 1}^{N} A^{n} = \lim_{N - > \infty} (I - A) \sum_{n = 1}^{N} A^{n} = 🔭 = \lim_{N \to \infty} (I - A^{N + 1}) = I

kde k vytažení limity využíváme, že součin lineárních zobrazení je spojitý, což si ukážeme v další větě.

Věta. Nechť

X, Y, Z

jsou normované prostory a

(A_{n}) \subset ℬ (X, Y), (B_{n}) \subset ℬ (Y, Z)

jsou posloupnosti takové, že

A_{n} \to A, B_{n} \to B

. Potom

B_{n} A_{n} \to B A

Důkaz.

B_{n}

je konvergentní, tudíž omezená. Máme

‖ B_{n} A_{n} - B A ‖ = ‖ B_{n} (A_{n} - A) + A (B_{n} - B) ‖ \leq ‖ B_{n} ‖ ‖ A_{n} - A ‖ + ‖ A ‖ ‖ B_{n} - B ‖ \to 0

Definice.

𝒞_{\infty} (ℝ)

je prostor reálných funkcích, které mají v obou nekonečnech limitu

0

Definice. Funkce

φ : ℝ \to ℝ

je testovací funkce, pokud je hladká a má omezený nosič. Značíme

φ \in 𝒟 (ℝ)

Věta. Nechť

φ \in 𝒟 (ℝ)

. Potom

\lim_{| x | \to \infty} \int_{- \infty}^{\infty} \exp (i x y) φ (y) d y = 0

neboli

ℱ [φ] \in 𝒞_{\infty} (ℝ)

Důkaz.

\int_{- \infty}^{\infty} \exp (i x y) φ (y) d y = {[\frac{φ (y) \exp (i x y)}{i x}]}_{- \infty}^{\infty} - \int_{- \infty}^{\infty} \frac{φ^{'} (y) \exp (i x y)}{i x} d y

Hranatá závorka je

0

, protože

φ

má omezený nosič, tudíž v obou nekonečnech je nulová. Druhá závorka je něčím omezená.

Věta.

\forall F \in L^{1} (ℝ) : ℱ [f] \in 𝒞_{\infty} (ℝ)

Důkaz. Nějak plyne z předchozí, kde je to dokázáno pro testovací funkce.

Věta. Nechť

X

je normovaný vektorový prostor,

V \subset X

je hustý podprostor,

𝒴

je Banachův prostor a

A \in ℬ (V, 𝒴)

. Potom existuje právě jedno

\tilde{A} \in ℬ (X, 𝒴)

takové, že

\tilde{A} |_{V} = A

. Navíc

‖ \tilde{A} ‖ = ‖ A ‖

Hilbertovy prostory

Definice. Nechť

V

je vektorový prostor nad

ℂ

. Zobrazení

⟨ \cdot | \cdot ⟩ : V \times V \to ℂ

je skalární součin, pokud

$\forall x \in V : ⟨ x | x ⟩ \in ℝ_{0}^{+}$
$\forall x \in V : ⟨ x | x ⟩ = 0 ⟺ x = 0$
$\forall x, y \in V : ⟨ x | y ⟩ = ⟨ y | x ⟩$
$\forall x, y, z \in V, α \in ℂ : ⟨ z | α x + y ⟩ = α ⟨ z | x ⟩ + ⟨ z | y ⟩$

K němu definujeme normu

‖ x ‖ ≔ \sqrt{⟨ x | x ⟩}

, tedy jde zároveň o normovaný prostor.

Definice. Hilbertův prostor je úplný vektorový prostor se skalárním součinem.

Věta. Nechť

V

je prostor se skalárním součinem. Potom existuje Hilbertův prostor

ℋ

takový, že

V ⋐ H

V = ℋ

a je určen jednoznačně až na izometrický izomorfismus působící jako identita na

v

Důkaz. Ne.

Věta (Cauchy-Schwartz).

| ⟨ x | y ⟩ | \leq ‖ x ‖ ‖ y ‖

Věta. Nechť

(ℋ, ⟨ \cdot | \cdot ⟩)

je Hilbertův prostor. Potom zobrazení

⟨ \cdot | \cdot ⟩

je lineární.

Důkaz.

| ⟨ x_{n} | y_{n} ⟩ - ⟨ x | y ⟩ | \leq | ⟨ x_{n} | y_{n} - y ⟩ | + | ⟨ x_{n} - x | y ⟩ | \leq ‖ x_{n} ‖ ‖ y_{n} - y ‖ + ‖ x_{n} - x ‖ ‖ y ‖ \to 0

Definice. Vektory

x, y

v prostoru se skalárním součinem jsou kolmé, pokud

⟨ x | y ⟩ = 0

. Značíme

x ⟂ y

Definice. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

M \subset ℋ

. Potom ortogonální doplněk

M

M^{⟂} ≔ {x \in ℋ | \forall y \in M : x ⟂ y}

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

M \subset ℋ

. Potom

M^{⟂}

je uzavřený podprostor.

Důkaz. Uzavřenost na sčítání a násobení skalárem ověříme snadno.

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

V ⋐ ℋ

. Potom

V \subset V^{⟂ ⟂}

Důkaz. Jelikož

V^{⟂ ⟂}

je uzavřený, stačí dokázat, že

V \subset V^{⟂ ⟂}

x \in V ⟹ x ⟂ V^{⟂} ⟹ x \in V^{⟂ ⟂}

Poznámka. Platí dokonce rovnost, ale to si teď nedokážeme.

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

M \subset N \subset ℋ

. Potom

N^{⟂} \subset M^{⟂}

Důkaz. Triviální.

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

x, y \in ℋ

. Potom

{‖ x + y ‖}^{2} - {‖ x ‖}^{2} - {‖ y ‖}^{2} = 2 ℜ ⟨ x | y ⟩

Důkaz. Přímý výpočet.

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

V ⋐ ℋ

. Potom

V \cap V^{⟂} = {0}

Důkaz. Triviální.

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

V ⋐ ℋ

je uzavřený. Potom

H = V \oplus︎ V^{⟂}

, kde

\oplus︎

značí ortogonální direktní součet.

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

M \subset ℋ

. Potom

M^{⟂} = M^{⟂}

Důkaz. Inkluze

\supset

je zřejmá. Pro druhou inkluzi chceme dokázat, že

x ⟂ M ⟹ x ⟂ M

. Nechť

y \in M

, tedy existuje posloupnost

(y_{n}) \subset M

konvergující k

y

. Potom

⟨ x | y ⟩ = \lim ⟨ x | y_{n} ⟩ = 0

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

V_{1}, V_{2} ⋐ ℋ, ℋ = V_{1} \oplus︎ V_{2}

. Potom

V_{2} = V_{1}^{⟂}

Důkaz. Inkluze

\subset

je zřejmá. Nechť

x \in V_{1}^{⟂}

. Jelikož

ℋ = V_{1} \oplus︎ V_{2}

, můžeme psát

x ≕ x_{1} + x_{2}, x_{1} \in V_{1}, x_{2} \in V_{2}

. Z již dokázané inkluze plyne

x_{2} \in V_{1}^{⟂}

, takže zároveň

x_{1} = x - x_{2} \in V_{1}^{⟂}

. Tudíž

x_{1} = 0 ∴ x = x_{2} \in V_{2}

, čímž je dokázána inkluze

\supset

Důsledek. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

V ⋐ ℋ

. Potom

V = V^{⟂ ⟂}

Důkaz. Stačí zvolit

V_{1} ≔ V^{⟂}, V_{2} ≔ V

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

V ⋐ ℋ

je konečné dimenze s ortonormální bází

(u_{1}, \dots, u_{n})

. Pro

x \in ℋ

definujme projekci

P x ≔ \sum_{j = 1}^{n} ⟨ u_{j} | x ⟩ u_{j}

. Potom

P x \in V

(I - P) x \in V^{⟂}

Důkaz. První část je zřejmá. Druhou ověříme přímým výpočtem.

Důsledek. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

V ⋐ ℋ, \dim V = n \in ℕ

. Potom

ℋ = V \oplus︎ V^{⟂}

, tedy

V = V

Věta (Besselova nerovnost). Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor,

(u_{1}, \dots, u_{n})

jsou ortonormální vektory a

x \in ℋ

. Potom

\sum_{j = 1}^{n} {| ⟨ u_{j} | x ⟩ |}^{2} \leq {‖ x ‖}^{2}

Důkaz. Nějak plyne z projekce a z Pythagorovy nerovnosti.

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

V ⋐ ℋ

je konečné dimenze s ortonormální bází

(u_{1}, \dots, u_{n})

. Potom pro všechna

x \in ℋ, λ_{1}, \dots, λ_{n} \in ℂ

platí

‖ x - \sum_{j = 1}^{n} ⟨ u_{j} | x ⟩ u_{j} ‖ \leq ‖ x - \sum_{j = 1}^{n} λ_{j} u_{j} ‖

neboli

P x = \underset{y \in V}{arg min} ‖ x - y ‖

Tedy ortogonální projekce nejlépe odhaduje původní vektor ze všech možných projekcí.

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

(x_{j}) \subset ℋ

je posloupnost vzájemně kolmých vektorů. Potom

\sum_{j = 1}^{\infty} x_{j} konverguje ⟺ \sum_{j = 1}^{\infty} {‖ x_{j} ‖}^{2} konverguje

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

M \subset H

je uzavřená konvexní množina. Potom v

M

existuje právě jeden vektor s nejmenší normou.

Důkaz. Nechť

m ≔ \inf {‖ x ‖ | x \in M}

. Vezměme nějakou posloupnost

(x_{n}) \subset M

takovou, že

\lim ‖ x_{n} ‖ = m

. Dokážeme, že tato posloupnost je cauchyovská. Z rovnoběžníkové nerovnosti máme

\frac{{‖ x_{j} - x_{k} ‖}^{2}}{4} = \frac{{‖ x_{j} ‖}^{2}}{2} + \frac{{‖ x_{k} ‖}^{2}}{2} - {‖ \frac{x_{j} + x_{k}}{2} ‖}^{2} \leq \frac{{‖ x_{j} ‖}^{2}}{2} + \frac{{‖ x_{k} ‖}^{2}}{2} - m^{2} \overset{\overset{}{j, k \to \infty}}{\to} \frac{m^{2}}{2} + \frac{m^{2}}{2} - m^{2} = 0

Jelikož jsme v úplném prostoru, posloupnost

(x_{n})

má limitu

x

, a protože

M

je uzavřená,

x \in M

. Ze spojitosti normy je

‖ x ‖ = m

. Tedy existuje alespoň jeden vektor s nejmenší normou. Nechť

x, \tilde{x}

jsou dva takové vektory, potom podobně

\frac{{‖ x - \tilde{x} ‖}^{2}}{4} = \frac{{‖ x ‖}^{2}}{2} + \frac{{‖ \tilde{x} ‖}^{2}}{2} - {‖ \frac{x + \tilde{x}}{2} ‖}^{2} \leq \frac{{‖ x ‖}^{2}}{2} + \frac{{‖ \tilde{x} ‖}^{2}}{2} - m^{2} = \frac{m^{2}}{2} + \frac{m^{2}}{2} - m^{2} = 0

z čehož plyne

x = \tilde{x}

FAN2

Věta (Baire). Nechť

(X, ρ)

je úplný metrický prostor. Pak průnik libovolného spočetného systému otevřených hustých podmnožin je hustá podmnožina.

Poznámka. Podmínku otevřenosti nemůžeme vynechat. Například pro

X = ℝ

máme husté podmnožiny

ℚ, ℝ ∖ ℚ

, ale jejich průnik je prázdný.

Důkaz. Nechť

(V_{n})

je posloupnost hustých otevřených množin a

W

je neprázdná otevřená množina. Ukážeme, že

W \cap ⋂_{n = 1}^{\infty} V_{n} \neq \emptyset

. Snadno ověříme, že dokážeme najít posloupnosti

(x_{n}) \subset X, (r_{n}) \subset ℝ^{+}

takové, že

$B (x_{0}, r_{0}) \subset W$
$B (x_{n + 1}, r_{n + 1}) \subset B (x_{n}, r_{n}) \cap V_{n}$
$r_{n} < \frac{1}{n}$

Posloupnost

(x_{n})

je cauchyovská, protože

ρ (x_{k}, x_{l}) < \frac{2}{\min (k, l)}

. Jelikož jsme v úplném prostoru, má limitu

x

. Snadno ověříme, že

x

patří do

W

i do všech

V_{n}

, tedy jde o hledaný bod.

Důsledek. Úplný metrický prostor

(X, ρ)

nelze zapsat jako spočetné sjednocení řídkých podmnožin.

Důkaz. Nechť

(F_{n})

je posloupnost uzavřených podmnožin a

X = ⋃_{n = 1}^{\infty} F_{n}

. Do Baireovy věty zvolíme

V_{n} ≔ X ∖ F_{n}

. Z ní plyne, že nějaká množina

V_{n}

není hustá, tudíž

F_{n}

není řídká.

Věta (princip stejnoměrné omezenosti (Banach-Steinhaus)). Nechť

𝒳

je Banachův prostor,

Y

je normovaný prostor a

𝒜 \subset ℬ (𝒳, Y)

. Potom nastane právě jedna z následujících dvou možností:

$𝒜$ je stejnoměrně omezená, tedy $\sup_{A \in 𝒜} ‖ A ‖ < \infty$ .
Existuje hustá množina $G \subset 𝒳$ taková, že $\forall x \in G : \sup_{A \in 𝒜} ‖ A x ‖ = \infty$

Důkaz. Dlouhý.

Konvence: V normovaném prostoru budeme značit $B_{r} ≔ B (0, r)$ , neboli $B (x, r) = x + B_{r} = x + r B_{1}$ .

Definice. Zobrazení mezi topologickými prostory je otevřené, pokud zobrazuje otevřené množiny na otevřené množiny.

Věta. Nechť

𝒳, 𝒴

jsou Banachovy prostory a

A \in ℬ (𝒳, 𝒴)

je surjektivní. Potom

A

je otevřené.

Důkaz. Hodně dlouhý.

Důsledek. Nechť

𝒳, 𝒴

jsou Banachovy prostory a

A \in ℬ (𝒳, 𝒴)

je izomorfismus. Potom

A^{- 1} \in ℬ (𝒴, 𝒳)

Důkaz.

A

zobrazuje otevřené mnoziny na otevřené, tudíž

A^{- 1}

vzoruje otevřené množiny na otevřené, tedy je spojité, což je ekvivalentní tomu, že je omezené.

Definice. Nechť

X = V + W

je vektorový prostor vyjádřený jako direktní součet dvou vektorových prostorů. Projekce

X

V

podle

W

je lineární zobrazení

P : X \to V

takové, že

\forall x \in V : P x = x

\forall x \in W : P x = 0

Věta. Nechť

X

je normovaný prostor a

A \in ℬ (X)

. Potom

\ker A \in c τ

Důkaz. Jelikož

A

je omezené, je spojité.

\ker A = A^{- 1} {0}

je vzor uzavřené množiny a tedy uzavřená množina.

Věta. Nechť

X

je normovaný prostor a

P \in ℬ (X), P^{2} = P

. Potom

${(I - P)}^{2} = I - P$
$\ker P = (I - P) X$
$\ker (I - P) = P X$
$X = P X + \ker P$ (direktní součet)
$P X, \ker P \in c τ$
$P$ je projekce na $P X$ podle $\ker P$

Důkaz.

${(I - P)}^{2} = I^{2} - 2 P + P^{2} = I - P$
Je-li $x \in (I - P) X$ , potom $x = (I - P) y ∴ P x = P y - P^{2} y = 0 ∴ x \in \ker P$ . Naopak je-li $x \in \ker P$ , potom $x = x - P x = (I - P) x ∴ x \in (I - P) X$ .
Analogicky.
Je-li $x \in X$ , potom $x = P x + (I - P) x$ , tudíž $X = P X + (I - P) X = P X + \ker P$ . Zbývá dokázat, že součet je direktní. Nechť $x \in P X \cap \ker P = \ker (I - P) \cap \ker P$ , potom $x = (I - P) x + P x = 0$ .
Plyne z předchozí věty a omezenosti $P$ .
Je-li $x \in P X$ , potom $x = P y ∴ P x = P^{2} y = P y = x$ . Je-li $x \in \ker P$ , potom $P x = 0$ .

Odteď nebudu psát důkazy, protože se mi nechce.

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

A \in ℬ (ℋ)

. Potom

A = A^{*} ⟺ \forall x, y \in ℋ : ⟨ x | A y ⟩ = ⟨ A x | y ⟩ ⟺ \forall x \in ℋ : ⟨ x | A x ⟩ \in ℝ

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

A \in ℬ (ℋ)

. Potom

‖ A^{*} ‖ = ‖ A ‖

‖ A^{*} A ‖ = {‖ A ‖}^{2}

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

P \in ℬ (ℋ), P^{2} = P

. Potom

P

je ortogonální projekce, právě když

P^{*} = P

Věta. Vezměme lineární prostor

X ≔ span {u_{s} | s \in ℝ}

, kde

u_{s} : ℝ \to ℂ, u_{s} (t) ≔ \exp (i s t)

. Definujme zobrazení

⟨ f | g ⟩ ≔ \lim_{R \to 0} \frac{1}{2 R} \int_{- R}^{R} f g

Potom to je skalární součin a

{u_{s} | s \in ℝ}

je ortonormální báze

ℋ

, kde

ℋ

je zůplnění

X

Definice. Nechť

X, Y

jsou vektorové prostory a

A

je lineární zobrazení z nějaké podmnožiny

X

Y

. Budeme značit

Dom A \subset X

jeho definiční obor a

Ran A \subset Y

jeho obor hodnot. Graf

A

je množina

Γ (A) ≔ {(x, A x) | x \in Dom A} \subset X \times Y

Často budeme ztotožňovat

X = X \times {0}, Y = {0} \times Y, X \times Y = X \dot{+} Y

. Jsou-li

X, Y

normované, na prostoru

X \times Y

můžeme zavést jednu z norem:

$‖ (x, y) ‖ ≔ ‖ x ‖ + ‖ y ‖$
$‖ (x, y) ‖ ≔ \sqrt{{‖ x ‖}^{2} + {‖ y ‖}^{2}}$

Definice. Nechť

X, Y

jsou vektorové prostory,

A, B

jsou lineární zobrazení z podmnožin

X

Y

x \in X

λ

je prvek tělesa. Potom definujeme

Dom (A + B) ≔ Dom A \cap Dom B

(A + B) x ≔ A x + B x

Dom (λ A) ≔ Dom A

(λ A) x ≔ λ (A x)

Teky zřejmým zpsobem zavedeme skládání lineárních zobrazení, to už se mi sem nechce psát.

Definice. Nechť

X, Y

jsou normované vektorové prostory a

A

je lineární zobrazení z podmnožiny

X

Y

A

je uzavřené, pokud

Γ (A)

je uzavřená množina v

X \times Y

Definice. Nechť

X, Y

jsou vektorové prostory. Zavedeme projekce:

P_{X} : X \times Y \to X, P_{X} (x, y) ≔ x

P_{Y} : X \times Y \to Y, P_{Y} (x, y) ≔ y

Poznámka. Lineární zobrazení je jednoznačně určeno svým grafem.

Věta. Jsou-li

X, Y

vektorové prostory a

V ⋐ X \times Y

, potom

V

je graf nějakého lineárního zobrazení, právě když

V \cap ({0} \times Y) = {(0,0)}

Věta. Jsou-li

X, Y

vektorové prostory a

V ⋐ X \times Y

je graf lineárního zobrazení, potom

W ⋐ V

je také graf lineárního zobrazení.

Věta. Nechť

X, Y

jsou normované vektorové prostory a

A

je lineární zobrazení z podmnožiny

X

Y

. Potom

A

je uzavřené právě tehdy, pokud pro každou posloupnost

(x_{n}) \subset Dom A

platí, že pokud

x_{n} \to x \in X

A x_{n} \to y \in Y

, potom

x \in Dom A

y = A x

Věta. Nechť

X, Y

jsou normované vektorové prostory a

A

je lineární zobrazení z podmnožiny

X

Y

. Jestliže

A

má uzavřené rozšíření, potom má nejmenší uzavřené rozšíření.

Definice. Nechť

X, Y

jsou normované vektorové prostory a

A

je lineární zobrazení z podmnožiny

X

Y

A

je uzavíratelné, pokud má uzavřené rozšíření. V takovém případě jeho nejmenší uzavřené rozšíření značíme

A

Věta. Nechť

X, Y

jsou normované vektorové prostory a

A

je uzavřené lineární zobrazení z podmnožiny

X

Y

. Existuje-li

A^{- 1}

, potom je uzavřené.

Věta. Nechť

X, Y

jsou normované vektorové prostory a

A

je uzavřené lineární zobrazení z podmnožiny

X

Y

. Potom pro každé

λ

z tělesa je

A + λ I

uzavřené.

Věta. Jsou-li

𝒳, 𝒴

Banachovy prostory, potom

𝒳 \times 𝒴

je Banachův prostor.

Věta. Nechť

X, Y

jsou normované vektorové prostory a

A

je lineární zobrazení z podmnožiny

X

Y

. Je-li

A

omezené, potom

A

je uzavřené právě tehdy, pokud

Dom A \in c τ_{X}

. Speciálně každé

A \in ℬ (X, Y)

je uzavřené.

Věta (o uzavřeném grafu). Nechť

𝒳, 𝒴

jsou Banachovy prostory a

A \in ℒ (𝒳, 𝒴)

je uzavřené. Potom

A \in ℬ (𝒳, 𝒴)

Definice. Nechť

𝒳

je Banachův prostor a

A

je uzavřený lineární operátor definovaný na husté podmnožině

𝒳

. Potom jeho resolventní množina je

ρ (A) ≔ {λ \in ℂ | \ker (A - λ I) = {0}, Ran (A - λ I) = 𝒳}

a jeho spektrum je

σ (A) ≔ ℂ ∖ ρ (A)

Věta. Nechť

𝒳 = V \dot{+} W

je Banachův prostor zapsaný jako direktní součet dvou uzavřených lineárních prostorů a

P

je projekce na

V

podle

W

. Potom

P \in ℬ (𝒳)

Důkaz. Použijeme větu o uzavřeném grafu. Stačí tedy dokázat, že

P

je uzavřené zobrazení, tedy

Γ (P)

je uzavřená množina. To nějak dokážeme jako obvykle přes konvergentní posloupnost.

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

0 \neq P \in ℬ (ℋ)

projekce taková, že

P^{2} = P = P^{*}

. Potom

‖ P ‖ = 1

Důkaz.

{‖ P ‖}^{2} = ‖ P^{*} P ‖ = ‖ P^{2} ‖ = ‖ P ‖

Cvičení.

\min_{a, b, c \in ℂ} \int_{- 1}^{1} {| x^{3} - a - b x - c x^{2} |}^{2} d x = ?

Řešení. Uvažujme Hilbertův prostor

ℋ ≔ L^{2} ((- 1, 1))

. Vezměme podprostor

V ≔ span {f_{n} | n \in {0,1,2}}, f_{n} (x) ≔ x^{n}

. Nechť

P

je ortogonální projekce na

V

. ????????????

f_{3} - P f_{3} \in V^{⟂}

f_{3} - a f_{0} - b f_{1} - c f_{2} \in V^{⟂}

?????????????????????????????????????? Něco s Gramovou maticí

Cvičení. Určete

\max_{g} | \int_{- 1}^{1} x^{3} g (x) d x |

, kde

g \in L^{2} ((- 1, 1))

je taková, že

\int_{- 1}^{1} g (x) d x = \int_{- 1}^{1} x g (x) d x = \int_{- 1}^{1} x^{2} g (x) d x = 0

\int_{- 1}^{1} g {(x)}^{2} d x = 1

Řešení. Vezměme podprostor

V

jako předtím. Tím si můžeme snadno přepsat zadání

\max {| ⟨ f_{3} | g ⟩ | | g \in V^{⟂}, ‖ g ‖ = 1}

Nechť

f_{3} = a + b, a \in V, b \in V^{⟂}

. Potom hledáme

\max {| ⟨ a | g ⟩ + ⟨ b | g ⟩ | | g \in V^{⟂}, ‖ g ‖ = 1}

Jelikož

g \in V^{⟂}

, máme

⟨ a | g ⟩ = 0

. Stačí tedy najít maximum

⟨ b | g ⟩

. Podle Cauchy-Schwartze součin nabývá maxima, pokud jeden vektor je násobkem druhého, takže budeme volit

g ≔ \frac{b}{‖ b ‖}

. Teď stačí zjistit, co to je. Vyjádříme si

b = f_{3} - P f_{3}

. A to už asi nijak nevyhezčíme.

Definice. Nechť

V

je vektorový prostor a

W ⋐ V

. Definujme relaci

x \sim y ⟺ x - y \in W

(zjevně jde o ekvivalenci). Množina tříd ekvivalence je faktorprostor

V ╱ W = {x + W | x \in V}

Věta. Definujeme-li na faktorprostoru operace zřejmým způsobem, potom je to vektorový prostor.

Definice. Nechť

V

je vektorový prostor a

W ⋐ V

. Potom kodimenze

W

Codim W ≔ \dim V ╱ W

Věta. Je-li

V

vektorový prostor a

φ

lineární funkcionál na

V

, potom

Codim \ker φ = 1

Definice. Nechť

𝒳

je Banachův prostor,

A

je uzavřený lineární operátor definovaný na husté podmnožině

𝒳

λ \in ρ (A)

. Potom resolventa

λ

R_{λ} ≔ {(A - λ I)}^{- 1}

Věta. Daná hodnota patří do resolventní množiny operátoru, právě když resolventa existuje a je uzavřená.

Věta.

\forall λ \in ρ (A) : B (λ, \frac{1}{‖ R_{λ} ‖}) \subset ρ (A) \land \forall μ \in B (λ, \frac{1}{‖ R_{λ} ‖}) : R_{μ} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(μ - λ)}^{n} R_{λ}^{n + 1}

přičemž řada konverguje s

ℬ (𝒳)

a stejnoměrně na

B (λ, r)

pro každé

r \in (0, \frac{1}{‖ R_{λ} ‖})

Důsledek. Je-li

λ \in ρ (A)

, potom zobrazení

(μ \mapsto ρ_{μ}) : B (λ, \frac{1}{‖ R_{λ} ‖}) \to ℬ (𝒳)

je spojité.

Věta (Hilbertova identita).

\forall λ, μ \in ρ (A) : R_{λ} - R_{μ} = (λ - μ) R_{λ} R_{μ}

Věta.

\forall λ, μ \in ρ (A) : R_{λ} R_{μ} = R_{μ} R_{λ}

Důsledek. Zobrazení

(λ \mapsto R_{λ}) : ρ (A) \to ℬ (𝒳)

je spojité.

Důsledek.

\forall λ \in ρ (A) : \frac{d R_{λ}}{d λ} = R_{λ}^{2}

Definice (klasifikace spektra). Pro dané

λ \in σ (A)

může nastat jedna ze tří možností:

Je-li $\ker (A - λ I) \neq {0}$ , potom patří do bodového spektra: $λ \in σ_{p} (A)$
Je-li $\ker (A - λ I) = {0}$ a $Ran (A - λ I) \neq 𝒳$ , ale $Ran (A - λ I) = 𝒳$ , potom patří do spojitého spektra: $λ \in σ_{c} (A)$
Je-li $\ker (A - λ I) = {0}$ a $Ran (A - λ I) \neq 𝒳$ , potom patří do reziduálního spektra: $λ \in σ_{r} (A)$

Definice. Nechť

𝒳

je Banachův prostor nad

ℂ

D \subset ℂ

je neprázdná otevřená množina a

f : D \to 𝒳

f

je holomorfní, pokud existuje

f^{'}

Definice. Nechť

𝒳

je Banachův prostor nad

ℂ

D \subset ℂ

je neprázdná otevřená množina a

f : D \to 𝒳

f

je analytická, pokud na okolí každého bodu jde vyjádřit jako mocninná řada.

Poznámka. Zřejmě každá analytická funkce je holomorfní, protože mocninnou řadu zvládneme zderivovat člen po členu.

Věta. Je-li

f

holomorfní funkce, potom

f

je analytická.

Věta. Nechť

f

je holomorfní funkce a

γ : [0,1] \to D

je spojitá po částech diferencovatelná křivka. Potom v Riemannově smyslu existuje integrál

\int_{γ} f ≔ \int_{0}^{1} f (γ (t)) γ^{'} (t) d t

. Je-li

γ

navíc uzavřená a homotopická nule, potom

\int_{γ} f = 0

Věta (Cauchy). Nechť

f

je holomorfní funkce,

γ : [0,1] \to D

je Jordanova po částech

C_{1}

křivka a

int γ \subset D

. Potom

\int_{γ} f = 0

Věta. Nechť

r_{1}, r_{2} \in [0, \infty], D ≔ {λ \in ℂ | r_{1} < | λ | < r_{2}}

f : D \to 𝒳

je holomorfní funkce. Potom

f

jde jednoznačně vyjádřit jako Laurentova řada:

f (λ) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} λ^{n} f_{n}, f_{n} \in 𝒳

Věta. Je-li

f

holomorfní funkce,

γ : [0,1] \to D

Jordanova kladně orientovaná po částech

𝒞^{1}

křivka a

int γ \subset D

, potom

\forall a \in ℂ ∖ ⟨ γ ⟩ : \frac{1}{2 π i} \int_{γ} \frac{f (λ)}{λ - a} d λ = [a \in int γ] f (a)

Věta (Liouville). Je-li

f : ℂ \to 𝒳

omezená holomorfní funkce, potom je konstantní.

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

U \subset ℋ

je ortonormální a nekonečná. Potom

U

je omezená a uzavřená, ale není kompaktní.

Důkaz. Triviální.

Věta (Hilbertův kvádr). Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

{u_{1}, \dots,} \subset ℋ

je spočetná ortonormální množina. Definujme

Q ≔ {\sum_{k = 1}^{\infty} ξ_{k} u_{k} | ξ_{k} \in ℂ, | ξ_{k} | < \frac{1}{k}}

Potom

Q

je kompaktní.

Věta. Nechť

𝒳

je Banachův prostor,

(A_{n}) \subset ℬ (𝒳), A \in ℬ (𝒳)

A_{n} \overset{\overset{}{s}}{\to} A

. Potom

(A_{n})

je omezená.

Poznámka. Připomeňme si, že

A_{n} \overset{\overset{}{s}}{\to} A ⟺ \forall x \in 𝒳 : \lim_{n \to \infty} ‖ A_{n} x - A x ‖ = 0

Věta. Nechť

𝒳

je Banachův prostor

(A_{n}), (B_{n}) \subset ℬ (𝒳)

konvergují silně k

A, B \in ℬ (𝒳)

. Potom

A_{n} B_{n} \overset{\overset{}{s}}{\to} A B

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

A \in ℬ (ℋ)

. Potom

{(Ran A)}^{⟂} = Ker A^{*}

Důkaz.

x \in Ker A^{*} ⟺ A^{*} x = 0 ⟺ \forall y \in ℋ : 0 = ⟨ A^{*} x | y ⟩ = ⟨ x | A y ⟩ ⟺ x \in {(Ran A)}^{⟂}

Věta. Nechť

𝒳

je Banachův prostor. Pro

x \in 𝒳

definujeme

ι_{x} : 𝒳^{* *}, ι_{x} (φ) ≔ φ (x)

Potom zobrazení

ι : 𝒳 \to 𝒳^{* *}, ι (x) ≔ ι_{x}

je lineární a izometrie (tedy i prosté).

Důkaz.

‖ ι_{x} ‖ = \sup_{\begin{array}{c} φ \in 𝒳^{*} \\ ‖ φ ‖ = 1 \end{array}} | φ (x) | \leq | x |

Vopáčná nerovnost je pro

x = 0

zřejmá. Pro pevné

x \neq 0

vezměme

V ≔ {[x]}_{λ}

. Definujme zobrazení

φ \in V^{*}, φ (λ x) ≔ λ ‖ x ‖

. Potom

‖ φ ‖ = \sup_{\begin{array}{c} y \in V \\ y \neq 0 \end{array}} \frac{| φ (y) |}{‖ y ‖} = \sup_{λ \neq 0} \frac{| φ (λ x) |}{| λ | ‖ x ‖} = 1

Pomocí Hahn-Banachovy věty to rozšíříme na libovolný prostor.

Definice. Banachův prostor

𝒳

je reflexivní, pokud

ι : X \to X^{* *}

z předchozí věty je surjektivní.

Věta. Nechť

𝒳

je Banachův prostor a

A \in ℬ (𝒳)

. Potom

σ (A) \subset B (0, ‖ A ‖)

σ (A) \neq \emptyset

Důsledek. Platí

{λ \in ℂ | ‖ A ‖ < | λ | < \infty} \subset ρ (A)

Na tomto „mezikruží“ je Funkce

R_{λ}

analytická, jelikož Laurentova řada konverguje:

R_{λ} = - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{A^{n}}{λ^{n + 1}}

Důsledek. Spektrum omezeného operaťoru je kompaktní.

Definice. Nechť

𝒳

je Banachův prostor a

A \in ℬ (𝒳)

. Potom spektrální poloměr

A

r_{σ} (A) ≔ \max_{λ \in σ (A)} | λ | = \min {r \in ℝ_{0}^{+} | σ (A) \subset B (0, r)}

Poznámka. Minimum existuje, protože spektrum je kompaktní.

Poznámka.

ℂ ∖ B (0, r_{σ} (A)) \subset ρ (A)

Poznámka. Nějak se dá vyvodit, že Laurentova řada pro

R_{λ}

konverguje i pro

r_{σ} (A) < | λ | < \infty

Lemma. Nechť

𝒳

je Banachův prostor a

A \in ℬ (𝒳), λ \in ℂ

. Potom

je-li $| λ | > r_{σ} (A)$ , potom Laurentova řada konverguje
je-li $| λ | < r_{σ} (A)$ , potom Laurentova řada nekonverguje

Poznámka. Zjevně spektrální poloměr je jediné číslo s touto vlastností.

Lemma. Nechť

𝒳

je Banachův prostor a

A \in ℬ (𝒳), λ \in ℂ

. Potom

je-li $| λ | > {lim sup}_{n \to \infty} \sqrt[n]{{‖ A ‖}^{n}}$ , potom Laurentova řada konverguje
je-li $| λ | < {lim sup}_{n \to \infty} \sqrt[n]{{‖ A ‖}^{n}}$ , potom Laurentova řada nekonverguje

Důkaz. Prý se to dokazuje úplně stejně jako podobné tvrzení z MAN2.

Důsledek. Nechť

𝒳

je Banachův prostor a

A \in ℬ (𝒳)

. Potom

r_{σ} (A) = \underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt{n} {‖ A ‖}^{n}

Tedy jde o zobecnění „poloměru konvergence“, který známe z MAN2.

Věta. Nechť

V

je vektorový prostor,

B, C \in ℒ (V)

B C = C B

. Potom

Ker B C = {0} ⟺ Ker B = Ker C = {0}

Důkaz.

(\Leftarrow)

B C x = 0 ⟹ C x = 0 ⟹ x = 0

(\Rightarrow)

{0} = Ker B C \supset Ker C

, analogicky pro

B

Věta. Nechť

V

je vektorový prostor,

B, C \in ℒ (V)

B C = C B

. Potom

Ran B C = V ⟺ Ran B = Ran C = V

Důkaz.

(\Leftarrow)

Pro

z \in V

najdeme

y \in V

takové, že

z = B y

. K tomu jistě najdeme

x \in V

takové, že

y = B x

(\Rightarrow)

V = Ran B C \subset Ran B

, analogicky pro

C

Poznámka. Předchozí dvě věty se indukcí dají zobecnit na libovolný konečný součin.

Věta. Nechť

𝒳

je Banachův prostor,

A \in ℬ (𝒳)

p

je komplexní polynom. Potom

σ (p (A)) = p (σ (A))

Důsledek.

r_{σ} (A^{n}) = {(r_{σ} (A))}^{n}

Věta. Nechť

𝒳

je Banachův prostor a

A \in ℬ (𝒳)

. Potom

r_{σ} (A) = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{‖ A^{n} ‖}

Poznámka. Stačí dokázat, že limita existuje.

Definice. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor. Operátor

A \in ℬ (ℋ)

je samosdružený (hermitovský), pokud

A = A^{*}

Definice. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor. Operátor

A \in ℬ (ℋ)

je normální, pokud

A A^{*} = A^{*} A

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

A \in ℬ (ℋ), A = A^{*}

. Potom

A

je jednoznačně určen kvadratickou formou

x \mapsto ⟨ x | A x ⟩

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

A \in ℬ (ℋ)

. Potom

{(Ran A)}^{⟂} = Ker A^{*} ⟹ Ran A = {(Ker A^{*})}^{⟂}

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

A \in ℬ (ℋ), A^{*} A = A A^{*}

. Potom

{‖ A ‖}^{2} = ‖ A^{2} ‖

Důkaz.

{‖ A ‖}^{4} = {‖ A^{*} A ‖}^{2} = ‖ {(A^{*} A)}^{2} ‖ = ‖ {(A^{*})}^{2} A^{2} ‖ = ‖ {(A^{2})}^{*} A^{2} ‖ = {‖ A^{2} ‖}^{2}

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor nad

ℂ

A \in ℬ (ℋ)

. Potom

A = A^{*} ⟺ \forall x \in ℋ : ⟨ x | A x ⟩ \in ℝ

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor nad

ℂ

A \in ℬ (ℋ)

. Potom

A A^{*} = A^{*} A ⟺ \forall x \in ℋ : ‖ A x ‖ = ‖ A^{*} x ‖

Důsledek. Je-li

A \in ℬ (ℋ)

normální, potom

\ker A = \ker A^{*}

\forall λ \in ℂ : λ \in σ_{p} (A) ⟺ λ \in σ_{p} (A^{*})

Věta. Nechť

𝒳

je Banachův prostor. Pokud posloupnost

(x_{n}) \subset 𝒳

konverguje slabě, potom je omezená.

Definice. Nechť

𝒳, 𝒴

jsou Banachovy prostory a

A \in ℬ (𝒳, 𝒴)

. Definujeme sdružené zobrazení

A^{'} : ℬ (Y^{*}, X^{*})

A^{'} ψ ≔ ψ \circ A

Věta. Nechť

𝒳, 𝒴

jsou Banachovy prostory a

A \in ℬ (𝒳, 𝒴)

. Potom

‖ A^{'} ‖ = ‖ A ‖

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor,

M \subset ℋ, {[M]}_{λ} = ℋ, (A_{n}) \subset ℬ (ℋ), A \in ℬ (H)

s tím, že

\sup_{n} ‖ A_{n} ‖ < \infty

\forall x, y \in M : \lim_{n \to \infty} ⟨ x | A_{n} y ⟩ = ⟨ x | A y ⟩

Potom

A_{n} \overset{\overset{}{w}}{\to} A ⟺ \forall x \in ℋ : A_{n} x \overset{\overset{}{w}}{\to} A x

Věta. Nechť

M = {e_{k} | k \in ℤ}

je ortonormální báze Hilbertova prostoru

ℋ

a pro každé

n \in ℕ

U_{n} \in ℬ (ℋ)

takové, že

\forall k \in ℤ : U_{n} e_{k} = e_{k + n}

. Potom

U_{n} \to 0

slabě.

Příklad. Nechť

p \in [1, \infty)

𝒳 ≔ L^{p} (ℝ)

. Definujme

T : ℝ \to ℬ (𝒳), (T (t) f) (x) ≔ f (x + t)

Potom

T

je silně spojité.

Věta (residuální spektrum normálního operátoru). Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor. Je-li

A \in ℬ (ℋ)

normální, potom

σ_{r} (A) = \emptyset

Věta (Weylovo kritérium). Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor,

A \in ℬ (ℋ)

je normální zobrazení a

λ \in ℂ

. Potom

$λ \in ρ (A) ⟺ \exists m \in ℝ^{+}, \forall x \in ℋ : ‖ (A - λ I) x ‖ \geq m ‖ x ‖$
$λ \in σ (A) ⟺ \exists (x_{n}) \subset ℋ : (\forall n \in ℕ : ‖ x_{n} ‖ = 1) \land \lim_{n \to \infty} ‖ (A - λ I) x_{n} ‖ = 0$

Poznámka. Pro bodové spektrum (množinu vlastních čísel) platí

λ \in σ_{p} (A) ⟺ \exists x \in ℋ : ‖ x ‖ = 1 \land ‖ (A - λ I) x ‖ = 0

. Tedy druhá podmínka intuitivně vyjadřuje, že spektum je množina čísel, kterými lze aproximovat vlastní číslo.

Věta (reálnost spektra). Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor je Hilbertův prostor a

A = A^{*} \in ℬ (ℋ)

. Potom

σ (A) \subset ℝ

Definice. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

A, b \in ℬ (ℋ), A = A^{*}, B = B^{*}

. Potom definujeme uspořádání

A \leq B ⟺ \forall x \in ℋ : ⟨ x | A x ⟩ \leq ⟨ x | B x ⟩

Poznámka.

A \geq 0

znamená, že

A

je pozitivně (semi)definitní.

Poznámka.

| ⟨ x | A x ⟩ | \leq ‖ x ‖ ‖ A x ‖ \leq ‖ A ‖ {‖ x ‖}^{2}

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

A \in ℬ (ℋ), A \geq 0

. Potom

\forall x \in ℋ : {‖ A x ‖}^{2} \leq ‖ A ‖ ⟨ x | A x ⟩

Důsledek. Pro pozitivně (semi)definitní zobrazení je

\ker A = {x \in ℋ | ⟨ x | A x ⟩ = 0}

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

A \subset ℬ (ℋ)

je normální. Potom

r_{σ} (A) = ‖ A ‖

Definice. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

A = A^{*} \in ℬ (ℋ)

. Budeme značit

m_{A} ≔ \inf_{‖ x ‖ = 1} ⟨ x | A x ⟩, M_{A} ≔ \sup_{‖ x ‖ = 1} ⟨ x | A x ⟩

Poznámka.

| m_{A} |, | M_{A} | \leq ‖ A ‖

Poznámka.

\sup_{‖ x ‖ = 1} | ⟨ x | A x ⟩ | = \max {m_{A}, M_{A}}

Věta (lokalizace spektra). Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor. Je-li

A \in ℬ (ℋ), A = A^{*}

, potom

σ (A) \subset [m_{A}, M_{A}]

m_{A}, M_{A} \in σ (A)

Důsledek. Pro

A \in ℬ (ℋ), A = A^{*}

‖ A ‖ = r_{σ} (A) = \max {| m_{A} |, | M_{A} |} = \sup_{‖ x ‖ = 1} | ⟨ x | A x ⟩ |

Speciálně je-li

A \geq 0

, potom

‖ A ‖ = \sup_{‖ x ‖ = 1} ⟨ x | A x ⟩

Důsledek. Je-li

A, B \in ℬ (ℋ)

0 \leq A \leq B

, potom

‖ A ‖ \leq ‖ B ‖

Příklad. Nechť

𝒳 ≔ 𝒞 ([0,1], ℂ)

. Definujme

M ≔ {f \in 𝒳 | \int_{0}^{\frac{1}{2}} f - \int_{\frac{1}{2}}^{1} f = 1}

Potom

M

je uzavřená a konvexní, ale neexistuje v ní prvek s nejmenší normou (maximovou).

Cvičení. Nechť

𝒳 ≔ L^{1} ((0,1))

. Vezměme operátor

B \in ℬ (𝒳)

definovaný jako

(B f) (x) ≔ \int_{0}^{x} f

Určete

B^{n}, ‖ B ‖, ‖ B^{n} ‖, r_{σ} (B), σ (B)

a jednotlivé části spektra.

Lemma. Nechť

X

je normovaný prostor a

V ⋐ X, \dim V < \infty

. Potom

\forall x \in X, \exists v \in V : dist (x, V) = ‖ x - v ‖

Důsledek. Nechť

X

je normovaný prostor a

V ⋐ X, \dim V < \infty

. Potom

\exists x \in X : ‖ x ‖ = 1 \land dist (x, V) = 1

Důsledek. Nechť

X

je normovaný prostor a

\dim X = \infty

. Potom existuje spočetná

M \subset X

taková, že

\forall x \in M : ‖ x ‖ = 1

\forall x, y \in M, x \neq y : ‖ x - y ‖ \geq 1

Definice. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor. Množina

M \subset X

je prekompaktní, pokod

M

je kompaktní.

Věta. Nechť

X

je normovaný prostor. Potom

B_{1}

je prekompaktní právě tehdy, pokud

\dim X < \infty

Poznámka. Je-li

(Ω, ρ)

kompaktní metrický prostor, potom je separabliní.

Věta (Arzelà-Arcoli, kritérium kompaktnosti). Nechť

(Ω, ρ)

je kompaktní metrický prostor a

S \subset 𝒞 (Ω)

. Potom

S

je kompaktní právě tehdy, pokud je omezená, uzavřená a tvořená stejně spojitými funkcemi, to znamená

\forall ε \in ℝ^{+}, \exists δ \in ℝ^{+}, \forall f \in S, \forall x, y \in Ω : ρ (x, y) < δ ⟹ | f (x) - f (y) | < ε

Definice. Nechť

𝒳, 𝒴

jsou Banachovy prostory. Operátor

A \in ℒ (𝒳, 𝒴)

je kompaktní, pokud pro každou omezenou množinu

M \subset 𝒳

A M

prekompaktní. Značíme

A \in 𝒦 (𝒳, 𝒴)

Poznámka.

A

je kompaktní, právě když

A (B_{1})

je prekompaktní.

Věta. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor,

(Y, τ)

je Hausdorffův prostor,

f : X \to Y

je spojité a

M \subset X

je prekompaktní. Potom

f (M)

je prekompaktní.

Věta. Je-li

X

normovaný prostor a

M, N \subset X

jsou prekompaktní. Potom

M + N

je prekompaktní.

Věta. Nechť

𝒳, 𝒴

jsou Banachovy prostory. Potom

𝒦 (𝒳, 𝒴) ⋐ ℬ (𝒳, 𝒴)

Věta. Nechť

𝒳, 𝒴

jsou Banachovy prostory,

A \in ℬ (𝒳, 𝒴)

(x_{n}) \subset 𝒳, x_{n} \overset{\overset{}{w}}{\to} x \in 𝒳

. Potom

A x_{n} \overset{\overset{}{w}}{\to} A x

Věta. Nechť

α \in (0,1], a, b \in ℝ^{+}, a < b

. Pro

f : [a, b] \to ℂ

označme

M (f) ≔ \sup_{\begin{array}{c} s, t \in [a, b] \\ s \neq t \end{array}} \frac{| f (s) - f (t) |}{{| s - t |}^{α}}

Definujeme

α

-lipschitzovské funkce:

{Lip}_{α} ≔ {f : [a, b] \to ℂ | M (f) < \infty}

Na této množině zavedeme normu:

{‖ f ‖}_{L} ≔ {‖ f ‖}_{\infty} + M (f)

Potom

({Lip}_{α}, {‖ \cdot ‖}_{L})

je Banachův prostor.

Poznámka. Pro

α > 1

{Lip}_{α}

obsahovalo jen konstantní funkce, protože z definice by plynulo, že funkce musí být diferencovatelná s nulovou derivací. Pro

α = 1

jsou to klasické lipschitzovské funkce, které známe z DIFR.

Definice. Nechť

𝒳, 𝒴

jsou Banachovy prostory. Zobrazení

A \in ℬ (𝒳, 𝒴)

je úplně spojité, pokud

\forall (x_{n}) \subset 𝒳 : x_{n} \overset{\overset{}{w}}{\to} x ⟹ A x_{n} \overset{\overset{}{s}}{\to} A x

Věta. Nechť

𝒳, 𝒴

jsou Banachovy prostory a

A \in 𝒦 (𝒳, 𝒴)

. Potom

A

je úplně spojité.

Věta. Nechť

ℋ_{1}, ℋ_{2}

jsou Hilbertovy prostory a

A \in ℬ (𝒳, 𝒴)

. Potom

A

je kompaktní právě tehdy, pokud je úplně spojité.

Věta. Nechť

𝒳, 𝒴

jsou Banachovy prostory. Potom

𝒦 (𝒳, 𝒴)

je uzavřený podprostor

ℬ (𝒳, 𝒴)

Věta. Nechť

𝒳

je Banachův prostor a

A \in 𝒦 (𝒳), B \in ℬ (𝒳)

. Potom

A B, B A \in 𝒦 (𝒳)

Věta. Nechť

𝒳

je Banachův prostor. Potom

I

je kompaktní, právě když

\dim 𝒳 < \infty

Věta. Nechť

𝒳

je Banachův prostor a

A \in 𝒦 (𝒳)

. Potom

0 \in σ (A)

Věta. Nechť

𝒳

je Banachův prostor a

A \in 𝒦 (𝒳)

. Potom buď

σ_{p} (A)

je konečné, nebo je spočetné a

0

je jeho jediný hromadný bod.

Definice. Nechť

𝒳

je Banachův prostor. Zobrazení

A \in ℬ (𝒳, 𝒴)

má konečnou hodnost (je konečnorozměrné), pokud

\dim Ran A < \infty

. Tedy pokud jeho hodnost je konečná. Jak nečekané.

Věta. Nechť

𝒳

je Banachův prostor a

A : ℬ (𝒳, 𝒴)

má konečnou hodnost. Potom

A \in 𝒦 (𝒳, 𝒴)

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor. Potom množina všech konečnorozměrných zobrazení je hustý podprostor

𝒦 (ℋ)

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

A \in ℬ (ℋ)

má konečnou hodnost. Potom

\dim Ran A = \dim Ran A^{*}

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

A \in 𝒦 (ℋ)

. Potom

A^{*} \in 𝒦 (ℋ)

Věta (Fredholmova alternativa). Nechť

𝒳

je Banachův prostor,

A \in 𝒦 (𝒳)

λ \in ℂ, λ \neq 0

. Potom nastane právě jedna z možností:

Rovnice $A x - λ x = f$ má pro každé $f \in 𝒳$ řešení $x \in 𝒳$ , které je určeno jednoznačně.
Rovnice $A x - λ x = 0$ má netriviální řešení.

Neboli zobrazení

A - λ I

je surjektivní, právě když je prosté.

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor,

A \in 𝒦 (ℋ)

λ \in ℂ, λ \neq 0

. Potom rovnice

A x - λ x

s nějakým

f \in ℋ

má řešení

x \in ℋ

, právě když

f

je kolmé na každé řešení

y \in ℋ

rovnice

A^{*} y - \overline{λ} y = 0

. Jinými slovy,

Ran (A - λ I) = Ker {(A^{*} - \overline{λ} I)}^{⟂}

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor,

A \in 𝒦 (ℋ)

λ \in ℂ, λ \neq 0

. Potom rovnice

A x - λ x = 0

A^{*} x - \overline{λ} x = 0

mají konečný a stejný počet lineárně nezávislých řešení. Jinými slovy,

\dim Ker (A - λ I) = \dim Ker (A^{*} - \overline{λ} I) < \infty

Důsledek. Nechť

𝒳

je Banachův prostor a

A \in 𝒦 (𝒳)

. Potom

σ (A) ∖ {0} \subset σ_{p} (A)

Důsledek (shrnutí vlastností spektra kompaktního zobrazení). Nechť

𝒳

je Banachův prostor a

A \in 𝒦 (𝒳)

. Potom

$0 \in σ (A)$
$σ (A) ∖ {0} \subset σ_{p} (A)$
$σ (A)$ je nejvýše spočetná množina
nenulová vlastní čísla mají konečnou geometrickou násobnost: $\forall λ \in σ_{p} (A), λ \neq 0 : \dim Ker (A - λ I) < \infty$
jediný možný hromadný bod $σ_{p} (A)$ je $0$ .

Věta. Nechť

ℋ

je separabilní Hilbertův prostor nekonečné dimenze nad

ℂ

(x_{n}), (y_{k})

jsou ortonormální báze. Potom pro každé

A \in ℬ (ℋ)

platí

\sum_{n = 1}^{\infty} {‖ A x_{n} ‖}^{2} = \sum_{k = 1}^{\infty} {‖ A^{*} y_{k} ‖}^{2}

Důsledek. Součet

\sum_{n = 1}^{\infty} {‖ A x_{n} ‖}^{2}

nezávisí na volbě ortonormální báze.

Definice. Nechť

ℋ

je separabilní Hilbertův prostor nekonečné dimenze nad

ℂ

A \in ℬ (ℋ)

je Hilbert-Schmidtův operátor, pokud

\sum_{n = 1}^{\infty} {‖ A x_{n} ‖}^{2} < \infty

pro ortonormální bázi

(x_{n})

. Značíme

A \in ℐ_{2}

. Definujeme Hilbert-Schmidtovu (absolutní) normu

{‖ A ‖}_{2} ≔ \sqrt{\sum_{n = 1}^{\infty} {‖ A x_{n} ‖}^{2}}

Věta. Nechť

ℋ

je separabilní Hilbertův prostor nekonečné dimenze nad

ℂ

. Potom

ℐ_{2} ⋐ ℬ (ℋ)

Věta. Nechť

ℋ

je separabilní Hilbertův prostor nekonečné dimenze nad

ℂ

(x_{n}), (y_{k})

jsou ortonormální báze. Potom pro každé

A, B \in ℐ

platí

\sum_{n = 1}^{\infty} ⟨ A x_{n} | B x_{n} ⟩ = \sum_{k = 1}^{\infty} ⟨ B^{*} y_{k} | A^{*} y_{k} ⟩

přičemž obě řady konvergují absolutně.

Důsledek. Součet

\sum_{n = 1}^{\infty} ⟨ A x_{n} | B x_{n} ⟩

nezávisí na volbě ortonormální báze.

Definice. Nechť

ℋ

je separabilní Hilbertův prostor nekonečné dimenze nad

ℂ

(x_{n})

je jeho báze. Pro

A, B \in ℐ_{2}

značíme

{⟨ A | B ⟩}_{2} ≔ \sum_{n = 1}^{\infty} ⟨ A x_{n} | B x_{n} ⟩

Poznámka.

{⟨ A | B ⟩}_{2} = {⟨ B^{*} | A^{*} ⟩}_{2}

Poznámka.

{⟨ A | A ⟩}_{2} = {‖ A ‖}_{2}^{2} = {‖ A^{*} ‖}_{2}^{2}

Věta. Nechť

ℋ

je separabilní Hilbertův prostor nekonečné dimenze nad

ℂ

. Potom

{⟨ \cdot | \cdot ⟩}_{2}

je skalární součin.

Důsledek.

{‖ \cdot ‖}_{2}

je norma.

Věta. Nechť

ℋ

je separabilní Hilbertův prostor nekonečné dimenze nad

ℂ

A \in ℐ_{2}, B \in ℬ (ℋ)

. Potom

{‖ A B ‖}_{2} \leq {‖ A ‖}_{2} ‖ B ‖

{‖ B A ‖}_{2} \leq ‖ B ‖ {‖ A ‖}_{2}

Důsledek.

A B, B A \in ℐ_{2}

Důsledek.

ℐ_{2}

je ideál v algebře

ℬ (ℋ)

Věta. Nechť

ℋ

je separabilní Hilbertův prostor nekonečné dimenze nad

ℂ

A, B \in ℐ_{2}

T \in ℬ (ℋ)

. Potom

${⟨ A | B ⟩}_{2} = {⟨ B^{*} | A^{*} ⟩}_{2}$
${⟨ T A | B ⟩}_{2} = {⟨ A | T^{*} B ⟩}_{2}$
${⟨ A T | B ⟩}_{2} = {⟨ A | B T^{*} ⟩}_{2}$

Věta. Nechť

ℋ

je separabilní Hilbertův prostor nekonečné dimenze nad

ℂ

A \in ℐ_{2}

. Potom

‖ A ‖ \leq {‖ A ‖}_{2}

Věta. Nechť

ℋ

je separabilní Hilbertův prostor nekonečné dimenze nad

ℂ

. Potom

ℐ_{2} \subset 𝒦 (ℋ)

Věta. Nechť

ℋ

je separabilní Hilbertův prostor nekonečné dimenze nad

ℂ

. Potom

(ℐ_{2}, ⟨ \cdot | \cdot ⟩)

je Hilbertův prostor.

Věta. Nechť

𝒳, 𝒴

jsou Banachovy prostory a

A \in ℬ (𝒳, 𝒴)

. Potom

\dim Ran A < \infty ⟺ \exists y_{1}, \dots, y_{n} \in 𝒴, φ_{1}, \dots, φ_{n} \in 𝒳^{*} : A = \sum_{j = 1}^{n} φ_{j} y_{j}

Věta. V každém Hilbertově prostoru existuje ortonormální báze.

Věta. Nechť

A, B

jsou množiny. Existuje-li surjektivní zobrazení

f : A \to B

, potom existuje prosté zobrazení

g : B \to A

Věta. Nechť

A

je nekonečná množina. Potom existuje aystém

ℱ \subset 𝒫 (A)

sestávající ze spočetných, vzájemně disjunktních množin pokrývající celou množinu

A

Důsledek. Nechť

A

je nekonečná množina. Potom

card (A \times ℕ) = card A

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

{x_{α} | α \in 𝒜}, {y_{β} | β \in ℬ}

jsou ortonormální báze. Potom

card 𝒜 = card ℬ

Věta. Nechť

(M, μ)

je prostor s mírou,

X \subset M \times M

je měřitelná a platí

\forall_{μ} x \in M, \forall_{μ} y \in M : (x, y) \in X

Potom skoro všechny dvojice

(x, y) \in M \times M

jsou prvky

X

Věta. Nechť

(M, μ)

je prostor s mírou,

ℋ ≔ L^{2} (M, d μ)

{(φ_{n}^{(1)})}_{n = 1}^{\infty}, {(φ_{n}^{(2)})}_{n = 1}^{\infty}

jsou dvě ortonormální báze

ℋ

. Pro skoro všechna

x, y \in M

definujme

ψ_{m, n} (x, y) ≔ φ_{m}^{(1)} (x) \otimes φ_{n}^{(2)} (y)

Potom

{φ_{m, n} | m, n \in ℕ}

je ortonormální báze

L^{2} (M \times M, d (μ \times μ))

Věta. Nechť

X

je normovaný prostor a

V ⋐ X

je uzavřený. Definujme na

X ╱ V

normu

‖ [x] ‖ ≔ \infty_{v \in V} ‖ x + v ‖ = \inf_{y \in [x]} ‖ y ‖ = dist (x, V)

Potom je korektně definovaná a je to skutečně norma.

Věta. Nechť

𝒳

je Banachův prostor a

V ⋐ 𝒳

je uzavřený. Potom

𝒳 ╱ V

je Banachův prostor.

Věta. Nechť

(X, μ)

je prostor s mírou a

𝒦 \in L^{2} (X \times X, d μ \times d μ)

. Pro

f \in ℋ

definujme

K f (x) ≔ \int_{X} 𝒦 (x, y) f (y) d μ (y)

Potom

K f \in ℐ_{2}

{‖ K ‖}_{2} = {‖ 𝒦 ‖}_{L^{2}}

Poznámka. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

A \in ℬ (ℋ)

. Potom

‖ A ‖ = \sup_{‖ x ‖ = 1} ⟨ x | A x ⟩

Poznámka. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

A \in ℬ (ℋ), A \geq 0

. Potom

A \leq I ⟺ ‖ A ‖ \leq 1

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

{(A_{n})}_{n = 1}^{\infty} \subset ℬ (ℋ), A_{1} \geq A_{2} \geq \dots \geq 0

. Potom má posloupnost silnou limitu

A \in ℬ (ℋ)

a pro každé

n \in ℕ

0 \leq A \leq A_{n}

[sem doplnit přednášku 10.4.]

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

A = A^{*} \in ℬ (ℋ)

. Potom existuje právě jedna ortogonální projekce

E_{+}

taková, že

A E_{+} \geq 0, A (I - E_{+}) \leq 0

Ker A \subset Ran E_{+}

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor,

P, Q \in ℬ (ℋ), P = P^{*} = P^{2}, Q = Q^{*} = Q^{2}

. Potom následující tři výroky jsou ekvivalentní:

$Ran P \subset Ran Q$
$P Q = P$
$P \leq Q$

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor,

P, Q \in ℬ (ℋ), P = P^{*} = P^{2}, Q = Q^{*} = Q^{2}

. Potom

Ran P = Ran Q ⟺ P Q = 0

Věta. Nechť

ℋ

je Hilbertův prostor a

V = V ⋐ ℋ

. Potom

V^{⟂}

ℋ ╱ V

jsou izometricky izomorfní.

Věta. Nechť

𝒳

je Banachův prostor a

P, Q \in ℬ (𝒳)

. Je-li

‖ P - Q ‖ < 1

, potom

P, Q

jsou podobné, tedy existuje

U \in ℬ (𝒳)

takové, že

U^{- 1} \in ℬ (𝒳)

U P U^{- 1} = Q

Definice. Jednoparametrická množina ortogonálních projekcí

{P_{λ} | λ \in ℝ}

je rozklad jedničky, pokud

$\forall μ, λ \in ℝ : μ \leq λ ⟹ P_{μ} \leq P_{λ}$
$\forall λ \in ℝ : s i l n \overset{ˊ}{a} \lim_{μ \to λ^{-}} P_{μ} = P_{λ}$
$\exists α \in ℝ, \forall λ < α : P_{λ} = 0$
$\exists β \in ℝ, \forall λ > β : P_{λ} = I$

Poznámka. Pro dané

λ \in ℝ

Q ≔ s i l n \overset{ˊ}{a} \lim_{μ \to λ^{+}} P_{μ}

ortogonální projekce.

Poznámka. Pro dané

x \in ℋ, ‖ x ‖ = 1

definujme

F : ℝ \to ℝ, F (λ) ≔ ⟨ x | P_{λ} x ⟩ = {‖ P_{λ} x ‖}^{2}

. Potom

F

je distribuční funkce.

Poznámka. Nechť

P, Q

jsou ortogonální projekce a

P \leq Q

. Potom

Q - P = Q (I - P) = (I - P) Q

Poznámka. Jsou-li

P, Q

ortogonální projekce a

P Q = Q P

, potom

P Q

je ortogonální projekce.

Funkcionální analýza

Obsah

Rozdíly ve značení

Topologické prostory

Vnitřky a uzávěry

Hromadné body

Báze a součinové topologie

Separabilita

Spojitost

Oddělitelnost

Relativní topologie

Kompaktnost

Konvergence

Metrické prostory

Kompaktnost a metrické prostory

Úplné prostory

Pseudometrické prostory

Tady už jsem vzdal myšlenku, že to bude nějak roztříděné do sekcí

Topologické vektorové prostory

Metrické vektorové prostory

Normované vektorové prostory

Banachovy prostory

Konvergence v normovaných prostorech

Lebesgueovy prostory

Zatím nezařazeno

Hilbertovy prostory

FAN2