AdamátorZápiskyHlášky

Softcomputing

Soft systémy

Definice Single-input single-output (SISO) soft systém je systém se vstupem x∈I≔[a,b]⊂ℝ a výstupem y=f(x), kde f:I→[0,1] je lipschitzovsky spojitá funkce, tedy
∃L∈ℝ,∀x,y∈I:|f(x)−f(y)|≤L⋅|x−y|.
Kostanta L se nazývá citlivost.
Poznámka Rozdělíme-li I na podintervaly I1,…,IN, na nichž je f diferencovatelná, a označíme λk≔maxx∈Ik|f′(x)|, potom platí L=maxk∈N^λk.
Definice Multi-input single-output (MISO) soft systém je systém se vstupem x∈𝒟, kde 𝒟⊂ℝn je konvexní kompaktní množina, a výstupem y=f(x), kde f:𝒟→[0,1] je lipschitzovsky spojitá funkce, tedy
∃L∈ℝ,∀x,y∈I:|f(x)−f(y)|≤L⋅‖x−y‖p
v nějaké p-normě. Kostanta L se nazývá citlivost.
Poznámka Rozdělíme-li 𝒟 na kusy 𝒟1,…,𝒟N, na nichž je f diferencovatelná, a označíme λk≔maxx∈𝒟k‖∇f(x)‖2, potom platí L=maxk∈N^λk.
Příklad Mějme danou funkci
f(x)≔{0x∈[0,1],x−1x∈(1,2],2xx∈(2,5].
Vezmeme-li I1≔[0,1],I2≔[1,2],I3≔[2,5], potom máme λ1=0,λ2=1,λ3=1. Funkce tedy popisuje soft systém s citlivostí L=1.
Příklad Mějme funkci f(x)≔x3 na [0,1]. Jelikož f′(x) je neomezená, tato funkce nepopisuje soft systém.
Příklad Mějme funkci f(x):[0,1]2→ℝ,
f(x1,x2)≔{x1+x2x1+x2≤1,32−x1+x22x1+x2>1.
Při rozdělení podle definice vychází λ1=2,λ2=22. Funkce tedy popisuje soft systém s citlivostí 2.

Booleovy algebry

Definice Booleova algebra je struktura ℬ=⟨{0,1},∧,∨,¬,0,1⟩, kde
a∧b≔min{a,b},
a∨b≔max{a,b},
¬x≔1−x,
0=min{0,1},
1=max{0,1}.
Poznámka Máme i další logické operace, například
x⇔y=(x∧y)∨(¬x∧¬y)=(x⇒y)∧(y⇒x)=I(x=y)=1−|x−y|,
x∨̲y=(x∨y)∧¬(x∧y)=(¬x∧y)∨(x∧¬y)=¬(x⇔y)=|x−y|.
Poznámka V elektronice se používá alternativní zápis:
a⋅b⟵a∧b,
a+b⟵a∨b,
a¯⟵¬a.
Věta komutativní zákony
a⋅b=b⋅a,a+b=b+a.
Věta asociativní zákony
(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c),(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c).
Věta distributivní zákony
(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c,a⋅b+c=(a+c)⋅(b+c).
Věta absorpční zákony
a⋅0=0,a+1=1.
Věta identické zákony
a+0=a,a⋅1=a.
Věta idempotentní zákony
a⋅a=a,a+a=a.
Věta zákon dvojité negace
x¯¯=x.
Věta de Morganovy zákony
a⋅b¯=a¯+b¯,a+b¯=a¯⋅b¯.
Věta zákony sporu a vyloučení třetího
a⋅a¯=0,a+a¯=1.