AdamátorZápiskyHlášky

Coxeterovy grupy ⬩ 02COX

Přednášejícídoc. Ing. Jiří Hrivnák, Ph.D.
Semestrzima 2025
  1. Zrcadlení
    1. Polopřímý součin
      1. Fundamentální systém

        Zápočet je za docházku. V případě většího počtu absencí je možné vypracovat úkol.

        Coxeterovy grupy jsou jakési zobecnění euklidovských grup zrcadlení. Jejich teorie souvisí s teorií Lieových grup, ale není na ní přímo závislá.

        %563 Coxeterovy grupy Coxeterovy grupy konečné Coxeterovy grupy konečné Coxeterovy grupy Coxeterovy grupy->konečné Coxeterovy grupy nekonečné Coxeterovy grupy nekonečné Coxeterovy grupy Coxeterovy grupy->nekonečné Coxeterovy grupy eukleidovské grupy zrcadlení eukleidovské grupy zrcadlení konečné Coxeterovy grupy->eukleidovské grupy zrcadlení afinní Weylovy grupy afinní Weylovy grupy nekonečné Coxeterovy grupy->afinní Weylovy grupy nekrystalografické grupy nekrystalografické grupy eukleidovské grupy zrcadlení->nekrystalografické grupy krystalografické Weylovy grupy krystalografické Weylovy grupy eukleidovské grupy zrcadlení->krystalografické Weylovy grupy afinní Weylovy grupy->krystalografické Weylovy grupy

        Zrcadlení

        Obecný předpoklad Mějme euklidovský prostor 𝔼 dimenze l s daným skalárním součinem ⟨⋅|⋅⟩.
        Značení Grupu ortogonálních operátorů na 𝔼 budeme značit O(𝔼).
        Definice Zrcadlení vzhledem k nadrovině H⋐𝔼 je lineární zobrazení sH∈ℒ(𝔼) definované jako sHx≔x pro x∈H a sHx≔−x pro x∈H⟂.
        Definice Zrcadlení vzhledem k vektoru α∈𝔼,α≠0 je zrcadlení vzhledem k nadrovině Hα≔[α]λ⟂. Značíme sα≔sHα.
        Pozorování Pro k≠0 je skα=sα.
        Věta A-1 Pro α,x∈𝔼 je
        sαx=x−2⟨x|α⟩⟨α|α⟩α.
        Důkaz Známe z numeriky.
        Věta A-2 Pro α∈𝔼 je sα∈O(𝔼).
        Důkaz Známe z lineární algebry.
        Věta A-3 Pro α∈𝔼 je sα2=I a detSα=−1.
        Důkaz Triviální.
        Věta A-4 Pro φ∈O(𝔼) je φ(Hα)=Hφα a φsαφ−1=sφα.
        Důkaz Plyne z A-1 dosazením a rozepsáním.
        Definice Podgrupa W⊂O(𝔼) je grupa zrcadlení, pokud je generována nějakou množinou zrcadlení.
        Definice Grupy W∈O(𝔼),W′∈O(𝔼′) jsou izomorfní, pokud existuje lineární zobrazení f:ℒ(𝔼,𝔼′) takové, že ⟨fx|fy⟩′=⟨x|y⟩ a fWf−1=W′.
        Definice Grupa zrcadlení je reducibilní, pokud se dá zapsat jako direktní součin netriviálních podgrup.
        Příklad Symetrická grupa Σl na 𝔼≔ℝl se standardním skalárním součinem je generována zrcadleními sαi,j pro i≠j, kde αi,j≔𝐞i−𝐞j.
        Poznámka Zrcadlení αi,j působí na vektor tak, že přehodí jeho i-tou a j-tou souřadnici. Jelikož transpozice generují celou grupu permutací, Σl je tvořena všemi permutacemi souřadnic a má tedy l! prvků.
        Poznámka Σl+1 je grupa symetrií l-simplexu ve tvaru
        Δl≔{(c1,…,cn+1)∈ℝl+1|ci≥0,∑i=1l+1ci=1}.
        Příklad Dihedrální grupa 𝒟n pro n≥3 je grupa na 𝔼≔ℝ2 se standardním skalárním součinem generovaná zrcadleními sα,sβ, kde θ≔πn,α≔(sinθ,−cosθ),β≔(0,1).
        Poznámka Ve standardní bázi je
        sα≡(cos2θsin2θsin2θ−cos2θ),sβ≡(100−1),t≔sαsβ≡(cos2θ−sin2θsin2θcos2θ).
        sαsβ je tedy rotace o úhel 2θ. Grupa 𝒟n se tedy skládá z 2n prvků, z nichž n jsou rotace Rn={I,t,…,tn−1} o násobky úhlu 2θ a n jsou zrcadlení {sα,tsα,…,tn−1sα}.

        Polopřímý součin

        Definice Grupa K je polopřímý součin svých podgrup G,H, pokud
        1. K=GH,
        2. G⊲K,
        3. G∩H={1}.
        Značíme K=G⋊H.
        Věta jednoznačnost rozkladu polopřímého součinu Nechť K=G⋊H. Je-li g1,g2∈G,h1,h2∈H,g1h1=g2h2, potom g1=g2 a h1=h2.
        Důkaz Vynásobením rovnosti g1−1 zleva a h2−1 zprava dostaneme g1−1g2=h1h2−1. Tento prvek musí patřit do G∩H, takže se podle třetího předpokladu rovná 1.
        Definice Nechť G,H jsou grupy a Φ:H→Aut(G) je homomorfismus. Potom G⋊ΦH je grupa na množině G×H s operací
        (g1,h1)⋅(g2,h2)≔(g1⋅(Φ(h1)g2),h1⋅h2).
        Věta Nechť K=G⋊H. Definujeme-li Φ(h)g≔hgh−1, potom grupy K a G⋊ΦH jsou izomorfní.
        Důkaz Definujme ψ:G⋊ΦH→K jako ψ(g,h)≔g⋅h. Podle předchozí věty je to bijekce. Zbývá dokázat, že je to homomorfismus:
        ψ((g1,h1)⋅(g2,h2))=ψ(g1h1g2h1−1,h1h2)=g1h1g2h2=ψ(g1,h1)⋅ψ(g2,h2).
        Příklad grupa ℤ2l⋊Σl Vezměme symetrickou grupu Σl definovanou dříve a grupu ℤ2l s akcí na 𝔼=ℝl generovanou zrcadleními
        s𝐞i(x1,…,xi,…,xl)=(x1,…,−xi,…,xl).
        Potom grupa ℤ2l⋊Σl tvoří všechny symetrie jednotkové krychle
        Il≔{(c1,…,cl)|−1≤ci≤1}.
        Vezmeme-li g∈ℤ2l,h∈Σl, potom zjevně hgh−1∈ℤ2l, z čehož plyne, že jde skutečně o polopřímý součin. Všimněme si, že nemusí nutně být ghg−1∈Σl, tedy nejde o přímý součin.
        Příklad Jak jsme si ukazovali, dihedrální grupa 𝒟n má podgrupu rotací Rn. Snadno vidíme, že tato podgrupa je normální a platí 𝒟n=Rn⋊{1,sβ}, kde sβ je elementární zrcadlení.
        Věta Každá ortogonální transformace v ℝ2 je zrcadlení nebo rotace.
        Věta Jediné konečné podgrupy O(ℝ2) jsou Rn a 𝒟n.

        Kořenový systém

        Definice Kořenový systém je konečná množina nenulových vektorů Δ⊂𝔼 (kořenů) splňující podmínky
        (B-1)
        Pro každé α∈Δ,λ∈ℝ je λα∈Δ⟺λ=±1.
        (B-2)
        Je-li α,β∈Δ, potom sαβ∈Δ.
        Hodnost Δ je dimenze prostoru 𝔼Δ≔[Δ]λ.
        Definice Kořenový systém Δ je krystalografický, pokud pro všechna α,β∈Δ platí
        (B-3)
        2⟨α|β⟩⟨α|α⟩∈ℤ.
        Definice Kořenový systém Δ je esenciální, pokud
        (B-4)
        𝔼Δ=𝔼.
        Definice Kořenový systém Δ je unitární, pokud všechny jeho vektory jsou jednotkové.

        Nechť W je konečná grupa zrcadlení. Potom můžeme vytvořit kořenový systém Δ tak, že pro každou nadrovinu H, podle níž zrcadlíme, vezmeme jednotkový vektor z H⟂ a vektor k němu opačný. Axiom (B-1) zjevně platí. Axiom (B-2) plyne z toho, že máme=li α,β∈Δ, potom ssαβ=sαsβsα∈W. Značíme 𝔼W≔𝔼Δ.

        Definice Hodnost konečné grupy zrcadlení W je hodnost 𝔼W.
        Věta Pro konečnou grupu zrcadlení W platí 𝔼=𝔼W⊕︎𝔼W, kde 𝔼W je nějaký podprostor, na který W působí jako identita.
        Definice Konečná grupa zrcadlení W je esenciální, pokud 𝔼W=𝔼.
        Definice Grupy W⊂O(𝔼),W′⊂O(𝔼′) jsou stabilně izomorfní, pokud W|EW≃W′|𝔼W′′.

        Naopak každý kořenový systém Δ určuje grupu zrcadlení W(Δ)≔⟨sα|α∈Δ⟩. Později rozebereme, jestli všechna zrcadlení v takovém systému jsou ve tvaru sα,α∈Δ.

        Věta Grupa W(Δ) je konečná.
        Důkaz Vezměme přirozený homomorfismus φ:W(Δ)→SΔ do grupy permutací systému Δ. Máme 𝔼=𝔼Δ⊕︎𝔼Δ, kde 𝔼Δ≔⋂α∈ΔHα. TBD
        Věta Nechť α,β∈Δ,a≠±β. Potom sαsβ=sβsα, právě když α⟂β.
        Důkaz
        sαsβ=sβsα⟺sβ=sαsβsα=ssαβ⟺sαβ=±β⟺α⟂β.
        Definice Kořenový systém Δ je reducibilní, pokud existují kořenové systémy Δ1,Δ2 splňující Δ=Δ1∪Δ2 a Δ1⟂Δ2.
        Věta Je-li kořenový systém Δ reducibilní, potom W(Δ) je reducibilní.
        Důkaz Podgrupy W(Δ1),WΔ2⊂WΔ zjevně vzájemně komutují. Z rozkladu 𝔼=𝔼Δ1⊕︎𝔼Δ2⊕︎𝔼Δ plyne, že W(Δ1)∩W(Δ2)={1}, takže W(Δ)=W(Δ1)×W(Δ2).
        Příklad systém Al Pro danou ortonormální bázi {e1,…,el+1} prostoru 𝔼≔ℝl+1 definujme
        Δ≔{ei−ej|i≠j}.
        Snadno ověříme, že jde o kořenový systém. Navíc W(Δ)=Σl+1. Zároveň máme
        𝔼Δ={(x1,…,xl+1)|∑i=1l+1xi=0},EΔ=[(1,…,1)]λ.
        Takže systém není esenciální, je ireducibilní a je krystalografický.
        Příklad systém Bl Pro danou ortonormální bázi {e1,…,el} prostoru 𝔼≔ℝl definujme
        Δ≔{±ei±ej|i≠j}∪{±ei|i}.
        Snadno ověříme, že jde o kořenový systém. Navíc W(Δ)=ℤ2l⋊Σl. Systém je esenciální, ireducibilní i krystalografický.
        Příklad systém Cl Pro danou ortonormální bázi {e1,…,el} prostoru 𝔼≔ℝl definujme
        Δ≔{±ei±ej|i≠j}∪{±2ei|i}.
        Systém má z hlediska grupy zrcadlení přesně ty samé vlastnosti jako Bl. Rozdíl bude důležitý později, když budeme řešit i posouvání.
        Příklad systém Dl Pro danou ortonormální bázi {e1,…,el} prostoru 𝔼≔ℝl definujme
        Δ≔{±ei±ej|i≠j}.
        Tentokrát W(Δ)=ℤ2l−1⋊Σl, kde ℤ2l−1 obsahuje jen změny sudého počtu znamének. Systém je esenciální, ireducibilní i krystalografický.

        Fundamentální systém

        Definice Fundamentální (prostý) systém kořenového systému Δ je množina Σ⊂Δ splňující:
        1. vektory v Σ jsou lineárně nezávislé;
        2. každý prvek α∈Δ se dá vyjádřit jako lineární kombinace prvků Σ, jejíž koeficienty jsou buď všechny nezáporné (potom je α kladný kořen) nebo všechny nekladné (potom je α záporný kořen).
        Prvky Σ jsou prosté kořeny. Množinu kladných kořenů značíme Δ+ a množinu záporných kořenů Δ−.
        Definice Nechť Δ je kořenový systém. Potom Weylova komora je komponenta souvislosti množiny
        𝔼∖⋃α∈ΔHα.
        Věta Nechť V je vektorový prostor nad nekonečným tělesem 𝒟. Potom V nejde zapsat jako sjednocení konečného počtu nadrovin.
        Důkaz Nechť V=⋃i=1nHi. Označme
        Vi≔⋃j=1j≠inHj.
        Předpokládejme, že Vi≠V pro všechna i∈n^. TBD
        Věta Každý kořenový systém Δ má fundamentální systém.
        Důkaz Množina E∖⋃α∈ΔHα je podle předchozí věty neprázdná. Vezměme nějaký její bod t, ležící v nějaké Weylově komoře 𝒞. Pro všechna α∈Δ je t≠Hα, takže ⟨t|α⟩≠0. Definujme
        Δ+≔{α∈Δ|⟨t|α⟩>0},
        Δ−≔{α∈Δ|⟨t|α⟩<0}.
        Všimněme si, že podoba množin Δ± závisí jen na 𝒞, nikoliv samotném t. Dále vezměme minimální (vzhledem k inkluzi) množinu Σ⊂Δ+ takovou, že každý prvek Δ+ je nezápornou lineární kombinací prvků Σ. (Taková množina jistě existuje, protože můžeme vzít celou Δ+ a postupně z ní vyhazovat vektory).
        Lemma Pro všechna α,β∈Σ,α≠β je ⟨α,β⟩≤0.
        Důkaz Nechť pro spor ⟨α|β⟩>0. Potom sαβ=β−αα, kde
        λ=2⟨α|β⟩⟨α|α⟩>0.
        Podle axiomu (B-2) musí být sαβ∈Δ. Uvažujme dva možné případy:
        sαβ∈Δ+
        Z definice σ existují koeficienty λγ≥0 takové, že
        ∑γ∈Σλγγ=sαβ=β−λα.
        Je-li λβ<1, potom β je kladná lineární kombinace prvků Σ∖{β}, což je spor s minimalitou Σ. Pokud λβ≥1, potom 0 je netriviální kladná lineární kombinace prvků σ, což je spor s tím, že její skalární součin s t∈𝒞 má být kladný.
        sαβ∈Δ−
        Zjevně potom −sαβ∈Δ+. Analogicky s předchozím případem máme
        ∑γ∈Σλγγ=−sαβ=λα−β.
        V závislosti na možnostech λα<λ,λα≥λ dojdeme podobně ke sporu.
        Lemma Množina α je lineárně nezávislá.
        Důkaz Kdyby vektory byly lineárně závislé, existovala by netriviální lineární kombinace rovná nule. Z toho plyne, že existují neprázdné disjunktní podmnožiny Σ+,Σ−⊂Σ a koeficienty cα,cβ>0 takové, že
        ∑α∈Σ+cαα−∑β∈Σ−cββ=0.
        (Kdyby nějaká z ťwchto množin byla prázdná, byla by 0 kladná lineární kombinace prvků Σ.) TBD
        Tím je tvrzení dokázáno – našli jsme fundamentální systém Σ.
        Věta Nechť Σ1,Σ2 jsou fundamentální systémy kořenového systému Δ. Potom Σ1=Σ2, právě když Δ1+=Δ2+.
        Důkaz Implikace (⇒) je triviální. Dokážeme opačnou implikaci. Nechť Δ1+=Δ2+ a Σ1={α1,…,αl},Σ2={β1,…,βl}. Potom z definice fundamentálního systému existují jednoznačně určené matice 𝐗,𝐘≥0 takové, že
        αi=∑j=1l𝐗i,jβj,βi=∑j=1l𝐘i,jαj
        Zjevně jsou 𝐗,𝐘 regulární a vzájemně inverzní, takže ∑j=1l𝐗i,j𝐘j,k=𝐈i,k. Z nezápornosti matic plyne, že pokud 𝐗i,j≠0, potom pro všechna k≠i je 𝐘j,k=0. Zároveň v takovém případě z regularity plyne 𝐘j,i>0 (jinak by 𝐘 měla nulový řádek). Z toho plyne, že každý řádek matic obsahuje právě jeden nenulový prvek, a to na diagonále. Z axiomu (B-1) kořenového systému potom plyne, že 𝐗=𝐘=𝐈.
        Definice Fundamentální Weylova komora fundamentálního systému Σ={α1,…,αl} je množina
        𝒞0≔{t∈𝔼|∀i∈l^:⟨t|αi⟩>0}.
        Důkaz neprázdnosti Podle Rieszovy věty existují vektory ω1,…,ωl takové, že ⟨αi,ωj⟩=𝐈i,j. Potom ∑i=1lωi∈𝒞0.
        Poznámka Z předchozí věty plyne, že existuje přirozená bijekce mezi fundamentálními systémy a Weylovými komorami.
        Definice Nechť Σ={α1,…,αl} je fundamentální systém kořenového systému Δ. Potom výška kořene α=∑i=1lλiαi∈Δ je h(α)≔∑i=1nλi.
        Pozorování Pro všechny α∈Δ je h(α)≠0.
        Věta Pro každé α∈Δ+,α∉Σ existuje αk∈Σ takové, že sαkα∈Δ+ a h(sαkα)<h(α).
        Poznámka Tato věta se bude později hodit pro různé důkazy indukcí.
        Důkaz Nechť α=∑i=1lλiαi,λi≥0. Jelikož α∉Σ, musí být alespoň dvě λi,λj kladné. Z nerovnosti
        0<⟨α|α⟩=∑i=1lλi⟨α|αi⟩
        vidíme, že pro nějaké αk∈Σ je ⟨α|αk⟩>0 a λk>0. TBD
        Definice Nechť Δ je kořenový systém a Σ jeho fundamentální systém. Potom grupa fundamentálních zrcadlení je podgrupa W0⊂W(Δ) generovaná zrcadleními sα,α∈Σ.
        Věta Pro každé α∈Δ existují φ∈W0 a αk∈Σ takové, že α=φαk.
        Důkaz Je-li α∈Δ+, podle předchozí věty existuje posloupnost α,sαk1α,sαk2sαk1α,…,skαn⋯skα2skα1α s ostře klesajícími výškami. To poslední musí být nějaký fundamentální kořen αk, tedy α=skα1⋯skαnαk. Je-li α∈Δ−, aplikujeme argument na −α.
        Důsledek Δ=W(Δ)Σ, tedy každá W(Δ)-orbita Δ obsahuje prostý kořen.
        Věta W(Δ)=W0, tedy W(Δ) je generována fundamentálními zrcadleními.

        Délka

        Definice Nachť Δ je kořenový systém, Σ={α1,…,αl}⊂Δ je fundamentální systém a S={sα1,…,sαl}≕{s1,…,sl} je množina fundamentálních zrcadlení. Rozklad prvku φ∈W(Δ),φ≠1 na fundamentální zrcadlení φ=si1,…,sik je redukovaný, pokud neexistuje rozklad s menším počtem prvků. V takovém případě je číslo k délka prvku φ. Značíme k=l(φ). Také zavádíme l(1)≔0.
        Pozorování Délka splňuje něco jako trojúhelníkovou nerovnost: l(φ1φ2)≤l(φ1)+l(φ2).
        Pozorování l(φ=1)=l(φ).
        Značení Množinu kladných kořenů, které φ∈W(Δ) zobrazuje na záporné kořeny, budeme značit Δ(φ). Jinými slovy,
        Δ(φ)≔Δ+∩φ−1Δ−.
        Dále značíme γ(φ)≔|Δ(φ)|.
        Věta Nechť φ∈W(Δ) a α∈Σ. Potom
        1. Δ(sα)={α};
        2. sα(Δ(φ)∖{α})=Δ(φsα)∖{α};
        3. φα<0⟺α∈Δ(φ)⟺γ(φsα)=γ(φ)−1;
        4. φα>0⟺α∈Δ(φsα)⟺γ(φsα)=γ(φ)+1.