Zápisky z cvičení z Matematické analýzy A 3

Konvergence integrálu

Definice. Nechť

a

je vlastní bod a

b

jediný kritický bod funkce

f

. Potom

\int_{a}^{b} f ≔ \lim_{β \to b} \int_{a}^{β} f

Věta (Bolzano-Cauchyova podmínka pro integrál).

\int_{a}^{b} f konverguje ⟺ (\forall ε \in ℝ^{+}) (\exists H_{b}^{-}) (\forall b_{1}, b_{2} \in H_{b}^{-}) (| \int_{b_{1}}^{b_{2}} f | < ε)

Věta (Srovnávací kritérium). Nechť pro funkce

f, g

na intervalu

[a, b)

platí

0 \leq f \leq g

. Potom

\int_{a}^{b} g konverguje ⟹ \int_{a}^{b} f konverguje

Věta (Limitní srovnávací kritérium). Nechť pro funkce

f, g

na intervalu

[a, b)

platí

0 \leq f, g

. Nechť

L ≔ \lim_{x \to b^{-}} \frac{f (x)}{g (x)}

. Potom

$L < + \infty \land \int_{a}^{b} g konverguje ⟹ \int_{a}^{b} f konverguje$
$L > 0 \land \int_{a}^{b} f konverguje ⟹ \int_{a}^{b} g konverguje$

Příklad.

\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{p}} d x

konverguje pro

p < 1

a diverguje pro

p \geq 1

Příklad.

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}} d x

konverguje pro

p > 1

a diverguje pro

p \leq 1

Cvičení (Ď2372). Vyšetřete konvergenci

\int_{0}^{1} \frac{\ln (x)}{1 - x^{2}} d x

Řešení

Body

0

1

jsou oba kritické, takže integrál musíme rozdělit kolem bodu

\frac{1}{2}

. Srovnáním s

\frac{1}{\sqrt{x}}

zjistíme, že

\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{\ln (x)}{1 - x^{2}} d x

konverguje. Srovnáním s

1

zjistíme, že

\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{\ln (x)}{1 - x^{2}} d x

konverguje.

Cvičení (Ď2376). Vyšetřete konvergenci

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\prod_{k = 1}^{n} {| x - a_{k} |}^{p_{k}}} d x, a_{k}, p_{k} \in ℝ

Věta (Hardyho kritérium). Nechť

f

je periodická funkce s periodou

p

g

monotónní funkce a

\lim_{b^{-}} g = 0

. Pokud

\int_{c}^{c + p} f = 0

, potom

\int_{1}^{\infty} f \cdot g

konverguje.

Cvičení. Vyšetřete konvergenci

\int_{0}^{\infty} \frac{\sin (x + \frac{1}{x})}{x^{n}} d x

Řešení. Rozdělíme integrál na

\int_{0}^{1}, \int_{0}^{\infty}

a použijeme substituci

z ≔ x + \frac{1}{x}

\int_{2}^{\infty} \frac{\sin (z)}{{(\frac{1}{2} (z + \sqrt{z^{2} - 4}))}^{n}} \cdot \frac{1}{2} (1 + \frac{z}{\sqrt{z^{2} - 4}}) d z

Nějak použijeme Hardyho a zjevně to konverguje absolutně pro

n > 1

, konverguje pro

n > 0

a diverguje pro

n \leq 0

Cvičení (1.11). Konverguje?

\int_{0}^{\infty} x^{2} \cos (\exp (x)) d x

Cvičení (1.12). Konverguje?

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (x)) d x

Řešení

\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (x)) d x & = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (2) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (\frac{x}{2})) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\cos (\frac{x}{2})) d x \\ = \frac{π}{2} \ln (2) + 2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (\sin (z)) d z + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (\cos (z)) d z \end{aligned}

Froullaniho integrály

Definice. Nechť

f : ℝ \to ℝ, a, b \in ℝ^{+}

. Froullaniho integrál je integrál ve tvaru

I (a, b) = \int_{0}^{\infty} \frac{f (a x) - f (b x)}{x} d x

Věta. Nechť

f

je spojitá na

(0, \infty)

. Označme

f_{0} ≔ \lim_{0^{+}} f, f_{\infty} ≔ \lim_{\infty} f

. Potom

$F_{0} \in ℝ \land f_{\infty} \in ℝ ⟹ I (a, b) = (f_{0} - f_{\infty}) \ln \frac{b}{a}$
$F_{0} \in ℝ \land \int_{1}^{\infty} \frac{f (t)}{t} d t konverguje ⟹ I (a, b) = f_{0} \ln \frac{b}{a}$
$F_{\infty} \in ℝ \land \int_{0}^{1} \frac{f (t)}{t} d t konverguje ⟹ I (a, b) = - f_{\infty} \ln \frac{b}{a}$
$\int_{0}^{\infty} \frac{f (t)}{t} d t konverguje ⟹ I (a, b) = 0$

Důkaz. Nechť

F (z) ≔ \int \frac{f (z)}{z} d z

. Potom

\begin{aligned} \int_{α}^{β} \frac{f (a x) - f (b x)}{x} d x & = a \int_{α}^{β} \frac{f (a x)}{a x} d x + b \int_{α}^{β} \frac{f (b x)}{b x} d x \\ = {[F]}_{α a}^{β a} - {[F]}_{α b}^{β b} \\ = {[F]}_{α a}^{α b} - {[F]}_{β a}^{β b} \\ = \int_{α a}^{α b} \frac{f (t)}{t} d t - \int_{β a}^{β b} \frac{f (t)}{t} d t \end{aligned}

Nechť $f_{0} \in ℝ$ . Potom podle věty o střední hodnotě: $\exists ξ \in (a, b), \int_{α a}^{α b} \frac{f (t)}{t} d t = f (α ξ) \int_{α a}^{α b} \frac{1}{t} d t = f (α ξ) \ln \frac{b}{a} \overset{\overset{}{α \to 0^{+}}}{\to} f_{0} \ln \frac{b}{a}$ Analogicky pro $β$ .
$\int_{1}^{\infty} \frac{f (t)}{t} d t$ konverguje podle Bolzana-Cauchyho
Analogicky
Analogicky

Příklad. Mějme integrál

I (a, b) = \int_{0}^{\infty} \frac{\exp (- a x) - \exp (- b x)}{x} d x

Nechť

a, b > 0

. Potom

f (t) = \exp (- t)

f_{0} = \lim_{t \to 0^{+}} \exp (- t) = 1

f_{0} = \lim_{t \to 0^{+}} \exp (- t) = 0

Podle Froullaniho kritéria

I (a, b) = \ln \frac{b}{a}

Cvičení (1.15).

I (a, b) = \int_{0}^{\infty} \frac{b \sin (a x) - a \sin (b x)}{x} d x

Řešení

I (a, b) = \int_{0}^{\infty} \frac{b \sin (a x) - a \sin (b x)}{x} d x = a b \int_{0}^{\infty} \frac{\frac{\sin (a x)}{a x} - \frac{\sin (b x)}{b x}}{x} d x

a, b > 0 : f_{0} = 1, f_{\infty} = 0 \to I (a, b) = a b \ln \frac{b}{a}

$f$ je sudá, tudíž pro $a, b \neq 0$ je $I (a, b) = a b \ln | \frac{b}{a} |$

Pro $a = 0 \lor b = 0$ je funkce nulová

Cvičení (1.16).

I (a, b) = \int_{0}^{1} \frac{x^{a - 1} - x^{b - t}}{\ln (x)} d x

Řešení

I (a, b) = \int_{0}^{1} \frac{x^{a - 1} - x^{b - t}}{\ln (x)} d x = \int_{0}^{1} \frac{\exp (a \ln (x)) - \exp (b \ln (x))}{x \ln (x)} d x = \int_{0}^{\infty} \frac{\exp (- a y) - \exp (- b y)}{y} d y

⋮

Funkce, která má integrál do nekonečna, nemusí nutně mít limitu v nekonečnu! (Ale pokud ji má, musí být nulová.)

Stejnoměrná konvergence řad

Věta (Bolzano-Cauchyova podmínka pro řady). Nechť

F_{n}

jsou částečné součty

f_{n}

\sum_{n = 0}^{\infty} f_{n}

stejnoměrně konverguje na

A

právě tehdy, pokud

(\forall ε \in ℝ^{+}) (\exists n_{0} \in ℕ) (\forall n \in ℕ, n \geq n_{0}) (\forall p \in ℕ) (\forall x \in A) (| F_{n + p} (x) - F_{n + 1} (x) |)

Věta (Weierstrassovo kritérium). Nechť

(\forall n \in ℕ) (\forall x \in A) (| f_{n} (x) | \leq g_{n} (x))

. Pokud

\sum_{n = 1}^{\infty} g_{n}

stejnoměrně konverguje na

A

, potom

\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}

stejnoměrně konverguje na

A

Věta (Dirichletovo kritérium). Nechť

g_{n} (x)

je monotónní vůči

n

, posloupnost částečných součtů

f_{n}

je stejně omezená a

g_{n}

stejnoměrně konverguje na

A

. Potom

\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} g_{n}

stejnoměrně konverguje.

Věta (Abelovo kritérium). Nechť

g_{n} (x)

je monotónní vůči

n

, posloupnost částečných součtů

f_{n}

stejnoměrně konverguje na

A

g_{n}

je stejně omezená. Potom

\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} g_{n}

stejnoměrně konverguje.

Věta (o záměně sumy a limity). Nechť

\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x)

konverguje stejnoměrně na množině

A

s hromadným bodem

x_{0}

. Nechť pro každé

n

existuje

\lim_{\begin{array}{c} x \to x_{0} \\ x \in A \end{array}} f_{n} (x)

. Potom

\lim_{\begin{array}{c} x \to x_{0} \\ x \in A \end{array}} \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \lim_{\begin{array}{c} x \to x_{0} \\ x \in A \end{array}} f_{n} (x)

Věta (o záměné sumy a derivace). Nechť

A

je otevřený interval. Nechť:

$f_{n}$ má derivaci na $A$ pro všechna $n \in ℕ$
existuje $c \in A$ takové, že $\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (c)$ konverguje
$\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}^{'} (x)$ konverguje stejnoměrně na $A$

Potom

{(\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n})}^{'} = \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}^{'}

Věta (o záměně sumy a integrálu). Nechť pro každé

n \in N

existuje

\int_{a}^{b} f_{n}

. Nechť

\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}

stejnoměrně konverguje na

[a, b]

. Potom

\int_{a}^{b} \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{a}^{b} f_{n}

Cvičení (3.18). Nechť

f_{n} (x) ≔ x^{\frac{1}{2 n + 1}} - x^{\frac{1}{2 n - 1}}

. Dokažte, že

f_{n}

na intervalu

[0,1]

nesplňuje podmínky věty o záměně sumy a integrálu, a přesto

\int_{0}^{1} \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} \int_{0}^{1} f_{n}

. (Věta tedy není nutná podmínka.)

Cvičení (3.19). Sečtěte

F (x) ≔ \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} \frac{x^{2 n - 1}}{2 n - 1}

Cvičení (3.20). Vyšetřete konvergenci a sečtěte:

F (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n (n + 1)}

Sčítání řad

Obecný postup: chceme sumu zderivovat nebo zintegrovat, aby vyšlo něco hezkého

Cvičení. Sečtěte řadu

F (x) ≔ \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} n^{2} x^{n}

Řešení

Nejprve zjistíme poloměr konvergence řady. Podle odmocninového kritéria:

ρ = \frac{1}{{lim sup}_{n \to \infty} \sqrt[n]{| {(- 1)}^{n + 1} n^{2} |}} = 1

Z toho víme, že pro každé

ε \in ℝ^{+}

řada stejnoměrně konverguje na

[- 1 + ε, 1 - ε]

. Aby nám nějak pomohlo, že ji zintegrujeme, chtěli bychom mít v exponentu

n - 1

, tudíž definujme:

G (x) ≔ \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} n^{2} x^{n - 1}; F (x) = x G (x)

\int G (x) d x = \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} n x^{n} + C_{0}

Nyní uděláme přésně to samé:

H (x) ≔ \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} n x^{n - 1}; \int G (x) d x = x H (x) + C_{0}

\int H (x) d x = \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} x^{n} + C_{1} = \frac{x}{1 + x} + C_{1}

Z toho můžeme zpětně odvodit:

H (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{1 + x} + C_{1}) = \frac{1}{{(1 + x)}^{2}}

G (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(1 + x)}^{2}} + C_{0}) = \frac{1 - x}{{(1 + x)}^{3}}

F (x) = \frac{x - x^{2}}{{(1 + x)}^{3}}

Tato rovnost platí pro libovolný interval

[- 1 + ε, 1 - ε]

, tedy i pro celý interval

(- 1,1)

. Dosazením lze ověřit, že v krajních bodech řada nekonverguje.

Fourierovy řady

Definice. Nechť

f

je funkce, která má na

(a, b)

integrál. Potom její Fourierova řada na

(a, b)

F (x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos (\frac{2 π n}{b - a} x) + b_{n} \sin (\frac{2 π n}{b - a} x))

kde

a_{n} = \frac{2}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) \cos (\frac{2 π n}{b - a} x) d x

b_{n} = \frac{2}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) \sin (\frac{2 π n}{b - a} x) d x

Věta (Besselova nerovnost). Nechť

f^{2}

má integrál na

(a, b)

. Nechť

a_{n}, b_{n}

jsou koeficienty Fourierovy řady funkce

f

. Potom

\frac{a_{0}^{2}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n}^{2} + b_{n}^{2}) \leq \frac{2}{b - a} \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x

Věta (Parsevalova rovnost). Nechť

f^{2}

je integrabilní (má konečný integrál) na

(a, b)

. Nechť

a_{n}, b_{n}

jsou koeficienty Fourierovy řady funkce

f

. Potom

\frac{a_{0}^{2}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n}^{2} + b_{n}^{2}) = \frac{2}{b - a} \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x

Věta (Jordanova). Nechť

f

je spojitá na

⟨ a, b ⟩

, má po částech spojitou derivaci na

(a, b)

f (a) = f (b)

. Potom její Fourierova řada konverguje stejnoměrně na celém

ℝ

k periodickému prodluožení

f

podle

⟨ a, b ⟩

Věta („pro život“). Nechť

f

f^{'}

jsou po částech spojité na

(a, b)

. Potom Fourierova řada

F

funkce

f

konverguje na

ℝ

a platí:

$F$ je periodická s periodou $b - a$
$(\forall x \in (a, b)) (F (x) = \frac{\lim_{x^{+}} f + \lim_{x^{-}} f}{2})$
$F (a) = F (b) = \frac{\lim_{a^{+}} f + \lim_{b^{-}} f}{2}$

Příklad. Nechť

f (x) ≔ x

. Potom její Fourierova řada

na $(- π, π)$ je $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2}{n} {(- 1)}^{n + 1} \sin (n x)$ (zapamatovat!)
na $(0,2 π)$ je za domácí úkol
na $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ je za domácí úkol
na $(- 1,1)$ je za domácí úkol
na $(0, π)$ je za domácí úkol

Cvičení. Najděte Fourierovu řadu funkce

f (x) ≔ x \sin (x)

Řešení.

\begin{aligned} x \sin (x) & \approx (2 \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} \frac{\sin (n x)}{n}) \sin (x) \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} \frac{\cos ((n - 1) x) - \cos ((n + 1) x)}{n} \\ ⋮ \\ = 1 - \frac{\cos (x)}{2} + \sum_{n = 2}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} \cos (n x) \frac{2}{n^{2} - 1} \end{aligned}

Cvičení. Pro dané

α \in (0, π)

spočtěte řadu

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sin {(α n)}^{2}}{n^{2}}

Nápověda

Použijte Parsevalovu rovnost pro funkci

f (x) = {\begin{matrix} 1, & | x | \leq α \\ 0, & | x | > α \end{matrix}

Topologie

Definice.

Mějme neprázdnou množinu $X$ a $τ \subseteq 2^{X}$ . $(X, τ)$ je topologický prostor, pokud

$⌀, X \in τ$
$(\forall {A_{α}} \subseteq τ) (⋃_{α} A_{α} \in τ)$
$(\forall {A_{n}}_{n = 1}^{N} \subseteq τ) (⋂_{n = 1}^{N} A_{α} \in τ)$

Množina $τ$ , zvaná topologie na $X$ , je množina otevřených množin.

Definice. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor. Množina

U \in τ

je okolí

x \in X

, pokud

x \in U

. Nějaké obecné okolí bodu

x

značíme

H_{x}

Definice. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor. Množina uzavřených množin, zvaná kotopologie na

X

, je

c τ ≔ {A \subseteq X | X ∖ A \in τ}

Definice. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor. Množina

β \subseteq τ

je báze

(X, τ)

, pokud

τ_{β} ≔ {⋃_{α} B_{α} | {B_{α}} \subseteq β}

Cvičení (2.23). Nechť

τ_{ℕ^{+}} ≔ {{1,2,3, \dots} | n \in ℕ}

Dokažte, že $(ℕ^{+}, τ_{ℕ^{+}})$ je topologický prostor.
Určete, zda množina ${{n} | n \in ℕ}$ je báze.
Existuje nějaká jiná báze $τ$ než $τ$ ?
Pro jaká $n \in ℕ$ je množina ${n}$ otevřená?

Axiomy oddělitelnosti

Definice. Topologický prostor

(X, τ)

T_{0}

, pokud

(\forall a, b \in X, a \neq b) ((\exists H_{a}) (b \notin H_{a}) \lor (\exists H_{b}) (a \notin H_{a}))

Příklad. Nechť

X ≔ {0,1}, τ ≔ {⌀, {0,1}}

. Tento prostor není

T_{0}

Definice. Topologický prostor

(X, τ)

T_{1}

, pokud

(\forall a, b \in X, a \neq b) (\exists H_{a}) (b \notin H_{a})

Příklad. Nechť

X ≔ {0,1}, τ ≔ {⌀, {0}, {0,1}}

. Tento prostor je

T_{0}

, ale není

T_{1}

Věta. Topologický prostor

(X, τ)

T_{1}

, právě pokud všechny jednoprvkové množiny jsou uzavřené.

Důkaz.

(\Leftarrow)

Vezměme dvě různá

a, b \in X

. Z předpokladu

{b} \in c τ ∴ X ∖ {b} \in τ

. Tedy existuje okolí

a

neobsahující

b

(\Rightarrow)

Nechť

b \in X

. Víme, že pro každé

a \neq b

existuje okolí neobsahující

b

. Sjednocení všech něchto okolí je

X ∖ {b}

, což je tedy otevřená množina.

Definice (Hausdorffův axiom). Topologický prostor

(X, τ)

T_{2}

, pokud

(\forall a, b \in X, a \neq b) (\exists H_{a}, H_{b}) (H_{a} \cap H_{b} = ⌀)

Příklad. Nechť

τ_{ℝ}

je obvyklá topologie

ℝ

. Vezměme nějaké

α \notin ℝ

. Nechť

X ≔ ℝ \cup {α}, τ ≔ τ_{ℝ} \cup {X ∖ D | D \subseteq ℝ, | D | \in ℕ}

. Tento prostor je

T_{1}

, ale není

T_{2}

Definice. Topologický prostor

(X, τ)

T_{3}

, pokud

(\forall a \in X, B \in c τ, a \notin B) (\exists H_{a}, H_{B}) (H_{a} \cap H_{B} = ⌀)

Příklad. Nechť

X ≔ ℝ

τ

je topologie definovaná bází

β ≔ {B_{x} (r) | x \in ℝ ∖ {0}, r \in ℝ^{+}} \cup {B_{0} (r) ∖ {\frac{1}{n} | n \in ℕ^{+}} | r \in ℝ^{+}}

Tento prostor, věřte tomu nebo ne, je

T_{2}

, ale není

T_{3}

. (Při důkazu volíme

a ≔ 0, A ≔ {\frac{1}{n} | n \in ℕ^{+}}

Definice. Topologický prostor

(X, τ)

T_{4}

, pokud

(A, B \in c τ, A \cap B = ⌀) (\exists H_{A}, H_{B}) (H_{A} \cap H_{B} = ⌀)

Příklad. Prostor

(ℝ, τ_{ℝ})

T_{4}

Definice. Topologický prostor, který je

T_{1}

T_{2}

, je

T_{2}

-prostor neboli Hausdorffův prostor.

Definice. Topologický prostor, který je

T_{1}

T_{3}

, je

T_{3}

-prostor neboli regulární prostor.

Definice. Topologický prostor, který je

T_{1}

T_{4}

, je

T_{4}

-prostor neboli normální prostor.

Cvičení. Určete, které axiomy oddělitelnosti splňuje topologie

(ℕ^{+}, τ_{ℕ^{+}})

Věta. Nechť

X

je množina a

β \subseteq 2^{X}

. Potom

τ_{β}

je topologie na

X

právě tehdy, pokud:

$⋃ β = X$
$(\forall A, B \in β) (\forall x \in A \cap B) (\exists C \in β) (x \in C \subseteq A \cap B)$

Definice. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor a

x \in X

. Množina

β_{x} \subseteq τ

je lokální báze

(X, τ)

v bodě

x

, pokud

$(\forall B \in β_{x}) (x \in β)$
$(\forall H_{x}) (\exists B \in β_{x}) (B \subseteq H_{x})$

Věta (tvorba lokální báze z báze). Je-li

β

báze

(X, τ)

x \in X

, potom

β_{x} ≔ {B \in β | x \in B}

je lokální báze

(X, τ)

v bodě

x

Důkaz. Platnost první podmínky plyne z definice. Ověřme druhou podmínku. Z definice báze pro každé

H_{x}

existuje

{B_{α}} \subseteq β

taková, že

⋃_{α} B_{α} = H_{x}

. Jelikož

x \in H_{x}

, pro nějaké

α

x \in B_{α} \subseteq H_{x}

Definice. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor.

U \subseteq τ

je pokrytí

(X, τ)

, pokud

⋃ U = X

Definice. Topologický prostor

(X, τ)

je kompaktní, pokud každé jeho pokrytí má konečné podpokrytí.

Příklad. Nechť

X ≔ ℤ \cup {\pm \infty}, τ ≔ 2^{ℤ} \cup {A \subseteq X | | X ∖ A | \in ℕ}

. Potom

(X, τ)

je kompaktní topologický prostor.

Definice. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor a

A \subseteq X

. Potom

τ_{A} ≔ {B \cap A | B \in τ}

je indukovaná topologie.

Věta. V takovém případě je

(A, τ_{A})

topologický prostor.

Definice. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor. Množina

A \subseteq X

je kompaktní, pokud prostor

(A, τ_{A})

je kompaktní.

Příklad. V předchozím příkladě podmnožiny

A_{+} ≔ ℤ \cup {+ \infty}, A_{-} ≔ ℤ \cup {- \infty}

jsou kompaktní, ale

A_{+} \cap A_{-} = ℤ

není kompaktní.

Věta. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor a

A, B \subseteq X

jsou kompaktní. Potom

A \cup B

je kompaktní.

Důkaz. Nechť

U

je pokrytí

A \cup B

. Zřejmě je to i pokrytí

A

B

, tedy obě mají konečné podpokrytí. Sjednocení těchto podpokrytí je podpokrytí

A \cup B

Věta. Nechť

(X, τ)

je kompaktní topologický prostor a

A \in c τ

. Potom

A

je kompaktní.

Věta. Nechť

(X, τ)

T_{2}

-prostor a

A \subseteq X

je kompaktní. Potom

A \in c τ

Věta. Nechť

(X, τ)

T_{2}

-prostor a

A, B \subseteq X

jsou kompaktní. Potom

A \cap B

je kompaktní.

Metrická topologie

Definice. Nechť

X

je množina a

ρ : X^{2} \to ℝ_{0}^{+}

ρ

je metrika a

(X, ρ)

je metrický prostor, pokud

$(\forall x \in X) (ρ (x, x) = 0)$
$(\forall x, y \in X) (ρ (x, y) = ρ (y, x))$
$(\forall x, y, z \in X) (ρ (x, y) \leq ρ (x, z) + ρ (z, y))$

Definice. Nechť

X

je množina. Potom diskrétní metrika na

X

ρ_{d} (x, y) ≔ {\begin{matrix} 0, & x = y \\ 1, & x \neq y \end{matrix}

Věta. Diskrétní metrika na libovolné množině je metrika.

Definice. Nechť

(X, ρ)

je metrický prostor,

x \in X

r \in ℝ^{+}

. Otevřená koule kolem

x

o poloměru

r

B_{x} (r) ≔ {y \in X | ρ (x, y) < r}

Definice. Nechť

(X, ρ)

je metrický prostor. Systém

τ ≔ {A \subseteq X | (\forall x \in X) (\exists B_{r}) (B_{r} \subseteq A)}

je topologie indukovaná metrikou

ρ

Věta. V takovém případě je

(X, τ)

topologický prostor.

Důkaz. Jde o topologii generovanou bází

β ≔ {B_{x} (r) | x \in X, r \in ℝ^{+}}

Definice. Nechť

(X, τ_{X}), (Y, τ_{Y})

jsou topologické prostory. Funkce

f : X \to Y

je spojitá v bodě

a \in X

, pokud

(\forall H_{f (a)} \in τ_{Y}) (\exists H_{a} \in τ_{X}) (\forall x \in H_{a}) (f (x) \in H_{f (a)})

. Funkce

f

je spojitá, pokud je spojitá pro každé

a \in X

Věta (jednodušší definice spojitosti). Nechť

(X, τ_{X}), (X, τ_{Y})

jsou topologické prostory. Funkce

f : X \to Y

je spojitá, právě pokud

(\forall A \in τ_{Y}) (f^{- 1} (A) \in τ_{X})

Definice. Nechť

(X, τ_{X}), (Y, τ_{Y})

jsou topologické prostory. Funkce

f : X \to Y

má v bodě

a \in X

limitu

L \in Y^{*}

, pokud

(\forall H_{L} \in τ_{Y}) (\exists H_{a} \in τ_{X}) (\forall x \in H_{a}) (f (x) \in H_{L})

Věta (podvojná limita). Nechť

(X, τ_{X}), (Y, τ_{Y}), (P, τ_{P})

jsou topologické prostory a

f : X \times Y \to P

má v bodě

(a, b)

limitu

L

. Nechť dále

(\exists H_{a}) (\forall x \in H_{a} \cap D_{x, f}, x \neq a) (\exists φ (x) ≔ \lim_{\begin{array}{c} y \to b \\ y \in D_{Y, f} \end{array}} f (x, y))

Potom

\exists \lim_{\begin{array}{c} x \to a \\ x \in D_{X, f} \end{array}} φ (x) = L

Věta (praktické využití podvojné limity). Nechť

f : ℝ^{2} \to ℝ, a, b \in ℝ

. Pro

ℝ

uvažujme obvyklou topologii. Nechť

l_{x y} ≔ \lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f (x, y)

l_{y x} ≔ \lim_{y \to b} \lim_{x \to a} f (x, y)

Potom:

Pokud obě existují, ale $l_{x y} \neq l_{y x}$ , potom $f$ nemá limitu v bodě $(a, b)$ .
Pokud $l_{x y} = l_{y x} = L$ , potom má-li $f$ limitu, musí to být $L$ .

Věta. Nechť

(X, {‖ \cdot ‖}_{X}), (X, {‖ \cdot ‖}_{Y})

jsou normované prostory.

f : X \to Y

má v bodě

a

limitu

L

právě tehdy, pokud

(\exists H_{a}) (\exists K \in ℝ^{+}) (\forall x \in H_{a} ∖ {a}) ({‖ f (x) - L ‖}_{Y} \leq K {‖ x - a ‖}_{X})

Věta (o limitě složené funkce). Mějme topologické prostory

(X, τ_{X}), (Y, τ_{Y}), (Z, τ_{z})

a funkce

g : X \to Y, f : Y \to Z

. Nechť

\lim_{a} g = λ, \lim_{λ} f = c

a existuje

H_{x}

takové, že

g (H_{x} ∖ {x}) ∌ λ

. Potom

\lim_{x} f \circ g = c

Funkce více proměnných

Cvičení (6.1).

\lim_{(x, y) \to (0,0)} \frac{x + y + 1}{x^{2} + y^{2} + 1}

Řešení

Snadno spočteme, že

l_{x y} = l_{y x} = 1

, tedy chceme ověřit, zda

1

je limita. Odhadujme:

| f (x, y) - 1 | = | \frac{x + y + 1}{x^{2} + y^{2} + 1} - 1 | = | \frac{x + y - x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2} + 1} | < | x + y - x^{2} - y^{2} | \leq | x | + | y | + x^{2} + y^{2}

Pro

x, y \in (- 1,1)

máme

| x | + | y | + x^{2} + y^{2} < 2 (| x | + | y |) = 2 {‖ (x, y) - (0,0) ‖}_{1} ■

Cvičení (6.2). Nechť

f (x, y) ≔ \frac{x - y}{x^{2} - y^{2}}

. Najděte

\lim_{(0,0)} f

\lim_{(1,1)} f

Cvičení (6.3).

\lim_{(x, y) \to (1,1)} \frac{x^{2} - x y + y^{2} - 1}{x^{2} + y^{2} - 2}

Nápověda

Funkce není definovaná na kružnici kolem počátku o poloměru

\sqrt{2}

. Zkusme se k bodu blížit po tečně této kružnice, tedy jako Heineovskou posloupnost použít

x_{n} = (1 + \frac{1}{n}, 1 - \frac{1}{n})

Řešení

l_{x y} = l_{y x} = \frac{1}{2}

, ale limita neexistuje, protože pro posloupnost z nápovědy vyjde limita

\frac{3}{2}

Cvičení (6.4).

\lim_{(x, y) \to (0,0)} \frac{x - y}{x^{2} + y^{3}}

Řešení

Nekonverguje, protože pro

(\frac{1}{n}, 0)

vychází

+ \infty

a pro

(- \frac{1}{n}, 0)

vychází

- \infty

Cvičení (6.5).

\lim_{(x, y) \to (0,0)} \sin (x^{2} + y^{2})

Řešení

Podle věty o limitě složené funkce je

\lim = 0

. Také je možné řešit z definice:

{‖ (x, y) ‖}_{2} < δ

| \sin (x^{2} + y^{2}) | \leq x^{2} + y^{2} = {‖ (x, y) ‖}_{2}^{2} < δ^{2} ≕ ε

Cvičení (6.6).

\lim_{(x, y) \to (0,0)} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2} + {(x - y)}^{2}}

Řešení

Obě postupné limity vycházejí

0

, ale pro

(\frac{1}{n}, \frac{1}{n})

vychází

1

, tedy limita neexistuje.

Cvičení (6.7).

\lim_{(x, y) \to (0,0)} \frac{x - y}{x + y}

Řešení

Postupné limity vycházejí různě, takže nekonverguje.

Cvičení (6.8).

\lim_{(x, y) \to (0,0)} (x + y) \sin (\frac{1}{y})

Řešení

| (x + y) \sin (y) | \leq | x + y | \leq | x | + | y | = {‖ (x, y) ‖}_{1}

Tedy funkce má limitu

0

. Všimněme si, že jedna postupná limita neexistuje, ale limita existuje!

Cvičení (6.9).

\lim_{(x, y) \to (0,0)} (x + y) \sin (\frac{1}{x}) \sin (\frac{1}{y})

Řešení

| (x + y) \sin (y) | \leq | x + y | \leq | x | + | y | = {‖ (x, y) ‖}_{1}

Tedy funkce má limitu

0

. Všimněme si, že obě postupné limity neexistují, ale limita existuje!

Cvičení (6.10).

\lim_{(x, y) \to (0,0)} \frac{x y^{2}}{x^{2} + y^{4}}

Řešení

Postupné limity jsou obě

0

, pro

(\frac{1}{n^{2}}, \frac{1}{n})

dostaneme

\frac{1}{2}

, takže nekonverguje.

Cvičení (6.11).

\lim_{(x, y) \to (0,0)} \frac{1}{x^{4} + y^{4}} \exp (- \frac{1}{x^{4} + y^{4}})

Řešení

Jde o limitu složené funkce, kde

f (t) = t \exp (- t), g (x, y) = \frac{1}{x^{4} + y^{4}}

. Máme

\lim_{(0,0)} g = \infty

\lim_{\infty} f = 0

(například z L'Hôpitala), tedy limita bude

0

Cvičení (6.12).

\lim_{(x, y) \to (0,0)} {(1 + x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{x^{2} + y^{2}}}

Řešení

Z limity složené funkce vyjde limita

e

Cvičení (6.13).

f (x, y) ≔ \frac{x y}{x + y}

Lze funkci spojitě dodefinovat na přímce

{(x, y) \in ℝ^{2} | x = - y}

Řešení

Pokud pro libovolné

a \neq 0

vezmeme Heineovskou posloupnost

(a + \frac{1}{n}, a)

, vyjde nám

- \infty

. Pro bod

(0,0)

to je trochu složitější: například pro

(\frac{1}{n}, \frac{1}{n})

vyjde

0

a pro

(\frac{1}{n}, \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{n})

vyjde

- 1

. Tedy funkci nelze spojitě dodefinovat nikde.

Cvičení (6.15). Jde funkce

f (x, y) ≔ \sin (\frac{1}{x y})

zespojitit?

Cvičení (6.16). Jde funkce

f (x, y) ≔ \frac{x + y}{x^{3} + y^{3}}

zespojitit?

Definice. Nechť

f : ℝ^{n} \to ℝ, \vec{v} \in ℝ^{n}, \vec{a} \in ℝ^{n}

. Potom derivace

f

podle

\vec{v}

v bodě

\vec{a}

D_{v} f (\vec{a}) ≔ \lim_{t \to 0} \frac{f (\vec{a} + t \vec{v}) - f (\vec{a})}{t}

Je-li

‖ \vec{v} ‖ = 1

, potom jde o derivaci ve směru

\vec{v}

. Je-li

v = e_{j}

, potom jde o

j

-tou parciální derivaci, značeno:

D_{e_{j}} f (a) ≕ \frac{\partial f}{\partial x_{j}} (a) ≕ \partial_{x_{j}} f (a) ≕ \partial_{j} f (a)

Definice. Nechť

f : ℝ^{n} \to ℝ, L \in ℒ (ℝ^{n}, ℝ), \vec{a} \in ℝ^{n}

L

je úplná derivace

f

v bodě

\vec{a}

, pokud

\lim_{\vec{h} \to \vec{0}} \frac{f (\vec{a} + \vec{h}) - f (\vec{a}) - L (\vec{h})}{‖ \vec{h} ‖} = 0

Poznámka.

D^{2} f (a) = D D f (a) \in ℒ (ℝ^{n}, ℒ (ℝ^{n}, ℝ))

Věta. Pokud má funkce v bodě derivaci, potom je v něm spojitá.

Věta. Pokud existuje

D f (a)

, potom

(\forall \vec{v} \in ℝ^{n}) (D_{v} f (a) = D f (a) \cdot \vec{v})

Věta.

\partial_{j} f (\vec{a}) = g^{'} (a_{j}), kde g (x) ≔ f (a_{1}, \dots, a_{j - 1}, x, a_{j + 1}, \dots, a_{n})

Cvičení (7.1).

(\frac{\partial f}{\partial x} (x + (y - 1) \arcsin \sqrt{\frac{x}{y}})) (a, 1)

Nápověda

Z definice je to jednodušší.

Řešení

1

Cvičení (7.2). Nechť

f (x, y) ≔ \frac{x}{y^{2}}

. Najděte

\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}, \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}

Cvičení (7.3).

\frac{\partial^{2}}{\partial x \partial y} x^{y}

Řešení

x^{y - 1} (1 + y \ln (x))

Cvičení (7.5). Nechť

f (x, y) ≔ x^{2} - y^{2}

. Najděte derivaci

f

v bodě

(1,1)

ve směru

60 °

Řešení

1 - \sqrt{3}

Cvičení (7.6). Nechť

f (x, y) ≔ \frac{x y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}

. Spojitě dodefinujte funkci v bodě

(0,0)

a určete, zda v něm má derivaci.

Řešení

Můžeme spojitě dodefinovat

f (0,0) ≔ 0

. Derivace neexistuje.

Cvičení (7.7).

f (x, y) ≔ {\begin{matrix} 0 & x = y = 0 \\ (x^{2} + y^{2}) \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) & jinak \end{matrix}

Zjistěte, zda je funkce spojitá v bodě

(0,0)

a jestli v něm má derivaci.

Cvičení (7.8).

f (x, y, z) ≔ \arctan (\frac{x + y + z - x y z}{1 - x y - x z - y z})

Dokažte, že

\frac{\partial^{3} f}{\partial x \partial y \partial z} = 0

Nápověda

Dá se dokázat, že

f (x, y, z) = \arctan (x) + \arctan (y) + \arctan (z)

Cvičení (7.9). Nalezněte všechny parciální derivace všech řádů funkce

f (x, y, z) ≔ x y z \exp (x + y + z)

, to jest

\frac{\partial^{k + l + m} f}{\partial x^{k} \partial y^{l} \partial z^{m}}

Cvičení (7.10).

f (x, y) ≔ {\begin{matrix} 0 & x = y = 0 \\ x y \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}} & jinak \end{matrix}

Určete, zda je funkce spojitá v

(0,0)

a jestli tam má derivaci a druhou derivaci.

Řešení

| x y \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}} | \leq | x y | \leq x^{2} + y^{2} = {‖ (x, y) ‖}_{2}^{2}

Tedy funkce je spojitá. Spočtením parciálních derivací dostaneme kandidáta na derivaci

(0,0)

. Pojďme ověřit, zda je to skutečně derivace:

\lim_{\vec{h} \to \vec{0}} \frac{| f ((0,0) + \vec{h}) - f (0,0) - (0,0) \cdot \vec{h} |}{‖ \vec{h} ‖} = \lim_{(x, y) \to \vec{0}} \frac{| x y \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}} |}{‖ (x, y) ‖} \leq \lim_{\vec{h} \to \vec{0}} \frac{{‖ \vec{h} ‖}_{2}^{2}}{{‖ \vec{h} ‖}_{2}} = 0

Tedy

(0,0)

je skutečně derivace v bodě

(0,0)

. Pokud spočteme smíšené druhé parciální derivace (třeba z definice nebo podle Darbouxovy věty), zjistíme, že vyjdou v různém pořadí různě, takže úplná druhá derivace nemůže existovat.

Věta (o derivaci složené funkce). Mějme diferencovatelné funkce

g : ℝ^{n} \to ℝ^{m}, f : ℝ^{m} \to ℝ^{s}

a jejich Jacobiho matice

𝐉_{g} (\vec{x}) \in ℝ^{m \times n}, 𝐉_{f} (\vec{y}) \in ℝ^{s \times m}

. Potom

f \circ g

je diferencovatelná a její Jacobiho matice je

𝐉_{f \circ g} (\vec{x}) = 𝐉_{f} (g (\vec{x})) 𝐉_{g} (\vec{x})

Cvičení (7.13). Mějme nějaké diferencovatelné funkce

f, g : ℝ^{2} \to ℝ

a čísla

a, b \in ℝ

. Definujme funkci

w (x, y) ≔ (\begin{array}{c} f (a x, b y) \\ g (a x, b y) \end{array})

Určete derivaci

w

Řešení

Máme

w = F \circ G

, kde

F (x, y) ≔ (\begin{array}{c} f (x, y) \\ g (x, y) \end{array})

G (x, y) ≔ (a x, b y)

Jejich Jacobiho matice jsou

𝐉_{G} (x, y) = (\begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & b \end{array})

𝐉_{F} (x, y) = (\begin{array}{cc} \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \\ \frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y} \end{array}) (x, y)

Podle věty o derivaci složené funkce

𝐉_{F \circ G} = (\begin{array}{cc} a \frac{\partial f}{\partial x} & b \frac{\partial f}{\partial y} \\ a \frac{\partial g}{\partial x} & b \frac{\partial g}{\partial y} \end{array}) (a x, b y)

Cvičení (7.14). Mějme funkce

f : ℝ^{2} \to ℝ, ξ (x, y, z) ≔ x + y + z, η (x, y, z) ≔ x^{2} + y^{2} + z^{2}

. Najděte derivaci funkce

w (x, y, z) ≔ f (ξ (x, y, z), η (x, y, z))

Vyšetřování lokálních extrémů

Definice. Nechť

f : ℝ^{n} \to ℝ, \vec{a} \in ℝ^{n}

f

má v bodě

\vec{a}

ostré lokální maximum, pokud

(\exists H_{\vec{a}}) (\forall \vec{x} \in H_{\vec{a}} ∖ {\vec{a}}) (f (\vec{a}) > f (\vec{x}))

Analogicky lokální minimum.

Věta. Pokud má funkce

f

v bodě

a

lokální extrém a má v něm parciální derivace, potom

\vec{\nabla} f (\vec{a}) = \vec{0}

Věta. Nechť

f

je dvakrát spojitě diferencovatelná a

\vec{\nabla} f = \vec{0}

Je-li $\nabla^{2} f$ pozitivně definitní, $f$ má v bodě $a$ lokální minimum.
Je-li $\nabla^{2} f$ negativně definitní, $f$ má v bodě $a$ lokální maximum.
Je-li $\nabla^{2} f$ indefinitní, $f$ má v bodě $a$ sedlovy bod.

Cvičení (8.1). Nechť

u (x, y) ≔ x^{3} + y^{3} - 3 x y

. Vysetřete lokální extrémy.

Řešení

Máme

\vec{\nabla} u (x, y) = (3 x^{2} - 3 y, 3 y^{2} - 3 x)

. Řešíme tedy soustavu rovnic

(3 x^{2} - 3 y, 3 y^{2} - 3 x) = \vec{0}

. Z toho dostaneme dva body podezřelé z extremismu:

{\vec{a}}_{1} = (0,0), {\vec{a}}_{2} = (1,1)

. Nyní spočteme

\nabla^{2} u (x, y) = (\begin{array}{cc} 6 x & - 3 \\ - 3 & 6 y \end{array})

Pro

{\vec{a}}_{1}

máme matici

(\begin{array}{cc} 0 & - 3 \\ - 3 & 0 \end{array})

, takže

{\vec{h}}^{*} \nabla^{2} u (a_{1}) \vec{h} = - 6 h_{1} h_{2}

. Tento výraz můžeme pro různé volby

h

učinit kladný i záporný, takže matice je indefinitní a jde o sedlový bod. Pro

{\vec{a}}_{2}

máme matici

(\begin{array}{cc} 6 & - 3 \\ - 3 & 6 \end{array})

; podle Sylvesterova kritéria je matice pozitivně definitní a jde o lokální minimum.

Cvičení (8.3). Nechť

u (x, y) ≔ (x^{2} + y^{2}) \exp (- x^{2} - y^{2})

. Vysetřete lokální extrémy.

Řešení.

(0,0)

je lokální minumim, body na jednotkové kružnici jsou lokální maxima

Cvičení (8.5). Nechť

u (x, y) ≔ x^{4} + y^{4} - x^{2} - 2 x y - y^{2}

. Vysetřete lokální extrémy.

Řešení.

(0,0)

je sedlový bod,

(1,1), (- 1, - 1)

jsou lokální minima

Cvičení (8.6). Nechť

u (x, y, z) ≔ \sin (x) + \sin (y) + \sin (z) - \sin (x y z)

. Vysetřete lokální extrémy na

{(0, π)}^{3}

Cvičení (8.7). Vyšetřete lokální extrémy funkce

u (x, y) ≔ (1 + \exp (y)) \cos (x) - y \exp (y)

Cvičení (8.8). Vyšetřete lokální extrémy funkce

u (\vec{x}) ≔ (\prod_{k = 1}^{n} x_{k}^{k}) (1 - \sum_{k = 1}^{n} k x_{k})

Cvičení (8.9). Vyšetřete lokální extrémy funkce

u (\vec{x}) ≔ x_{1} + \frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{3}}{x_{2}} + \dots + \frac{x_{n}}{x_{n - 1}} + \frac{2}{x_{n}}

Zápisky z cvičení z Matematické analýzy A 3

Zkouška

Konvergence integrálu

Froullaniho integrály

Stejnoměrná konvergence

Věty o záměně

Stejnoměrná konvergence řad

Sčítání řad

Fourierovy řady

Topologie

Axiomy oddělitelnosti

Metrická topologie

Funkce více proměnných

Vyšetřování lokálních extrémů