Poznámky z Matematické analýzy A 4

σ-algebry

Definice. Nechť

X

je neprázdná množina. Neprázdný systém

𝒜 \subseteq 2^{X}

se nazývá algebra na

X

, pokud je uzavřená na doplňku a konečném sjednocení, tedy splňuje podmínky:

(\forall E \in 𝒜) (E^{∁} ≔ X ∖ E \in 𝒜)

(\forall E_{1}, \dots, E_{n} \in 𝒜) (⋃_{i = 1}^{n} E_{i} = 𝒜)

Je-li uzavřená také na spočetném sjednocení, jde o σ-algebru:

(\forall E_{1}, E_{2}, \dots \in 𝒜) (⋃_{i = 1}^{\infty} E_{i} = 𝒜)

Triviální pozorování

Věta. Algebra je uzavřená na konečném průniku:

(\forall E_{1}, \dots, E_{n} \in 𝒜) (⋂_{i = 1}^{n} E_{i} = 𝒜)

Věta. σ-algebra je uzavřená na spočetném průniku:

(\forall E_{1}, E_{2}, \dots \in 𝒜) (⋂_{i = 1}^{\infty} E_{i} = 𝒜)

Věta. Je-li

𝒜

algebra na

X

, potom

⌀, X \in 𝒜

Věta. Každá σ-algebra je algebra.

Věta. Algebra je uzavřená na rozdílu množin:

(\forall E, F \in 𝒜) (E ∖ F \in 𝒜)

Věta. Je-li algebra uzavřená na spočetném průniku, potom je to σ-algebra.

Věta. Je-li

X

neprázdná množina, potom

𝒜 ≔ {⌀, X}

je algebra na

X

Věta. Je-li

X

neprázdná množina, potom

𝒜 ≔ 2^{X}

je algebra na

X

Věta. Je-li

X

neprázdná množina, potom

𝒜 ≔ {E \subseteq X | E n e j v \overset{ˊ}{y} \overset{ˇ}{s} e s p o \overset{ˇ}{c} e t n \overset{ˊ}{a} \lor E^{∁} n e j v \overset{ˊ}{y} \overset{ˇ}{s} e s p o \overset{ˇ}{c} e t n \overset{ˊ}{a}}

je algebra na

X

Generované σ-algebry

Definice. Nechť

X

je neprázdná množina a

ℰ \subseteq 2^{X}

je neprázdný systém. Potom systém

ℳ (ℰ) ≔ ⋂ {𝒜 \subseteq 2^{X} | 𝒜 j e σ - a l g e b r a \land ℰ \subseteq 𝒜}

se nazývá σ-algebra generovaná systémem

ℰ

Poznámka. Pro korektnost musíme dokázat, že průnik σ-algeber je σ-algebra.

Lemma. Nechť

X

je neprázdná množina a

ℰ, ℱ \subseteq 2^{X}

jsou neprázdné systémy. Je-li

ℰ \subseteq ℳ (ℱ)

, potom

ℳ (ℰ) \subseteq ℳ (ℱ)

Borelovské σ-algebry

Definice. Nechť

(X, τ)

je topologický prostor. Systém

ℬ_{X} ≔ ℳ (τ)

se nazývá borelovská σ-algebra. Množina patřící do

ℬ_{X}

se nazývá borelovská.

Poznámka. Borelovské množiny jsou velmi bohatý systém. Máme

ℬ_{X} \supseteq τ, c τ, G_{δ}, F_{σ}, \dots

Věta. Označme:

$ℰ_{1} ≔ {(a, b) | a, b \in ℝ, a < b}$
$ℰ_{2} ≔ {[a, b] | a, b \in ℝ, a < b}$
$ℰ_{3} ≔ {(a, b] | a, b \in ℝ, a < b}$
$ℰ_{4} ≔ {[a, b) | a, b \in ℝ, a < b}$
$ℰ_{5} ≔ {(a, \infty) | a \in ℝ}$
$ℰ_{6} ≔ {(- \infty, a) | a \in ℝ}$
$ℰ_{7} ≔ {[a, \infty) | a \in ℝ}$
$ℰ_{8} ≔ {(- \infty, a] | a \in ℝ}$

Potom

(\forall i \in \hat{8}) (ℳ (ℰ_{i}) = ℬ_{ℝ})

Důkaz (základní myšlenka).

(\subseteq)

: Pro

i \neq 3,4

máme

ℰ_{i} \subseteq τ \cup c τ

. Polouzavřené intervaly dokážeme spočetně napronikat z otevřených.

(\supseteq)

: Z topologie nějak víme, že každá otevřená podmnožina

ℝ

je spočetným sjednocením otevřených intervalů, tedy

τ \subseteq ℳ (ℰ_{1})

. Z lemmatu poté plyne

ℬ_{ℝ} \subseteq ℳ (ℰ_{1})

. Z toho půjdou pomocí množinových operací vymlátit inkluze i pro ostatní

ℰ_{i}

Definice. Nechť

𝒜_{1}, \dots, 𝒜_{n}

jsou σ-algebry na množinách

X_{1}, \dots, X_{n}

. Potom systém

⨂_{i = 1}^{n} 𝒜_{i} ≔ ℳ ({\prod_{i = 1}^{n} E_{i} | E_{i} \in A_{i}})

se nazývá produktová σ-algebra na

X ≔ \prod_{i = 1}^{n} X_{i}

Lemma. Nechť

𝒜_{1}, \dots, 𝒜_{n}

jsou σ-algebry na množinách

X_{1}, \dots, X_{n}

. Potom

⨂_{i = 1}^{n} 𝒜_{i} = ℳ ({X_{1} \times \dots \times X_{i - 1} \times E_{i} \times X_{i + 1} \times \dots \times X_{n} | E_{i} \in A_{i}, i \in \hat{n}})

Lemma. Nechť pro množiny

X_{1}, \dots, X_{n}

máme

(\forall i \in \hat{n}) (X_{i} \in ℰ_{i} \subseteq 2^{X_{i}})

. Potom

⨂_{i = 1}^{n} (𝒜_{i} ≔ ℳ (ℰ_{i})) = ℳ ({\prod_{i = 1}^{n} E_{i} | E_{i} \in ℰ_{i}})

Věta. Nechť

(X_{1}, τ_{1}), \dots, (X_{n}, τ_{n})

jsou topologické prostory a

X ≔ \prod_{i = 1}^{n} X_{i}

. Potom

⨂_{i = 1}^{n} ℬ_{X_{i}} \subseteq ℬ_{X}

, kde na

X

je produktová topologie. Navíc jsou-li

(X_{1}, τ_{1}), \dots, (X_{n}, τ_{n})

separabilní metrické prostory, potom nastává rovnost.

Důsledek.

ℬ_{ℝ^{n}} = ℬ_{ℝ}^{n}

Borelovské míry na $ℝ$

Definice. Mějme topologický prostor

(X, τ)

. Jakákoli míra definovaná na

ℬ_{X}

se nazývá borelovská.

Motivace: Nechť $μ$ je borelovská míra na $ℝ$ taková, že $(\forall x \in ℝ) (μ ((- \infty, x]) < \infty)$ . Potom můžeme zavést funkci $F : ℝ \to ℝ, F (x) ≔ μ ((- \infty, x])$ . Z monotonie míry plyne, že $F$ je neklesající. Z horní spojitosti míry plyne, že $F$ je spojitá zprava. Z aditivity míry plyne, že $μ ((a, b]) = F (b) - F (a)$ . Z dolní spojitosti míry také odvodíme, že $μ ((a, b)) = F (b^{-}) - F (a)$ . A tak podobně. Vlastně je to něco jako základní věta integrálního počtu. Šlo by to i obráceně, že bychom z funkce $F$ zprava spojité a neklesající odvodili míru splňující $μ ([a, b)) = F (b) - F (a)$ ?

Definice. Systém

ℰ ≔ {\emptyset} \cup {(a, b] | - \infty \leq a < b < \infty} \cup {(a, \infty) | - \infty \leq a}

se nazývá p-intervaly.

Věta. Systém p-intervalů je elementární systém, tedy

𝒜 ≔ k o n e \overset{ˇ}{c} n \overset{ˊ}{a} s j e d n o c e n \overset{ˊ}{ı} d i s j u n k t n \overset{ˊ}{ı} c h p - i n t e r v a l \overset{˚}{u}

je algebra.

Lemma. Nechť

F : ℝ \to ℝ

je zprava spojitá a neklesající. Nechť

F (\pm \infty) ≔ \lim_{\pm \infty} F

. Definujme funkci

μ_{0} : 𝒜 \to [0, \infty]

takto:

$μ_{0} (\emptyset) ≔ 0$
$μ_{0} ((a, b]) ≔ F (b) - F (a)$
$μ_{0} ((a, \infty)) ≔ F (\infty) - F (a)$
pro všechny ostatní prvky $𝒜$ funkci $μ_{0}$ rozšíříme aditivně

Potom

μ_{0}

je dobře definovaná pramíra.

Důkaz. Štampachovi se do toho nechtělo, protože je to příliš otravný a rozvětvený důkaz. Na zkoušce ho chtít nebude.

Věta. Nechť

F : ℝ \to ℝ

je zprava spojitá a neklesající. Potom existuje právě jedna borelovská míra

μ_{F}

ℝ

taková, že

μ_{F} ↾ 𝒜 = μ_{0}

. Speciálně

μ_{F} ((a, b]) = F (b) - F (a)

Důkaz (základní myšlenka). Z lemmatu a vykřičníkové věty plyne, že nějaká míra

μ

existuje. Musíme ukázat, že má správný definiční obor, tedy

ℳ (𝒜) = ℬ_{ℝ}

. To není těžké. Jednoznačnost také vyplyne z vykřičníkové věty s tím, že budeme uvažovat intervaly tvaru

(n, n + 1], n \in ℤ

Věta. Nechť

F, G : ℝ \to ℝ

jsou zprava spojité a neklesající. Potom

μ_{F} = μ_{G}

právě tehdy, pokud

F - G

je konstantní funkce.

Důkaz.

(\Leftarrow)

Zřejmě obě funkce určují tutéž pramíru, tedy i míru.

(\Rightarrow)

Pro každá

a, b \in ℝ, a < b

μ_{F} ((a, b]) = μ_{G} ((a, b])

, tedy

F (b) - F (a) = G (b) - G (a)

. Z toho už to zřejmě plyne.

Věta (téměř-charakterizace borelovských měr na $ℝ$ ). Nechť

μ

je borelovská míra na

ℝ

taková, že míra každé omezené borelovské množiny je konečná. Potom funkce definovaná jako

F (x) ≔ {\begin{matrix} - μ ((x, 0]), & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ μ ((0, x]), & x > 0 \end{matrix}

ℝ \to ℝ

, neklesající, zprava spojitá a platí

μ_{F} = μ

Důkaz (základní myšlenka). Reálnost funkce plyne z toho, že intervaly v definici jsou omezené. Monotonie funkce plyne z monotonie míry. Spojitost zprava plyne ze spojitosti míry a Heineovy věty. Pro poslední tvrzení stačí ukázat, že

μ = μ_{F}

𝒜

, a díky aditivitě to vlastně stačí na

ℰ

. Tam už víme přesně, jak je obojí definované, takže to snadno vymlátíme.

Poznámka. Věta určuje téměř jednoznačný vztah mezi množinou neklesajících, zprava spojitých funkcí

ℝ \to ℝ

a množinou borelovských měr na

ℝ

, které omezené množiny měří konečně.

Lebesgueovy-Stieltjesovy míry

Definice. Nechť

F : ℝ \to ℝ

je neklesající a zprava spojitá. Potom zúplnění

μ ≔ μ_{F}

se nazývá Lebesgueova-Stieltjesova míra na

ℝ

asociovaná s

F

. a odpovídající zúplněnou σ-algebru značíme

ℳ_{μ} ≔ ℬ_{ℝ}

. Je-li konkrétně

F = id

, potom se míra nazývá Lebesgueova míra na

ℝ

a σ-algebra se nazývá σ-algebra Lebesgueovsky měřitelných množin.

Poznámka. Nechť

μ

je Lebesgue-Stieltjesova míra na

ℝ

. Potom

(\forall E \in ℳ_{μ}) (μ (E) = \inf {\sum_{n = 1}^{\infty} μ (A_{n}) | {A_{n}}_{n = 1}^{\infty} \in 𝒜, ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n} \supseteq E})

Lemma. Nechť

μ

je Lebesgueova-Stieltjesova míra na

ℝ

. Potom

$(\forall E \in ℳ_{μ}) (μ (E) = \inf {\sum_{n = 1}^{\infty} μ ((a_{n}, b_{n}]) | ⋃_{n = 1}^{\infty} (a_{n}, b_{n}] \supseteq E})$
$(\forall E \in ℳ_{μ}) (μ (E) = \inf {\sum_{n = 1}^{\infty} μ ((a_{n}, b_{n})) | ⋃_{n = 1}^{\infty} (a_{n}, b_{n}) \supseteq E})$

Důkaz (základní myšlenka). Definujeme

ℰ ≔ {\emptyset} \cup \underset{ℰ_{1}}{\underset{⏟}{{(a, b] | - \infty < a < b < \infty}}} \cup \underset{ℰ_{2}}{\underset{⏟}{{(a, \infty) | a < \infty}}} \cup \underset{ℰ_{3}}{\underset{⏟}{{(- \infty, b] | - \infty < b}}}

μ_{ℰ} (E) ≔ \inf {\sum_{n = 1}^{\infty} μ (I_{n}) | {I_{n}}_{n = 1}^{\infty} \in ℰ, ⋃_{n = 1}^{\infty} I_{n} \supseteq E}

μ_{ℰ_{i}} (E) ≔ \inf {\sum_{n = 1}^{\infty} μ (I_{n}) | {I_{n}}_{n = 1}^{\infty} \in ℰ_{i}, ⋃_{n = 1}^{\infty} I_{n} \supseteq E}

Následně s tím budeme dělat psí kusy.

Věta. Nechť

μ

je Lebesgue-Stieltjesova míra na

ℝ

. Potom platí vnější regularita:

(\forall E \in ℳ_{μ}) (μ (E) = \inf {μ (U) | E \subseteq U \in τ})

Důkaz (základní myšlenka).

U

je otevřená, tedy borelovská. Tudíž zřejmě

μ (E) \leq μ (U)

. Mějme

ε \in ℝ^{+}

, potom podle druhého tvrzení předchozího lemmatu nějak najdeme otevřenou nadmnožinu

E

, jejíž míra je menší než

μ (E) + ε

Věta. Nechť

μ

je Lebesgue-Stieltjesova míra na

ℝ

. Potom platí vnitřní regularita:

(\forall E \in ℳ_{μ}) (μ (E) = \sup {μ (K) | E \supseteq K k o m p a k t n \overset{ˊ}{ı}})

Důkaz (základní myšlenka). Zřejmě

μ (K) \leq μ (E)

. Rozlišíme případy:

Je-li $E$ omezené a uzavřené, potom je kompaktní, tedy tvrzení zřejmě platí.
Je-li $E$ omezené a neuzavřené, zvolíme $ε \in ℝ^{+}$ a nějak použijeme první tvrzení lemmatu k nalezení otevřené množiny $U \supseteq E ∖ E$ takové, že $μ (E ∖ E) \geq μ (U) - E$ . Zvolíme $K ≔ E ∖ U$ . Pomocí množinových operací odvodíme, že $K$ je to, co chceme.
Je-li $E$ neomezená, nakrájíme ji na množiny $E_{n} ≔ E \cap (n, n + 1]$ . Ty jsou omezené, takže na ně můžeme aplikovat to, co jsme již dokázali, a tím pro každou najít vhodnou $K_{n}$ , což nám sjednocením dá vhodné $K$ .

Důsledek. Lebesgueova-Stieltjesova míra je regulární.

Věta. Nechť

μ

je Lebesgue-Stieltjesova míra na

ℝ

E \subseteq ℝ

. Potom následující tvrzení jsou ekvivalentní:

$E \in ℳ_{μ}$
$(\exists H \in F_{σ}) (\exists N \subseteq ℝ, μ (N) = 0) (E = H \cup N)$
$(\exists V \in G_{δ}) (\exists N \subseteq ℝ, μ (N) = 0) (E = V ∖ N)$

Důkaz (základní myšlenka).

Zřejmě druhé a třetí tvrzení implikuje první, protože sjednocení nebo rozdíl dvou měřitelných množin jsou měřitelné.
Dokažme, že první tvrzení implikuje druhé. Je-li $μ (E) < \infty$ , potom z regularity víme, že $μ (E) = \sup {μ (K) | E \supseteq K k o m p a k t n \overset{ˊ}{ı}}$ . Tedy pro každé $n$ dokážeme najít kompaktní množinu $K_{n}$ , která bude mít míru větší než $μ (E) - \frac{1}{n}$ . Nechť $H$ je sjednocení všech těchto množin, potom zjevně $H \in F_{σ}$ a zlimitěním snadno ukážame, že $μ (H) = μ (E)$ . Poté stačí vzít $N ≔ E ∖ H$ . A co když $μ (E) = \infty$ ? Opět si $E$ rozkrájíme podle celých čísel, čímž dostaneme množiny omezené, tedy s konečnou mírou. Na ně aplikujeme to, co jsme zjistili, všechno nasjednotíme a máme vyhráno.
Pro důkaz, že první bod implikuje třetí, stačí zdoplňkovat již dokázané tvrzení, že první bod implikuje druhý.

Definice. Symetrický rozdíl množin:

A △ B ≔ (A \cup B) ∖ (A \cap B) = (A ∖ B) \cup (B ∖ A)

Věta. Nechť

μ

je Lebesgue-Stieltjesova míra na

ℝ

E

je množina konečné míry. Potom

(\forall ε \in ℝ^{+}) (\exists A = k o n e \overset{ˇ}{c} n \overset{ˊ}{e} s j e d n o c e n \overset{ˊ}{ı} o t e v \overset{ˇ}{r} e n \overset{ˊ}{y} c h i n t e r v a l \overset{˚}{u}) (μ (A △ E) < ε)

Důkaz (základní myšlenka). Z regularity najdeme otevřenou nadmnožinu

U

a kompaktní podmnožinu

K

takové, že

μ (U ∖ E), μ (E ∖ K) < \frac{ε}{2}

. Jelikož

U

je otevřená, můžeme ji napsat jako sjednocení otevřených intervalů. Tyto intervaly jsou pokrytí

K

, takže mezi nimi najdeme konečné podpokrytí. Nechť

A

je sjednocení vybraných intervalů. Potom

μ (A △ E) = μ (A ∖ E) + μ (E ∖ A) \leq μ (U ∖ E) + μ (E ∖ K) = ε

Poznámka. Připomeňme si, že míra intervalu v Lebesgue-Stieltjesově míře se určuje podle rozdílu hodnot

F

v krajních bodech, kde se občas musí použít limity. Ovšem je-li

F

spojitá, potom se tyto limity rovnají funkčním hodnotám, tedy všechny intervaly se stejnými krajními body mají stejnou míru. Z toho také plyne, že míra jednoprvkové množiny je nulová, a tím pádem i míra jakékoli spočetné množiny.

Věta (inveriance na translaci a škálování). Nechť

s, r \in ℝ, E \in ℒ

, kde

ℒ

je systém množin měřitelných Lebesgueovou mírou. Potom

E + s, r E \in ℒ

m (E + s) = m (E), m (r E) = | r | m (E)

, kde speciálné bereme

0 \cdot \infty ≔ 0

Důkaz (základní myšlenka). Pro

r = 0

zřejmé. Ukážeme, že systém borelovských množin je uzavřený na translaci a škálování. K tomu využijeme toho, že je na nich uzavřený systém otevřených intervalů, a tuto skutečnost nasigmaalgebříme. Následně definujeme funkce

m_{s}, m^{r} : ℬ (ℝ) \to [0, \infty], m_{s} (E) ≔ m (E + s), m^{r} (E) ≔ m (r E)

. Snadno dokážeme, že jsou to míry. Zřejmě pro intervaly je

m_{s} = m

m^{r} = | r | m

, podle nějaké věty to rozšíříme na celé

ℬ_{ℝ}

. Teď když máme nějakou obecnou množinu

E \in ℒ

, tak si ji podle věty rozložíme na

A \cup F

, kde

A

je borelovská a

F

nulově měrová.

F

bude podmnožina nějaké borelovské množiny nulové míry, takže i v posunuté míře bude nulovitě měřená. Z toho už to všechno nějak vypadne.

Věta. Lebesgueova míra je až na násobení konstantou jediná Lebesgueova-Stieltjesova míra invariantní vůči translaci.

Důkaz. Ne.

Věta. Existuje lebesgueovsky neměřitelná množina.

Důkaz. Plyne ze „špatné zprávy“ na začátku.

Poznámka. Mějme funkci

F ≔ χ_{ℝ_{0}^{+}} ≔ x \mapsto [x \geq 0]

. Potom

δ_{0} ≔ μ_{F}

je Diracova δ-míra, která umí měřit všechny množiny.

Příklad (Cantorovo diskontinuum). Mějme množinu

C ≔ [0,1] ∖ ⋃_{n = 1}^{\infty} ⋃_{k = 1}^{3^{n - 1}} (\frac{3 k - 2}{3}, \frac{3 k - 1}{3})

Zřejmě jde o borelovskou množinu, neboť je vyjádřena spočetným množstvím množinových operací na intervalech. Její Lebesgueovu míru můžeme tedy spočítat jednoduše tak, že od jedničky odečteme celkovou míru „vykousnutých“ intervalů, akorát si musíme dávat pozor, abychom některé intervaly nezapočítali dvakrát.

m (C) = 1 - \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2^{k - 1}}{3} = 0

Podívejme se na zápisy čísel z

[0,1]

v trojkové soustavě, přičemž u čísel s nejednoznačným zápisem budeme brát ten s dvojkami. Snadno ukážeme, že všechna čísla, jejichž rozvoj sestává pouze z nul a dvojek, patří do Cantorovy množiny. Můžeme tedy definovat zobrazení

f : C \to [0,1]

, které v trojkovém zápisu čísla nahradí dvojky jedničkami a interpretuje ho jako binární zápis. Snadno ověříme, že tato funkce je surjektivní. Z toho plyne, že Cantorova množina má kerdinalitu kontinua. Našli jsme tedy nespočetnou množinu s nulovou Lebesgueovou mírou. Tato množina má i zajímavé topologické vlastnosti:

Je kompaktní (vytvořili jsme ji odebíráním otevřených množin z kompaktní množiny).
Je řídká.
Je totálně nesouvislá.
Je perfektní (každý bod je hromadný).

Pokud dodefinujeme

f

na celé

[0,1]

tak, že ve zbylých bodech položíme konstantní hodnotu, dostaneme Cantorovu funkci alias ďáblovy schody. Tato funkce má zajímavé vlastnosti:

Je surjektivní: $f ([0,1]) = [0,1]$
Je neklesající: $x \leq y ⟹ f (x) \leq f (y)$
Je spojitá. (Důkaz: Jelikož je monotónní, v každém bodě má limitu z obou stran, a jelikož obrazem je interval, nemůže mít skok.)
Na $[0,1] ∖ C$ , tedy skoro všude, je diferencovatelná s nulovou derivací.

Malá exkurze do kardinality

Definice. Mějme dvě množiny

A, B

Pokud existuje bijekce $A \to B$ , potom mají stejnou kardinalitu, psáno $card A = card B$ .
Pokud existuje injekce $A \to B$ , potom $A$ má nižší nebo stejnou kardinalitu, psáno $card A \leq card B$ .
Pokud $card A \leq card B \land card A \neq card B$ , potom $A$ má nižší kardinalitu, psáno $card A < card B$ .

Definice. Definujeme kardinální čísla reprezentující kardinality:

$card {x_{1}, \dots, x_{n}} = n$
$card ℕ ≕ ℵ_{0}$
$card ℝ ≕ 𝔠$

Věta.

(\forall A, B) (card A \leq card B \lor card A \geq card B)

Poznámka. K důkazu je potřeba axiom výběru.

Věta.

card A \leq card B \land card A \geq card B ⟹ card A = card B

Věta (Cantor).

card A < card 2^{A}

Důkaz. Existence injektivní funkce je zřejmá (každému prvku přiřadíme jednoprvkovou množinu). Nechť pro spor existuje bijekce

f : A \to 2^{A}

. Definujme

B ≔ {x \in A | x \notin f (x)}

. Nechť

x ≔ f^{- 1} (B)

. Z definice

B

platí

x \in B ⟺ x \notin B

, což je spor.

Věta.

card ℬ (ℝ) = 𝔠

Důkaz. Řekl to Štampach.

Věta.

card ℒ = 2^{𝔠}

Důkaz. Jelikož

m (C) = 0

, všechny podmnožiny Cantorovy množiny jsou měřitelné. Protože také

card C = 𝔠

, že počet měřitelných množin je alespoň

2^{𝔠}

. Jelikož to je množina reálných množin, máme i horní odhad.

Poznámky z Matematické analýzy A 4 – teorie míry

Obsah

Špatná zpráva

σ-algebry

Triviální pozorování

Generované σ-algebry

Borelovské σ-algebry

Elementární systémy

Základní vlastnosti míry

Borelovské míry na $ℝ$

Lebesgueovy-Stieltjesovy míry

Malá exkurze do kardinality

Poznámky z Matematické analýzy A 4 – teorie míry

Obsah

Špatná zpráva

σ-algebry

Triviální pozorování

Generované σ-algebry

Borelovské σ-algebry

Elementární systémy

Základní vlastnosti míry

Borelovské míry na ℝ

Lebesgueovy-Stieltjesovy míry

Malá exkurze do kardinality

Borelovské míry na $ℝ$