Poznámky z Matematické analýzy A 4

Měřitelné funkce

Definice. Nechť

(X, ℳ), (Y, 𝒩)

jsou měřitelné prostory. Zobrazení

f : X \to Y

se nazývá

(ℳ, 𝒩)

-měřitelné, pokud

(\forall E \in 𝒩) (f^{- 1} (E) \in ℳ)

Lemma. Nechť

(X, ℳ), (Y, 𝒩)

jsou měřitelné prostory a elementární systém

ℰ \subset 2^{Y}

je generátor

𝒩

(tedy

ℳ (ℰ) = 𝒩

). Potom zobrazení

f : X \to Y

(ℳ, 𝒩)

-měřitelné právě tehdy, pokud

(\forall E \in ℰ) (f^{- 1} (ℰ) \in M)

Důkaz (základní myšlenka).

(\Rightarrow)

Triviální.

(\Leftarrow)

Snadno si rozmyslíme, že

{E \in Y | f^{- 1} (E) \in ℳ}

je σ-algebra.

Důsledek. Nechť

(X, τ_{X}), (Y, τ_{Y})

jsou topologické prostory a

f : X \to Y

je spojité zobrazení. Potom

f

(ℬ_{X}, ℬ_{Y})

-měřitelná.

Definice. Nechť

(X, ℳ)

je měřitelný prostor. Funkce

f : X \to ℝ

se nazývá

ℳ

-měřitelná, pokud je

(ℳ, ℬ_{ℝ})

-měřitelná.

Definice. Funkce

f : ℝ \to ℝ nebo ℝ \to ℂ

se nazývá borelovsky měřitelná, pokud je

(B_{ℝ}, B_{ℝ resp. ℂ})

-měřitelná.

Definice. Funkce

f : ℝ \to ℝ nebo ℝ \to ℂ

se nazývá lebesgueovsky měřitelná, pokud je

(ℒ, B_{ℝ resp. ℂ})

-měřitelná.

Poznámka. Obvyklou topologii na

ℂ

zavádíme stejně jako na

ℝ^{2}

, tedy pomocí metriky

ρ (x, y) ≔ | x - y |

Věta. Nechť

(X, ℳ), (Y, 𝒩), (Z, 𝒪)

jsou měřitelné prostory,

f : X \to Y

(ℳ, 𝒩)

-měřitelné a

g : X \to Y

(𝒩, 𝒪)

-měřitelné. Potom

g \circ f

(ℳ, 𝒪)

-měřitelné.

Poznámka. Pokud

f, g : ℝ \to ℝ

jsou lobesgueovsky měřitelné, neznamená to, že

g \circ f

je lebesgueovsky měřitelné, protože mluvíme o jiných σ-algebrách!

Věta. Nechť

(X, ℳ)

je měřitelný prostor a

f : X \to ℝ

. Potom následující tvrzení jsou ekvivalentní:

$f$ je $ℳ$ -měřitelná
$(\forall a \in ℝ) (f^{- 1} ((a, \infty)) \in ℳ)$
$(\forall a \in ℝ) (f^{- 1} ((- \infty, a)) \in ℳ)$
$(\forall a \in ℝ) (f^{- 1} ([a, \infty)) \in ℳ)$
$(\forall a \in ℝ) (f^{- 1} ((- \infty, a]) \in ℳ)$

Důkaz. Plyne z lemmatu a z toho, že každý druh intervalů generuje borelovskou σ-algebru.

Věta. Nechť

(X, ℳ), (Y_{1}, 𝒩_{1}), \dots, (Y_{n}, 𝒩_{n})

jsou měřitelné prostory,

Y ≔ \prod_{i = 1}^{n} Y_{i}, 𝒩 ≔ ⨁_{i = 1}^{n} 𝒩_{i}, f : X \to Y

. Označme

f (x) ≕ (f_{1} (x), \dots, f_{n} (x))

. Potom

f

(ℳ, 𝒩)

-měřitelná právě tehdy, pokud všechna

f_{i}

jsou

(ℳ, 𝒩_{i})

-měřitelné.

Důkaz.

(\Rightarrow)

Definujme projektory

π_{i} : Y \to Y_{i}, π_{i} (y) ≔ y_{i}

. Zjevně

π_{i}^{- 1} (E_{i}) = Y_{1} \times \dots \times Y_{i - 1} \times E_{i} \times Y_{i + 1} \times \dots \times Y_{n}

. Nechť

E_{i} \in 𝒩_{i}

, potom

f_{i}^{- 1} (E_{i}) = {(π_{i} \circ f)}^{- 1} (E_{i}) = f^{- 1} (π_{i}^{- 1} (E_{i})) = f (n \overset{ˇ}{e} c o \in 𝒩) \in M

(\Leftarrow)

Použijeme větu dokázanou v teorii míry, že

{Y_{1} \times \dots \times E_{i} \times \dots \times Y_{n} | E_{i} \in 𝒩_{i}, i \in \hat{n}}

generuje

𝒩

. Takže stačí ukázat

f^{- 1} (Y_{1} \times \dots \times E_{i} \times \dots \times Y_{n}) = f^{- 1} (π_{i}^{- 1} (E_{i})) = {(π_{i} \circ f)}^{- 1} (E_{i}) = f_{i}^{- 1} (E_{i}) \in ℳ

Důsledek. Nechť

(X, ℳ)

je měřitelný prostor. Potom funkce

f : X \to ℂ

ℳ

ěřitelná právě tehdy, pokud

ℜ \circ f, ℑ \circ f

jsou

ℳ

ěřitelné.

Důkaz (základní myšlenka). Pomocí předchozí věty a poznámky o topologii na

ℂ

. Je nutné využít poznatku, že

ℬ_{ℝ^{2}} = ℬ_{ℝ} \times ℬ_{ℝ}

Věta. Nechť

(X, ℳ)

je měřitelný prostor a

f, g : X \to ℂ nebo ℝ

jsou

ℳ

ěřitelné. Potom jsou

ℳ

ěřitelné i

f + g, f \cdot g, \frac{f}{g}

(poslední jen v případě, kdy je definovaná).

Důkaz. Definujme

F : X \to ℂ^{2}, F (x) ≔ (f (x), g (x))

F

je zřejmě

(ℳ, ℬ_{ℝ})

-měřitelná a funkce

(+)

je spojitá a tedy

(ℬ_{ℂ^{2}}, ℬ_{ℂ})

-měřitelná. Analogicky pro ostatní operace a pro reálná čísla. (Pro dělení z nějakého důvodu ukážeme pro inverzi a potom sčupčíme s násobením.)

Definice. Na rozšířených reálných číslech

ℝ ≔ ℝ \cup {\pm \infty}

definujeme obvyklou topologii a borelovskou σ-algebru

ℬ_{ℝ}

zřejmým způsobem.

Věta.

ℬ_{ℝ} = {A \in ℝ | A \cap ℝ \in ℬ_{ℝ}}

Věta.

ℬ_{ℝ} = ℳ ({(a, \infty] | a \in ℝ}) = ℳ ({[- \infty, a) | a \in ℝ})

Definice.

\pm \infty \mp \infty

je stále nedefinovaný výraz, ale tentokrát definujeme

0 \cdot \pm \infty = \pm \infty \cdot 0 ≔ 0

Věta. Nechť

(X, ℳ)

je měřitelný prostor a

{f_{n}}_{n = 1}^{\infty} : X \to ℝ

jsou

ℳ

ěřitelné funkce. Potom funkce

g_{1} ≔ \sup f_{n}, g_{2} ≔ \inf f_{n}, g_{3} ≔ lim sup f_{n}, g_{4} ≔ lim inf f_{n}

jsou

ℳ

ěřitelné.

Důkaz (základní myšlenka). Pro

g_{1}

stačí ověřit, že

(\forall a \in ℝ) (g_{1}^{- 1} ((a, \infty]) \in ℳ)

. To ověříme tak, že nějak ukážeme

g_{1}^{- 1} ((a, \infty]) = ⋃_{n = 1}^{\infty} f_{i}^{- 1} ((a, \infty])

a následně využijeme σ-albebrovosti. Analogicky

g_{2}

. U

g_{3}

využijeme rovnosti

lim sup = \inf \sup

a pro

g_{4}

analogicky.

Důsledek. Měřitelné funkce jsou uzavřené také na limitě, minimu a maximu, pokud tyto existují.

Definice. Nechť

f : X \to ℝ

. Kladná a záporná část

f

jsou funkce

f^{\pm} (x) ≔ \max (0, \pm f (x))

Poznámka.

f^{+} - f^{-} = f, f^{+} \cdot f^{-} = 0

Poznámka. Nechť

(X, ℳ)

je měřitelný prostor. Je-li

f : X \to M

ℳ

ěřitelná, potom i

f^{\pm}

jsou

ℳ

ěřitelné.

Definice. Funkce

f : X \to ℂ

je jednoduchá, pokud má konečný obor hodnot.

Poznámka. Nechť

f : X \to ℂ

je jednoduchá funkce a

f (X) = {a_{1}, \dots, a_{n}}

. Potom

f = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} χ_{E_{i}}

, kde

E_{i} ≔ f^{- 1} ({a_{i}})

Poznámka. Jednoduché funkce jsou uzavřené na sčítání a násobení.

Poznámka. Nechť

(X, ℳ)

je měřitelný prostor. Jednoduchá funkce

f : X \to ℂ

ℳ

ěřitelná právě tehdy, pokud

(\forall i) (E_{i} \in ℳ)

Věta. Nechť

(X, ℳ)

je měřitelný prostor. Potom

je-li $f : X \to [0, \infty]$ $ℳ$ ěřitelná, potom existuje posloupnost jednoduchých $ℳ$ ěřitelných funkcí ${Φ_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ taková, že $(\forall n \in ℕ) (0 \leq Φ_{n} \leq Φ_{n + 1} \leq f)$ a $Φ_{n} \to f$ .
je-li $f : X \to ℂ$ $ℳ$ ěřitelná, potom existuje posloupnost jednoduchých $ℳ$ ěřitelných funkcí ${Φ_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ taková, že $(\forall n \in ℕ) (0 \leq | Φ_{n} | \leq | Φ_{n + 1} | \leq | f |)$ a $Φ_{n} \to f$ .

Důkaz (základní myšlenka). Nejprve řešme reálný případ. Definujme

Φ_{0} (x) ≔ {\begin{matrix} 0, & f (x) \in [0,1] \\ 1, & f (x) \in (1, \infty] \end{matrix}

Φ_{1} (x) ≔ {\begin{matrix} 0, & f (x) \in [0, \frac{1}{2}] \\ \frac{1}{2}, & f (x) \in (\frac{1}{2}, 1] \\ 1, & f (x) \in (1, \frac{3}{2}] \\ \frac{3}{2}, & f (x) \in (\frac{3}{2}, 2] \\ 2, & f (x) \in (2, \infty] \end{matrix}

Obecně:

Φ_{n} (x) ≔ {\begin{matrix} 0, & f (x) \in [0, 2^{- n}] \\ \frac{k}{2^{n}}, & f (x) \in (\frac{k}{2^{n}}, \frac{k + 1}{2^{n}}], k \in \hat{2^{2 n} - 1} \\ 2^{n}, & f (x) \in (2^{n}, \infty] \end{matrix}

Je jasné, že

Φ_{n}

jsou jednoduché a

ℳ

ěřitelné a splňují nerovnosti v tvrzení věty. Bodová konvergence je taky celkem zjevná. Komplexní funkce vyřešíme tak, že si je rozdělíme na čtyři nezáporné funkce a provedeme u nich to samé:

f = ℜ {(f)}^{+} - ℜ {(f)}^{-} + i ℑ {(f)}^{+} - i ℑ {(f)}^{-}

Poznámka. Nechť

(X, ℳ, μ)

je prostor s mírou. Pokud se dvě funkce rovnají

μ

-skoro všude a jedna z nich je

ℳ

ěřitelná, neplyne z toho, že ta druhá je také

ℳ

ěřitelná. Stejně tak pokud posloupnost

ℳ

ěřitelných funkcí konverguje k nějaké funkci

μ

-skoro všude, tato funkce nemusí být

ℳ

ěřitelná.

Integrace nezáporných funkcí

V této sekci budeme mít všude implicitně $(X, ℳ, μ)$ prostor s mírou.

Definice.

ℒ_{+} ≔ ℒ_{+} (x) ≔ ℒ_{+} (X, ℳ) ≔ ℒ_{+} (X, ℳ, μ) ≔ {f : X \to [0, \infty] | f j e ℳ \overset{ˇ}{e} \overset{ˇ}{r} i t e l n \overset{ˊ}{a}}

Definice. Nechť

Φ \in ℒ_{+}

je jednoduchá se standardní reprezentací

Φ = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} χ_{E_{i}}

. Integrál

Φ

vzhledem k

μ

\int Φ d μ ≔ \sum_{i = 1}^{n} a_{i} μ (E_{i})

Podle potřeby můžeme také značit

\int Φ, \int Φ (x) d μ (x), \int_{X} Φ, \int_{X} Φ (x) d μ (x)

. Je-li

A \in ℳ

, potom integrál

Φ

vzhledem k

μ

přes

A

\int_{A} Φ d μ ≔ \int χ_{A} \cdot Φ d μ

Poznámka. Pokud vezmeme jiný rozklad s disjunktními množinami, integrál se nezmění.

Věta (základní vlastnosti integrálu). Nechť

ϕ, ψ \in ℒ_{+}

jsou jednoduché a

a \in ℝ_{0}^{+}

. Potom

$\int a ϕ = a \int ϕ$
$\int (ϕ + ψ) = \int ϕ + \int ψ$
$ϕ \leq ψ ⟹ \int ϕ \leq \int ψ$
Funkce $μ_{ϕ} : ℳ \to [0, \infty], μ_{ϕ} (E) ≔ \int_{E} ϕ d μ$ je míra.

Důkaz (základní myšlenka). První vlastnost je naprosto zřejmá. Druhá a třetí jsou docela zřejmé. A ta čtvrtá vlastně taky, když si to člověk rozepíše.

Definice. Nechť

f \in ℒ_{+}

. Potom integrál

f

vzhledem k

μ

\int f d μ ≔ \sup {\int ϕ d μ | ϕ \in ℒ_{+} j e d n o d u c h \overset{ˊ}{a} \land ϕ < f}

Je-li

E \in ℳ

, potom integrál

f

vzhledem k

μ

přes

E

\int_{E} f d μ ≔ \sup {\int_{E} ϕ d μ | ϕ \in ℒ_{+} j e d n o d u c h \overset{ˊ}{a} \land ϕ < f}

Poznámka. Pro

f

jednoduchou se definice shoduje se speciální definicí.

Poznámka. Zřejmě platí analogie prvního a třetího bodu z předchozí věty:

$\int a f = a \int f$
$f \leq g ⟹ \int f \leq \int g$

Příklad. Nechť

X ≔ ℝ, ℳ ≔ 2^{ℝ}, x_{0} \in ℝ, f \in ℒ_{+}

. Potom

\int f d δ_{x_{0}} = f (x_{0})

Věta (o monotónní konvergenci). Nechť

{f_{n}}_{n = 1}^{\infty}

jsou neklesající nezáporné měřitelné funkce. Potom

f ≔ \lim_{n \to \infty} f_{n} \in ℒ_{+}

a platí

\int f d μ = \lim_{n \to \infty} \int f_{n} d μ

Důkaz (základní myšlenka). To, že

f \in ℒ_{+}

, už víme z nějaké dřívější věty. Hodně snadno dokážeme, že

\lim \int \leq \int

. Pojďme na vopáčnou nerovnost. Vezměme jednoduchou funkci

ϕ \leq f

a nějaké

α \in (0,1)

. Definujme

E_{n} ≔ {x \in X | f_{n} (x) \geq α ϕ (x)}

Tyto množiny jsou měřitelné, protože

E_{n} = {(f_{n} - α ϕ)}^{- 1} ([0, \infty]) \in ℳ

. Zároveň zřejmě platí

E_{n} \subset E_{n + 1}

a snadno ukážeme, že

⋃_{n = 1}^{\infty} E_{n} = X

. Máme

\int f_{n} d μ \geq \int_{E_{n}} f_{n} d μ \geq α \int_{E_{n}} ϕ d μ = α μ_{ϕ} (E_{n})

Zlimitíme to a dostaneme

\lim_{n \to \infty} \int f_{n} d μ α μ_{ϕ} (X) = α \int ϕ d μ

Když vysuprémíme a zlimitíme pravou stranu, zjistíme, že se rovná

\int f d μ

Příklad. Nechť

X = ℕ, ℳ = 2^{ℕ}

μ

je počítací míra. Mějme nějakou funkci

f \in ℒ_{+}

, tedy

f : ℕ \to [0, \infty]

. Definujme

f_{n} ≔ \sum_{j = 1}^{n} f (j) χ_{{j}} = (f (1), f (2), \dots, f (n), 0,0, \dots)

Z věty o monotónní konvergenci plyne

\int f d μ = \sum_{j = 1}^{\infty} f (j)

Tedy fyzici měli pravdu: suma je integrál!

Věta (o záměně sumy a integrálu podle míry).

{f_{n}}_{n = 1}^{\infty} \subset ℒ_{+}

. Potom

\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} \in ℒ_{+}

a platí

\int \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} d μ = \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} d μ

Speciálné z toho plyne aditivita integrálu podle míry.

Důkaz (základní myšlenka). Vezměme dvě funkce

f, g \in ℒ_{+}

. Z věty o monotónní konvergenci plyne, že je můžeme aproximovat posloupnostmi jednoduchých funkcí. Ty potom opět podle věty o monotónní funkci posčítáme. Tímhle způsobem samozřejmě dokážeme aditivitu pro konečný počet funkcí. Pro nekonečně mnoho funkcí použijeme posloupnost částečných součtů, přičemž využijeme to, že to máme dokázané pro konečné součty.

Důsledek.

a_{n, m} = 0 ⟹ \sum_{m} \sum_{n} a_{m, n} = \sum_{n} \sum_{m} a_{m, n}

Věta. Nechť

f \in ℒ_{+}

. Potom

\int f d μ = 0

právě tehdy, pokud

f

μ

-skoro všude nulová.

Důkaz (základní myšlenka). Nejprve uvažujme, že

f

je jednoduchá. Pro tu to dokážeme snadno. Pro ostatní dokážeme zvlášť implikaci na každou stranu. Doprava použijeme suprémum, dolava důkaz sporem.

Důsledek. Pokud se funkce

f, g \in ℒ_{+}

rovnají skoro všude, potom

\int f d μ = \int g d μ

Poznámka. Pro důkaz nemůžeme použít na první pohled zjevnou metodu, že aplikujeme předchozí větu na rozdíl, protože ten by mohl být záporný!

Důkaz (základní myšlenka). Nechť

E \in ℳ, μ (E^{∁}) = 0, f = g na E

. Integrál si roztrhneme pomocí

χ_{E}, χ_{E^{∁}}

a provedeme pár úprav.

Věta (o monotónní konvergenci (jiná)). Nechť

{f_{n}}_{n = 1}^{\infty} \subset ℒ_{+}, f \in ℒ_{+}, (\forall n \in ℕ) (f_{n} \leq f_{n + 1} μ - s k o r o v \overset{ˇ}{s} u d e), f = \lim_{n \to \infty} f_{n} μ - s k o r o v \overset{ˇ}{s} u d e

. Potom

\int f d μ = \lim_{n \to \infty} \int f_{n} d μ

Důkaz. Z předpokladů víme

(\forall n \in ℕ) (\exists E_{n} \in ℳ, μ (E^{∁}) = 0) (\forall x \in E_{n}) (f_{n} (x) \leq f_{n + 1} (x))

(\exists E \in ℳ, μ (E^{∁}) = 0) (\forall x \in E) (\exists \lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = f (x))

Označme

F ≔ E \cap ⋂_{n} E_{n} \in ℳ

Máme

μ (F^{∁}) = μ (E^{∁} \cup ⋃_{n} E_{n}^{∁}) = 0

Označme si

{\tilde{f}}_{n} ≔ f_{n} χ_{F}, \tilde{f} ≔ f χ_{F}

. Na tyto funkce již můžeme aplikovat první větu a monotónní konvergenci. Jelikož jejich integrály jsou stejné jako integrály těch původních funkcí, platí závěr i pro původní funkce.

Věta (Fatou). Nechť

{f_{n}}_{n = 1}^{\infty} \subset ℒ_{+}

. Potom

\underset{n \to \infty}{lim inf} \int f_{n} d μ \geq \int \underset{n \to \infty}{lim inf} f_{n} d μ

Důkaz.

(\forall n, j \in ℕ, j \geq n) (f_{j} \geq \inf_{k \geq n} f_{n})

(\forall n, j \in ℕ, j \geq n) (\int f_{j} d μ \geq \int \inf_{k \geq n} f_{n}) d μ

(\forall n \in ℕ) (\inf_{k \geq n} \int f_{k} d μ \geq \int \inf_{k \geq n} f_{n}) d μ

(\forall n \in ℕ) (\lim_{n \to \infty} \inf_{k \geq n} \int f_{k} d μ \geq \lim_{n \to \infty} \int \inf_{k \geq n} f_{n}) d μ

Pomocí věty o monotónní konvergenci dostaneme

(\forall n \in ℕ) (\lim_{n \to \infty} \inf_{k \geq n} \int f_{k} d μ \geq \int \lim_{n \to \infty} \inf_{k \geq n} f_{n}) d μ

což je tvrzení věty.

Lemma. Nechť

f \in ℒ_{+}, \int f d μ < \infty

. Potom

f < \infty μ - s k o r o v \overset{ˇ}{s} u d e

Důkaz.

\infty > \int f d μ \geq \int_{f^{- 1} ({\infty})} f d μ = \infty \cdot μ (f^{- 1} ({\infty}))

To může platit jen tehdy, pokud

μ (f^{- 1} ({\infty})) = 0

Integrace reálných a komplexních funkcí

Opět mějme všude implicitně $(X, ℳ, μ)$ prostor s mírou.

Definice. Nechť

f : X \to ℝ

ℳ

ěřitelná a

\int f^{+} d μ < \infty \lor \int f^{-} d μ < \infty

. Potom integrál

f

vzhledem k

μ

\int f d μ ≔ \int f^{+} d μ - \int f^{-} d μ

Je-li navíc

E \in ℳ

, integrál

f

vzhledem k

μ

přes množinu

E

\int_{E} f d μ ≔ \int_{E} f^{+} d μ - \int_{E} f^{-} d μ

Poznámka.

\int f d μ ⟺ \int f^{+} d μ < \infty \land \int f^{-} d μ < \infty

Definice. Nechť

f : X \to ℂ

ℳ

ěřitelná. Potom integrál

f

vzhledem k

μ

\int f d μ ≔ \int ℜ (f) d μ + i \int ℑ (f) d μ

pokud je výraz definovaný. Je-li navíc

E \in ℳ

, integrál

f

vzhledem k

μ

přes množinu

E

\int_{E} f d μ ≔ \int_{E} ℜ (f) d μ + i \int_{E} ℑ (f) d μ

pokud je výraz definovaný.

Definice. Funkce

f : X \to ℂ

je integrabilní, pokud je měřitelná a

\int | f | d μ < \infty

Množinu integrabilních funkcí značíme

ℒ = ℒ (μ) = ℒ (X, μ) = ℒ (X, ℳ) = ℒ (X, ℳ, μ)

Věta (linearita integrálu podle míry). Nechť

f, g \in ℒ, α \in ℂ

. Potom

α f + g

a platí

\int (α f + g) d μ = α \int f d μ + \int g d μ

Důkaz (základní myšlenka). Měřitelnost

α f + g

je zřejmá. Můžeme tedy psát

\int | α f + g | d μ \leq \int (| α | | f | + | g |) d μ = | α | \int | f | d μ + \int | g | d μ

Tím máme ověřeno, že integrál existuje a je konečný. Aditivitu a homogenitu ověříme zvlášť, a to tak, že si to roztrhneme na reálnou kladnou, reálnou zápornou, imaginární kladnou a imaginární zápornou část a aplikujeme příslušné věty o integrálu nezáporné funkce.

Věta. Nechť

f \in ℒ

. Potom

| \int g d μ | \leq \int | f | d μ

Důkaz (základní myšlenka). Pro

\int f d μ = 0

je důkaz zřejmý. Stejně tak pro reálnou funkci. Soustřeďme se tedy na komplexní funkci s nenulovým integrálem. Definujme

α ≔ \frac{\int f d μ}{| \int f d μ |}

Snadno ověříme, že

\int α f d μ = | \int f d μ |

Vidíme, že je to nezáporné reálné číslo, takže můžeme psát

\begin{array}{r} | \int f d μ | = | ℜ (\int α f d μ) | = | \int ℜ (α f) d μ | \leq \int | ℜ (α f) | d μ \leq \int | α f | d μ \leq \int | α | | f | d μ = \int | f | d μ \end{array}

Věta. Nechť

f, g \in ℒ

. Potom následující tvrzení jsou ekvivalentní:

$f = g μ - s k o r o v \overset{ˇ}{s} u d e$
$\int | f - g | d μ = 0$
$(\forall E \in ℳ) (\int_{E} f d μ = \int_{E} g d μ)$

Důkaz (základní myšlenka). Ukážou se cyklické ekvivalence směrem dolů. První jde triviálně tím, že aplikujeme nějakou větu. Druhá plyne z předchozí věty. Třetí se ukáže sporem.

Definice. Komplexní

μ

-skoro všude definovaná funkce

f

se nazývá měřitelná, pokud

(\exists E_{f} \subset D_{f}, μ (E_{f}^{∁}) = 0) (\forall U \in τ_{ℂ}) (f^{- 1} (U) \cap E_{f} \in ℳ)

Poznámka. Je-li funkce

ℳ

ěřitelná, potom je měřitelná.

Poznámka. Je-li funkce

f

měřitelná, potom funkce

\tilde{f} (x) ≔ [x \in E_{f}] \cdot f (x)

ℳ

ěřitelná.

Definice. Komplexní

μ

-skoro všude definovaná funkce

f

se nazývá integrabilní, pokud je měřitelná a její absolutní integrál je konečný. Množinu integrabilních funkcí značíme

L = L (X) = L (X, μ) = L (μ) = L (X, ℳ, μ)

. Pro integrabilní funkci definujeme

\int f d μ ≔ \int \tilde{f} d μ

Lemma.

L

je lineární prostor a

\int

je lineární funkcionál na

L

Lemma. Je-li

f

měřitelná/integrabilní a

g = f μ - s k o r o v \overset{ˇ}{s} u d e

, potom

g

je měřitelná/integrabilní.

Lemma. Je-li

{f_{n}}_{n = 1}^{\infty}

posloupnost měřitelných funkcí a limita

\lim_{n \to \infty} f_{n} ≕ f

existuje skoro všude, potom

f

je měřitelná.

Věta (Lebesgue). Nechť

{f_{n}}_{n = 1}^{\infty}

je posloupnost

μ

-skoro všude definovaných komplexních měřitelných funkcí. Nechť

f_{n} \to f μ - s k o r o v \overset{ˇ}{s} u d e

a posloupnost je

μ

-skoro všude omezená integrabilní funkcí, tedy

(\exists g \in L) (\forall_{μ} x \in X) (\forall n \in ℕ) (| f_{n} (x) | \leq g (x))

Potom můžeme přehazovat integrál a limitu:

\int f d μ = \lim_{n \to \infty} \int f_{n} d μ

Věta. Nechť

{f_{n}}_{n = 1}^{\infty}

je posloupnost

μ

-skoro všude definovaných komplexních měřitelných funkcí. Pokud

\sum_{n = 1}^{\infty} \int | f_{n} | d μ < \infty

, potom

\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n}

konverguje

μ

-skoro všude k měřitelné funkci a můžeme přehazovat integrál a sumu:

\sum_{n = 1}^{\infty} \int f_{n} d μ = \int \sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} d μ

Důkaz (základní myšlenka). Samozřejmě aplikujeme Lebesgueovu větu na posloupnost částečných součtů, akorát pro ni musíme najít vhodnou funkci

g

. Jako tu zvolíme právě

\sum_{n = 1}^{\infty} \int | f_{n} | d μ

Věta (o limitě). Nechť

a, b \in ℝ, a < b, f : X \times (a, b) \to ℂ, t_{0} \in (a, b)

. Nechť pro všechna

t \in (a, b)

je funkce

f (\circ, t)

měřitelná, pro

μ

-skoro všechna

x \in X

existuje

\lim_{t \to t_{0}} f (x, t) ≕ h (x)

a funkce je omezená

μ

-skoro všude integrabilní funkcí, tedy

(\exists g \in L) (\forall t \in (a, b)) (\forall_{μ} x \in X) (| f (x, t) | \leq g (x))

Potom

h \in L

a můžeme přehazovat integrál a limitu, tedy

\int h (x) d μ (x) = \lim_{t \to t_{0}} \int f (x, t) d μ (x)

Důkaz (základní myšlenka). Aplikujeme Heineovu větu na Lebesgueovu větu.

Věta (o derivaci). Nechť

a, b \in ℝ, a < b, f : X \times (a, b) \to ℂ, t_{0} \in (a, b)

. Nechť pro všechna

t \in (a, b)

je funkce

f (\circ, t)

integrabilní, pro

μ

-skoro všechna

x

f (x, \circ)

diferencovatelná na

(a, b)

a derivace je omezená

μ

-skoro všude integrabilní funkcí, tedy

(\exists g \in L) (\forall t \in (a, b)) (\forall_{μ} x \in X) (| \partial_{t} f (x, t) | \leq g (x))

Potom

F (t) ≔ \int f (x, t) d μ (x)

je diferencovatelná na

(a, b)

, pro všechna

t \in (a, b)

\partial_{t} f (\circ, t)

integrabilní a můžeme přehazovat integrál a derivaci:

F^{'} (t) = \int \partial_{t} f (x, t) d μ (x)

Důkaz (základní myšlenka). Pro danou posloupnost

t_{n} \in (a, b) ∖ {t_{0}}

s limitou

t_{0}

definujeme

h_{n} (x) ≔ \frac{f (x, t_{n}) - f (x, t_{0})}{t_{n} - t_{0}}

Použijeme Lagrangeovu větu (k nalezení majoranty budeme potřebovat Lagrangeovu větu o přírůstku) a Heineovu větu.

Součin měr a Tonelliho-Fubiniho věta

V této sekci mějme implicitně $(X, ℳ, μ), (Y, 𝒩, ν)$ prostory s mírou (a nýrou).

Definice. Měřítelné obdélníky jsou

ℳ \times 𝒩 ≔ {A \times B | A \in ℳ, B \in 𝒩}

Poznámka. Toto značení naprosto není matoucí.

Poznámka. Měřitelné obdélníky netvoří σ-algebru.

Definice. Produktová σ-algebra je

ℳ \otimes 𝒩 ≔ ℳ (ℳ \otimes 𝒩)

Lemma. Systém

𝒜

konečných sjednocení disjunktních měřítelných obdélníků je algebra na

X \times Y

Důkaz. Triviální.

Definice. Funkce

π : 𝒜 \to [0, \infty]

je definovaná vztahem

π (E) ≔ \sum_{k = 1}^{n} μ (A_{k}) ν (B_{k}), A_{k}, B_{k} d i s j u n k t n \overset{ˊ}{ı} n a k r \overset{ˊ}{a} j e n \overset{ˊ}{ı} E n a o b d \overset{ˊ}{e} l n \overset{ˊ}{ı} k y

Jelikož je více způsobů, jak množinu rozkrájet, musíme dokázat, že je definice jednoznačná.

Důkaz (základní myšlenka). Nejprve dokážeme pro

E ≕ A \times B

χ_{A} (x) χ_{B} (y) = χ_{A \times B} (x, y) = \sum_{k} χ_{A_{k} \times B_{k}} (x, y) = \sum_{k} χ_{A_{k}} (x) χ_{B_{k}} (y)

Integrací obou stran podle

μ (x)

dostávéme

μ (A) χ_{B} (y) = \sum_{k} μ (A_{k}) χ_{B_{k}} (y)

Integrací obou stran podle

ν (y)

dostávéme

μ (A) ν (B) = \sum_{k} μ (A_{k}) ν (B_{k})

Věta.

π

je pramíra na

𝒜

Důkaz. Viz skripta.

Jelikož máme pramíru, pomocí Carathéodoryho konstrukce z ní můžeme vyrobit míru, jejíž definiční obor zřejmě bude $M \otimes N$ .

Definice. Nechť

π^{*}

je vnější míra vyrobená z pramíry

π

. Potom míra

μ \otimes ν ≔ π^{*} ↾ ℳ \otimes 𝒩

se nazývá součin měr

μ, ν

Poznámka. Zřejmě

(\forall A \in ℳ, B \in 𝒩) ((μ \otimes ν) (A \times B) = μ (A) ν (B))

Poznámka. Analogicky se definuje součin více než dvou měr.

Věta. Jsou-li míry

μ, ν

σ-konečné, potom

π

, a tedy i

μ \otimes ν

, je σ-konečná. Navíc je

μ \otimes ν

jediná míra s vlastností

(μ \otimes ν) (A \times B) = μ (A) ν (B)

Důkaz. Pro první tvrzení stačí kartézsky sčupčit množiny z definice σ-konečnosti.

Definice. Nechť

E \subset X \times Y, x \in X

x

-řez množiny

E

je množina

E_{x} ≔ {y \in Y | (x, y) \in E}

Analogicky pro

y \in Y

definujeme

y

-řez množiny

E

značený

E^{y}

Lemma. Nechť

E \in ℳ \otimes 𝒩

. Potom

(\forall x \in X) (E_{x} \in 𝒩) \land (\forall y \in Y) (E^{y} \in ℳ)

Důkaz (základní myšlenka). Nechť

ℛ

je množina všech

E

, pro které tvrzení platí. Snadno ukážeme, že

ℛ

je σ-algebra, a jelikož zjevně obsahuje všechny měřitelné obdélníky, musí být

ℛ = ℳ \times 𝒩

Věta. Nechť

μ, ν

jsou σ-konečné a

E \in ℳ \times 𝒩

. Potom funkce

x \mapsto ν (E_{x})

je m

𝒩

ěřitelná, funkce

y \mapsto μ (E^{y})

ℳ

ěřitelná a platí

(μ \otimes ν) (E) = \int_{X} ν (E_{x}) d μ (x) = \int_{Y} μ (E^{y}) d ν (y)

Důkaz. Pracný, Štampach ho nepřednesl.

Věta (Tonelli). Nechť

μ, ν

jsou σ-konečné a

f \in ℒ_{+} (X \times Y, ℳ \otimes 𝒩)

. Potom

$(\forall x \in X) (f (x, \circ) \in ℒ_{+} (Y, 𝒩))$
$(\forall y \in Y) (f (\circ, y) \in ℒ_{+} (X, ℳ))$
$x \mapsto \int_{Y} f (x, y) d ν (y) \in ℒ_{+} (X, ℳ)$
$y \mapsto \int_{X} f (x, y) d μ (x) \in ℒ_{+} (Y, 𝒩)$
$\int f d (μ \otimes ν) = \int_{X} \int_{Y} f (x, y) d ν (y) d μ (x) = \int_{Y} \int_{X} f (x, y) d μ (x) d ν (y)$

Věta (Fubini). Nechť

μ, ν

jsou σ-konečné a

f \in L (μ \otimes ν)

. Potom

$(\forall_{μ} x \in X) (f (x, \circ) \in L (ν))$
$(\forall y \in Y) (f (\circ, y) \in L (μ))$
$x \mapsto \int_{Y} f (x, y) d ν (y) \in L (ν)$
$y \mapsto \int_{X} f (x, y) d μ (x) \in L (μ)$
$\int f d (μ \otimes ν) = \int_{X} \int_{Y} f (x, y) d ν (y) d μ (x) = \int_{Y} \int_{X} f (x, y) d μ (x) d ν (y)$

Definice. Nechť

n \in ℕ^{+}

. Míra

m^{n} ≔ ⨂_{i = 1}^{n} m

se nazývá Lebesgueova míra na

ℝ^{n}

. Množiny σ-algebry

ℒ^{n} ≔ ⨂_{i = 1}^{n} ℒ

nazveme lebesgueovsky měřitelné. V případě, že nedojde k nejasnosti, můžeme

^{n}

vynechat. Integrály stručně značíme

\int f (x) d m^{n} (x) = \int f (x) d m (x) = \int f (x) d x

Poznámka. Snadno ověříme, že

ℬ_{ℝ^{n}} \subset ℒ^{n}

Věta. Lebesgueova míra na

ℝ^{n}

je regulární:

(\forall E \in ℒ^{n}) (m^{n} (E) = \inf {m^{n} (U) | E \subset U \in τ} = \sup {m^{n} (K) | K \subset E k o m p a k t n \overset{ˊ}{ı}})

Důkaz. Analogicky jako u

ℝ

. Na přednášce nepředvedeno.

Věta. Nechť

E \in ℝ^{n}

. Následující tvrzení jsou ekvivalentní:

$E \in ℒ^{n}$
$(\exists F_{σ} - m n o \overset{ˇ}{z} i n a H \subset ℝ^{n}) (\exists N \in ℒ^{n}, m^{n} (N) = 0) (E = H \cup N)$
$(\exists G_{δ} - m n o \overset{ˇ}{z} i n a V \subset ℝ^{n}) (\exists N \in ℒ^{n}, m^{n} (N) = 0) (E = V ∖ N)$

Důkaz. Analogicky jako u

ℝ

. Na přednášce nepředvedeno.

Věta. Nechť

E \in ℒ^{n}, m^{n} (E) < \infty

. Potom

(\exists ε \in ℝ^{+}) (\exists A_{1}, \dots, A_{k} n - r o z m \overset{ˇ}{e} r n \overset{ˊ}{e} i n t e r v a l y) (m^{n} (E △ ⋃_{i = 1}^{k} A_{i}) < ε)

Důkaz. Analogicky jako u

ℝ

. Na přednášce nepředvedeno.

Věta (translační invariance Lebesgueovy míry). Nechť

a \in ℝ^{n}, τ_{a} : ℝ^{n} \to ℝ^{n}, τ_{a} (x) ≔ x + a

. Potom

$(\forall E \in ℒ^{n}) (τ_{a} (E) \in ℒ \land m (τ_{a} (E)) = m (E))$
Je-li funkce $f$ lebesgueovsky měřitelná, potom $f \circ τ_{a}$ je lebesgueovsky měřitelná. Pokud navíc $f \geq 0 \lor f \in L$ , potom $\int f \circ t_{a} d m = \int f d m$ .

Důkaz (základní myšlenka). Jelikož

τ_{a}

je spojitá funkce, máme

E \in ℬ_{ℝ^{n}} ⟺ τ_{a} (E) \in ℬ_{ℝ^{n}}

. Definujeme míru

m_{a} : ℬ_{ℝ^{n}} \to [0, \infty], m_{a} ≔ m \circ τ_{a}

. Díky translační invarianci Lebesgueovy míry na

ℝ

víme, že pro borelovské obdélníky je

m_{a} = m

. Z těch to snadno rozšíříme na všechny borelovské množiny. Nyní zbývá dokázat pro

E \in ℒ^{n}, m^{n} (E) = 0

(jelikož každá množina z

ℒ

se dá zapsat jako disjunktní sjednocení borelovské a

m

-nulové). To dokážeme tím, že množinu

τ_{a} (E)

rozložíme na rozdíl

G_{δ}

-množiny a množiny nulové míry. Co se týče druhého bodu věty, budeme rozkládat

E

F_{σ}

-množinu a množinu nulové míry. Poté provedeme podobné tríčky jako u důkazu Fubiniho-Tonelliho věty.

Věta. Je-li

μ : ℬ_{ℝ^{n}} \to [0, \infty]

míra taková, že každá kompaktní množina má konečnou míru, potom platí:

μ t r a n s l a \overset{ˇ}{c} n \overset{ˇ}{e} i n v a r i a n t n \overset{ˊ}{ı} ⟺ (\exists c \in ℝ_{0}^{+}) (μ = c \cdot m)

Důkaz. Bez důkazu.

Věta. Nechť

T \in ℒ (R^{n})

je regulární. Potom

$(\forall E \in ℒ^{n}) (T (E) \in ℒ \land m (T (E)) = | \det T | m (E))$
Je-li funkce $f$ lebesgueovsky měřitelná, potom $f \circ T$ je lebesgueovsky měřitelná. Pokud navíc $f \geq 0 \lor f \in L$ , potom $\int f \circ T d m = | \det T | \int f d m$ .

Důkaz (základní myšlenka). Tentokrát dokážeme tvrzení s integrálem první. Budeme si rozkládat

T

na jednoduchá zobrazení podle Gaussovy eliminace.

Důsledek. Lebesgueova míra na

ℝ^{n}

je invariantní vůči ortogonální transformaci.

Definice. Nechť

Ω \subset ℝ^{n}

je otevřená množina. Zobrazení

ϕ : Ω \to ℝ^{n}

je difeomorfismus, pokud je prosté a

ϕ, ϕ^{- 1} \in ℂ^{1}

Věta (o substituci). Nechť

ϕ : Ω \subset ℝ^{n} \to ℝ^{n}

je difeomorfismus. Potom

Je-li $f$ lebesgueovsky měřitelná, potom $f \circ ϕ$ je lebesgueovsky měřitelná. Pokud navíc $f \geq 0 \lor f \in L$ , potom $\int_{ϕ (Ω)} f d m = \int_{Ω} f (ϕ (t)) | \det D ϕ (t) | d m (t)$
Je-li $E \in ℒ$ , potom $ϕ (E) \in ℒ$ a platí $m (ϕ (E)) = \int_{Ω} | \det D ϕ | d m$

Důkaz. Odpuštěn.

Lebesgueovy prostory

Nechť $(X, ℳ, μ)$ je prostor s mírou. Chtěli bychom na množině $ℒ$ zavést normu. Mohli bychom to zkusit takto:

‖ f ‖ ≔ \int | f | d μ

To ale není norma, protože neplatí implikace $‖ f ‖ = 0 ⟹ f = 0$ . Ovšem platí, že je v takovém případě $f$ nulová $μ$ -skoro všude. Co kdybychom prohlásili, že funkce, které se liší jen na $μ$ -nulové množině? Zaveďme tedy relaci ekvivalence $=_{μ}$ a uvažujme její třídy ekvivalence $ℒ_{=_{μ}}$ .

A teď formálně a obecněji.

Definice. Nechť

p \in [1, \infty], f : X \to ℂ m \overset{ˇ}{e} \overset{ˇ}{r} i t e l n \overset{ˊ}{a}

. Definujme

p

-normu

{‖ f ‖}_{p} ≔ {\begin{matrix} \sqrt[p]{\int {| f |}^{p} d μ}, & p < \infty \\ ess sup | f | ≔ \inf {c \in ℝ^{+} | (\forall_{μ} x \in X) (| f (x) | \leq c)}, & p = \infty \end{matrix}

Definice.

ℒ^{p} ≔ ℒ^{p} (X, ℳ, μ) ≔ {f : X \to ℂ m \overset{ˇ}{e} \overset{ˇ}{r} i t e l n \overset{ˊ}{a} | {‖ f ‖}_{p} < \infty}

Definice.

L^{p} ≔ L^{p} (X, ℳ, μ) ≔ ℒ_{=_{μ}} ≔ {{[f]}_{=_{μ}} | f \in ℒ^{p}}

Definice. Na prostoru

L^{p}

můžeme zavést lineární strukturu:

[f] + [g] ≔ [f + g]

α [f] ≔ [α f]

Definice.

{‖ [f] ‖}_{p} ≔ {‖ f ‖}_{p}

Definice je korektní, protože integrál nevidí rozdíl mezi funkcemi ve stejné třídě.

Poznámka. Nadále budeme zaměňovat funkce s jejich třídami ekvivalence.

Splnění prvních dvou vlastnosti normy je zřejmé, ale trojúhelníková nerovnost není vůbec zřejmá.

Příklad. Nechť

X ≔ ℝ, ℳ ≔ ℒ, μ ≔ m

. Definujme

f (x) ≔ {\begin{matrix} x, & x \in ℚ \\ \sin (x), & x \notin ℚ \end{matrix}

Potom

{‖ f ‖}_{\infty} = {‖ \sin ‖}_{\infty} = 1

Definice. Měřitelná funkce

f : X \to ℂ

je v podstatě omezená, pokud

{‖ f ‖}_{\infty} < \infty

Poznámka. Je-li

f : X \to ℂ

měřitelná, potom

(\forall_{μ} x \in X) (| f (x) | < {‖ f ‖}_{\infty})

Lemma (Youngova nerovnost). Nechť

a, b \geq 0, p, q > 1, \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1

. Potom

a b \leq \frac{a^{p}}{p} + \frac{b^{q}}{q}

Důkaz (základní myšlenka). Nějak pomocí logaritmu.

Věta (Hölderova nerovnost). Nechť

f, g : X \to ℂ

jsou měřitelné a

p, q > 1, \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1

. Potom

\int | f \cdot g | d μ \leq \sqrt[p]{\int {| f |}^{p} d μ} \cdot \sqrt[q]{\int {| g |}^{q} d μ}

Důkaz (základní myšlenka). Nechť

t ≔ \sqrt[p]{\int {| f |}^{p} d μ}, s ≔ \sqrt[q]{\int {| g |}^{q} d μ}

. Je-li

t = 0 \lor s = 0 \lor t = \infty \lor s = \infty

, nerovnost platí triviálně. Poté stačí aplikovat Youngovu nerovnost s

a ≔ \frac{| f (x) |}{t}, b ≔ \frac{| g (x) |}{s}

a výsledek zintegrovat.

Věta (Minkowského nerovnost). Nechť

f, g : X \to ℂ

jsou měřitelné a

p \geq 1

. Potom

\sqrt[p]{\int {| f + g |}^{p} d μ} \leq \sqrt[p]{\int {| f |}^{p} d μ} + \sqrt[p]{\int {| g |}^{p} d μ}

Důkaz (základní myšlenka). Pro

p = 1

triviální. Také díky trojúhelníkové nerovnosti stačí vyřídit případ

f, g \geq 0

. To se nějak udělá pomocí Hölderovy nerovnosti.

Důsledek. Pro každé

p \in [1, \infty]

L^{p}

normovaný lineární prostor.

Věta. Pro každé

p \in [1, \infty]

L^{p}

úplný normovaný lineární prostor.

Důkaz. Dokážeme si za rok ve funkcionální analýze.

Poznámky z Matematické analýzy A 4 – teorie integrálu

Obsah

Měřitelné funkce

Integrace nezáporných funkcí

Integrace reálných a komplexních funkcí

Vztah Riemannova a Lebesgueova integrálu

Součin měr a Tonelliho-Fubiniho věta

Lebesgueovy prostory