Poznámky z Matematické analýzy A 4 – křivkové a plošné integrály

Křivky

Definice. Nechť

ϕ : [a, b] \to ℝ^{n}

je křivka. a

σ : a = x_{0} < \dots < x_{m} = b

je dělení intervalu

[a, b]

. Položme

l_{σ} (ϕ) ≔ \sum_{i = 1}^{m} {‖ ϕ (x_{i}) - ϕ (x_{i - 1}) ‖}_{2}

. Křivka

ϕ

je rektifikovatelná (mající délku), pokud množina

{l_{σ} (ϕ) | σ d \overset{ˇ}{e} l e n \overset{ˊ}{ı} [a, b]}

je omezená. V takovém případě definujeme délku křivky

l (ϕ) ≔ \sup {l_{σ} (ϕ) | σ d \overset{ˇ}{e} l e n \overset{ˊ}{ı} [a, b]}

Poznámka. Jelikož zjevně platí

σ \subset σ^{'} ⟹ l_{σ} (ϕ) \leq l_{σ^{'}} (ϕ)

, supremum skutečně odpovídá jakémusi infinitesimálnímu dělení.

Lemma. Nechť

ϕ : [a, b] \to ℝ^{n}

je rektifikovaná křivka a

ξ : [c, d] \to [a, b]

je spojitá bijekce. Definujme novou křivku

ψ ≔ ϕ \circ ξ

. Potom

ψ

je rektifikovaná křivka a platí

l (ϕ) = l (ψ)

Důkaz (základní myšlenka). Bijektivně namapujeme dělení na dělení.

Lemma. Nechť

ϕ : [a, b] \to ℝ^{n}

je rektifikovaná křivka a

x \in (a, b)

. Potom

ϕ ↾ [a, c], ϕ ↾ [c, b]

jsou rektifikované křivky a platí

l (ϕ) = l (ϕ ↾ [a, c]) + l (ϕ ↾ [c, b])

Definice. Křivka

ϕ : [a, b] \to ℝ^{n}

je po částech

𝒞^{1}

, pokud existuje dělení

σ

intervalu

[a, b]

takové, že

$(\forall i \in \hat{m}) (ϕ \in 𝒞^{1} ((x_{i - 1}, x_{i})))$
$(\forall i \in \hat{m - 1}) (\exists \lim_{x_{i}} ϕ^{'}) \land \exists \lim_{a^{+}} ϕ^{'} \land \exists \lim_{b^{-}} ϕ^{'}$

Věta. Nechť

ϕ : [a, b] \to ℝ^{n}

je po částech

𝒞^{1}

křivka. Potom

ϕ

je rektifikovaná a platí

l (ϕ) = \int_{a}^{b} ‖ φ^{'} (t) ‖ d t

Důkaz (základní myšlenka). Díky aditivitě délky a integrálu můžeme po částech

𝒞^{1}

křivky jednoduše rozdělovat na

𝒞^{1}

křivky. Nechť

σ

je dělení

[a, b]

. Potom

l_{σ} (ϕ) = \sum_{i = 1}^{m} ‖ ϕ (x_{i}) - ϕ (x_{i - 1}) ‖ = \sum_{i = 1}^{m} ‖ \int_{x_{i - 1}}^{x_{i}} ϕ^{'} (t) d t ‖ \leq \sum_{i = 1}^{m} \int_{x_{i - 1}}^{x_{i}} ‖ ϕ^{'} (t) ‖ d t = \int_{a}^{b} ‖ φ^{'} (t) ‖ d t

Tím je dokázáno, že jde o horní závoru. Nyní chceme ukázat, že je nejmenší. Definujme

g (t) ≔ l (ϕ ↾ [a, t])

. Ukážeme, že

g

je diferencovatelná na

(a, b)

a platí

(\forall t \in (a, b)) (g^{'} (t) = ‖ ϕ^{'} (t) ‖)

(přímo z definice derivace a s použitím již dokázané nerovnosti).

Poznámka. Předpoklady nejdou vynechat. Protipříkladem je graf Cantorovy funkce (ďáblovo schodiště). Víme, že pro všechna

t

nepatřící do Cantorovy množiny, tedy pro

m

-skoro všechna

t

, derivace existuje a rovná se

0

, tudíž integrál vyjde

\int_{0}^{1} ‖ {(\begin{array}{c} t \\ f (t) \end{array})}^{'} ‖ = \int_{0}^{1} ‖ (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}) ‖ = 1

Ovšem intuitivně víme (a dá se to i dokázat), že nejkratší křivka mezi dvěma body je úsečka, která má délku

\sqrt{2}

. Konkrétně z tvaru schodiště (pořád jde přímo doprava nebo přímo nahoru) můžeme odhadnout, že jeho délka je

2

, což je skutečně pravda.

Křivkové integrály prvního a druhého druhu

Definice. Nechť

Ω \subset ℝ^{n}

je oblast. Skalární pole je funkce

f : Ω \to ℝ

. Vektorové pole je funkce

F : Ω \to ℝ^{n}

Definice. Nechť

ϕ : [a, b] \to ℝ^{n}

je po částech

𝒞^{1}

křivka a

f : [ϕ] \to ℝ

. Pokud

(f \circ ϕ) \cdot ‖ ϕ^{'} ‖ \in L ([a, b])

, potom křivkový integrál

f

prvního druhu podél

ϕ

je číslo

\int_{ϕ} f d s ≔ \int_{a}^{b} f (ϕ (t)) ‖ ϕ^{'} (t) ‖ d t

Poznámka. Z fyzikálního hlediska lze tento integrál vnímat jako celkový příspévek pole

f

podél křivky

ϕ

Věta (invariance křivkového integrálu prvního druhu vůči reparametrizaci). Nechť

ϕ : [a, b] \to ℝ^{n}

je po částech

𝒞^{1}

křivka,

f : [ϕ] \to ℝ

a platí

(f \circ ϕ) \cdot ‖ ϕ^{'} ‖ \in L ([a, b])

. Nechť

ξ : [c, d] \to [a, b]

je spojité na

[a, b]

a difeomorfismus na

(a, b)

. Označme

ψ ≔ ϕ \circ ξ

. Potom

\int_{ψ} f d s = \int_{ϕ} f d s

Důkaz.

\begin{aligned} \int_{ψ} f d s & = \int_{c}^{d} f (ψ (t)) ‖ ψ^{'} (t) ‖ d t \\ = \int_{c}^{d} f (ϕ (ξ (t))) ‖ ϕ^{'} (ξ (t)) ‖ | ξ^{'} (t) | d t \\ \overset{\overset{}{v \overset{ˇ}{e} t a o s u b s t i t u c i}}{=} \int_{a}^{b} f (φ (\tilde{s})) ‖ ϕ^{'} (\tilde{s}) ‖ d \tilde{s} \\ = \int_{a}^{b} f d s \end{aligned}

Definice. Nechť

ϕ : [a, b] \to ℝ^{n}

je po částech

𝒞^{1}

křivka a

F : [ϕ] \to ℝ^{n}

. Je-li

(F \circ ϕ) \cdot ϕ^{'} \in L ([a, b])

, potom křivkový integrál

F

druhého druhu podél

ϕ

je číslo

\int_{ϕ} F \cdot d s ≔ \int_{a}^{b} F (φ (t)) \cdot ϕ^{'} (t) d t

Poznámka. Pokud vypijeme hodně fyzikální limonády, můžeme psát

\int_{ϕ} F \cdot d s = \int_{ϕ} \sum_{i = 1}^{n} F_{i} d x_{i}

Poznámka (souvislost integrálů prvního a druhého druhu). Nechť

ϕ : [a, b] \to ℝ^{n}

𝒞^{1} ((a, b))

křivka taková, že

(\forall t \in (a, b)) (ϕ^{'} (t) \neq 0)

. Definujme tečnou komponentu pole

F

T (ϕ (t)) ≔ \frac{ϕ^{'} (t)}{‖ ϕ^{'} (t) ‖}

Potom

\int_{ϕ} F \cdot d s = \int_{a}^{b} F (ϕ (t)) \cdot ϕ^{'} (t) d t = \int_{a}^{b} F (φ (t)) \cdot T (φ (t)) \cdot ‖ ϕ^{'} (t) ‖ d t = \int_{ϕ} F \cdot T d s

Věta (téměř-invariance křivkového integrálu druhého druhu vůči reparametrizaci). Nechť

ϕ : [a, b] \to ℝ^{n}

je po částech

𝒞^{1}

křivka,

F : [ϕ] \to ℝ^{n}

je funkce taková, že

(F \circ ϕ) \cdot ϕ^{'} \in L ([a, b])

ξ : [c, d] \to [a, b]

je funkce spojitá na

[c, d]

a difeomorfismus

(c, d)

(a, b)

. Označme

ψ ≔ ϕ \circ ξ

. Potom

\int_{ψ} F \cdot d s = sgn ξ^{'} \int_{ϕ} F \cdot d s

Důkaz. Z předpokladu

ξ^{'}

nemění znaménko.

\int_{ψ} F \cdot d s = \int_{c}^{d} F (ψ (t)) \cdot ψ^{'} (t) d t = \int_{c}^{d} (F (ϕ (ξ (t))) \cdot φ^{'} (ξ (t))) ξ^{'} (t) d t

Dále pomocí věty o substituci.

Poznámka. Křivky

ϕ, ψ

se nazývají stejně orientované, pokud

ξ^{'} > 0

, jinak různě orientované.

Greenova věta

Definice. Křivka

ϕ : [a, b] \to ℝ^{n}

je jednoduchá, pokud

ϕ

je prosté zobrazení.

Definice. Křivka

ϕ : [a, b] \to ℝ^{n}

je uzavřená, pokud

ϕ (a) = ϕ (b)

Definice. Křivka

ϕ : [a, b] \to ℝ^{n}

je Jordanova, pokud je uzavřená a

ϕ ↾ [a, b)

je prosté zobrazení.

Definice. Kompaktní množina

S \subset ℝ^{2}

má po částech

𝒞^{1}

hranici, pokud

(\exists m \in ℕ) (\forall i \in \hat{m}) (\exists ϕ_{i} : [a_{i}, b_{i}] \to ℝ^{2})

, kde křivky

ϕ_{i}

jsou Jordanovy, po částech

𝒞^{1}

[ϕ_{i}]

jsou po dvou disjunktní a

\partial S = ⋃_{i = 1}^{m} [ϕ_{i}]

. Hranice takové množiny je kladně orientovaná, pokud

(\forall i \in \hat{m}) (\forall t \in [a_{i}, b_{i}] a \overset{ˇ}{z} n a k o n e \overset{ˇ}{c} n \overset{ˇ}{e} m n o h o v \overset{ˊ}{y} j i m e k) (φ_{i}^{'} (t) \neq 0)

a normálový vektor

N

, který se dá spočíst z tečného vektoru

T ≔ \frac{ϕ_{i}^{'} (t)}{‖ ϕ_{i}^{'} (t) ‖}

jako

N ≔ (- T_{2}, T_{1})

, „míří“ do množiny

S

, tedy

(\exists ε_{0} \in ℝ^{+}) (\forall ε \in (0, ε_{0})) (φ_{i} (t) + ε N (φ_{i} (t)) \in S)

Věta (Green). Nechť kompaktní množina

S \subset ℝ^{2}

má po částech

𝒞^{1}

kladně orientovanou hranici,

Ω \supset S

je otevřená množina a

F : Ω \to ℝ^{2}

𝒞^{1}

. Potom

\int_{\partial S} F \cdot d s = \int_{S} (\partial_{1} F_{2} - \partial_{2} F_{1})

Důkaz. Na přednášce se z časových důvodů neukázal. Existuje celkem snadný důkaz pro speciální případ množin, které jsou konečným sjednocením jednoduchých množin (takových, které jsou mezi grafy funkcí jedné proménně). Obecný důkaz používá takzvaný rozklad jedničky.

Poznámka. Greenova věta se dá občas použít k výpočtu míry množiny, pokud vybereme takovou funkci, aby bylo

\partial_{1} F_{2} - \partial_{2} F_{1} = 1

. Tedy například

F (x, y) ≔ (0, x) nebo (- y, 0) nebo \frac{(- y, x)}{2}

Plošné integrály prvního a druhého druhu

Definice. Množina

S \subset ℝ^{3}

je parametrizovaná po částech

𝒞^{1}

plocha, pokud

S = ⋃_{i = 1}^{m} S_{i}

, kde

$(\forall i \in \hat{m}) (\exists \emptyset \neq Ω_{i} \subset ℝ^{2} oblast) (\exists Φ_{i} : Ω_{i} \to ℝ^{3} p r o s t \overset{ˊ}{a} a 𝒞^{1}) (Φ_{i} (Ω_{i}) = S_{i}^{\circ S})$
$(\forall i, j \in \hat{m}, i \neq j) (S_{i} \cap S_{j} j e s j e d n o c e n \overset{ˊ}{ı} m (m o \overset{ˇ}{z} n o p r \overset{ˊ}{a} z d n \overset{ˊ}{y} m) k o n e \overset{ˇ}{c} n \overset{ˇ}{e} m n o h a p o \overset{ˇ}{c} \overset{ˊ}{a} s t e c h 𝒞^{1} k \overset{ˇ}{r} i v e k)$

Značením

S_{i}^{\circ S}

se myslí vnitřek

S_{i}

v topologii na

S

. Intuitivně: Plocha je něco, co dokážeme „slepit“ z několika deformovaných rovinných útvarů.

Příklad. Kouli můžeme „slepit“ ze dvou polokoulí:

\begin{aligned} S & ≔ {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}} \\ S_{1} & ≔ {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} \land z \geq 0} \\ S_{2} & ≔ {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} \land z \leq 0} \\ Ω_{1} & ≔ Ω_{2} ≔ {(x, y) \in ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} < a^{2}} \\ Φ_{1} (x, y) & ≔ (x, y, \sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}}) \\ Φ_{2} (x, y) & ≔ (x, y, - \sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}}) \end{aligned}

Příklad. Podobně bychom mohli slepit paraboloid s „výkem“:

S_{1} ≔ {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} \leq z \land z \leq 1}

S_{2} ≔ {(x, y) \in ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} \leq 1} \times {1}

S ≔ S_{1} \cup S_{2}

Definice. Nechť

S \subset ℝ^{3}

je parametrizovaná po částech

𝒞^{1}

plocha a

f : S \to ℝ

. Potom plošný integrál prvního druhu je číslo

\int_{S} f d S ≔ \sum_{i = 1}^{m} \int_{S_{i}} f d S

kde

\int_{S_{i}} f d S ≔ \int_{Ω_{i}} f (Φ_{i} (u, v)) ‖ \partial_{u} Φ_{i} \times \partial_{v} Φ_{i} ‖ d u d v

Speciálně číslo

A (s) ≔ \int_{S} 1 d S = \sum_{i = 1}^{m} \int_{Ω_{i}} ‖ \partial_{u} Φ_{i} \times \partial_{v} Φ_{i} ‖

je obsah plochy

S

Poznámka. Tato definice se dá podobně jako u křivek motivovat nějakým dělením plochy na diferenciálně malé čtverečky, ale je to složitější.

Věta (invariance plošného integrálu prvního druhu vůči parametrizaci). Nechť

S \subset ℝ^{3}

je parametrická po částech

𝒞^{1}

plocha s

m = 1

(tedy má jen jedno

Φ_{1} ≕ Φ

f : S \to ℝ

je funkce taková, že

(f \circ Φ) \cdot ‖ \partial_{u} Φ \times \partial_{v} Φ ‖ \in L (Ω)

\emptyset \neq Λ \subset ℝ^{2}

je oblast,

ξ : Λ \to Ω

je difeomorfismus a

Ψ ≔ Φ \circ ξ

. Potom

\int_{Λ} (f \circ Ψ) \cdot ‖ \partial_{s} Ψ \times \partial_{t} Ψ ‖ = \int_{Ω} (f \circ Φ) \cdot ‖ \partial_{u} Φ \times \partial_{v} Φ ‖

Důkaz (základní myšlenka). Rozepsáním složené derivace zjistíme, že

\partial_{s} Ψ \times \partial_{t} Ψ = \partial_{u} Φ \cdot \partial_{v} Φ \cdot \det D ξ

Následně si ještě trochu pohrajeme s normami a použijeme větu o substituci.

Poznámka. Nechť

S \subset ℝ^{3}

je parametrická po částech

𝒞^{1}

plocha taková, že existuje oblast

\emptyset \neq Ω \subset ℝ^{2}

a funkce

Φ : Ω \to ℝ^{2}

taková, že

Φ (Ω) = S \land h (D Φ) = 2

. Pro

(u_{0}, v_{0}) \in Ω

definujme

Φ_{v_{0}} (u) ≔ Φ (u, v_{0}) Φ_{u_{0}} (v) ≔ Φ (u_{0}, v)

T_{u_{0}} ≔ \partial_{u} Φ_{v_{0}} (u_{0}) = \partial_{u} Φ (u_{0}, v_{0}) T_{u_{0}} ≔ \partial_{u} Φ_{v_{0}} (u_{0}) = \partial_{u} Φ (u_{0}, v_{0})

Nechť

T_{u_{0}}, T_{v_{0}}

jsou lineárně nezávislé.

N ≔ N (Φ (u_{0}, v_{0})) ≔ \frac{T_{u_{0}} \times T_{v_{0}}}{‖ T_{u_{0}} \times T_{v_{0}} ‖}

Chtěli bychom definovat

\int_{S} F \cdot d S ≔ \int_{S} F \cdot N d S

Definice. Nechť

S \subset ℝ^{3}

je po částech

𝒞^{1}

plocha,

F : S \to ℝ^{3}

a platí

(F \circ Φ_{i}) \cdot (\partial_{u} Φ_{i} \times \partial_{v} Φ_{i}) \in L (Ω)

. Plošný integrál

F

druhého druhu přes

S

je číslo

\int_{S} F \cdot d S ≔ \sum_{i = 1}^{m} \int_{S_{i}} F \cdot d s ≔ \sum_{i = 1}^{m} \int_{Ω_{i}} (F \circ Φ_{i}) \cdot (\partial_{u} Φ_{i} \times \partial_{v} Φ_{i})

Věta (téměř-invariance plošného integrálu druhého druhu vůči parametrizaci). Nechť

S \subset ℝ^{3}

je po částech

𝒞^{1}

plocha s

m = 1

F : S \to ℝ^{3}

funkce taková, že

(F \circ Φ_{i}) \cdot (\partial_{u} Φ_{i} \times \partial_{v} Φ_{i}) \in L (Ω)

\emptyset \neq Λ \subset ℝ^{2}

je oblast,

ξ : Λ \to Ω

difeomorfismusa a

Ψ ≔ Φ \circ ξ

. Potom

\int_{Λ} (F \circ Ψ) \cdot (\partial_{s} Ψ \times \partial_{t} Ψ) = sgn \det D ξ \int_{Ω} (F \circ Φ) \cdot (\partial_{u} Φ \times \partial_{v} Φ)

Důkaz. Štampach neukázal. Analogicky jako u prvního druhu.

Poznámka. Reparametrizace zachovává orientaci, pokud

\det D ξ > 0

, jinak mění orientaci.

Definice. Plocha je orientovatelná, pokud existuje spojité pole

N : S \to ℝ^{3}

jednotkových normálových vektorů.

Gaussova věta

Definice. Nechť

f : Ω \subset ℝ^{n} \to ℝ, F : Ω \leq ℝ^{n} \to ℝ^{n}, f, F \in 𝒞^{1} (Ω)

. Definujeme tři derivace vektorové analýzy:

Gradient:: $\nabla f ≔ grad f ≔ (\begin{array}{ccc} \partial_{1} f & \dots & \partial_{n} f \end{array})$
Divergence:: $\nabla \cdot F ≔ div F ≔ \sum_{i = 1}^{n} \partial_{i} F_{i}$
Rotace (jen pro $n = 3$ ):: $\nabla \times F ≔ rot F ≔ (\begin{array}{ccc} \partial_{2} F_{3} - \partial_{3} F_{2} & \partial_{3} F_{1} - \partial_{1} F_{3} & \partial_{1} F_{2} - \partial_{2} F_{1} \end{array})$

Věta (Gauss). Nechť

R \subset ℝ^{3}

je kompaktní množina, jejíž hranice je parametrizovaná po částech

𝒞^{1}

plocha:

\partial R = ⋃_{i = 1}^{m}

. Nechť navíc

\partial R

je orientovaná normálovým polem

N : \partial R \to ℝ^{3}

určeným vnějším jednotkovým normálovým vektorem. To znamená, že pro každé

i \in \hat{m}

N

spojité na

S_{i}^{\circ \partial R}

a pro všechna

x \in S_{i}^{\circ \partial R}

míří

N (x)

mimo

R

. Nechť dále

Ω \supset R

je otevřená množina a

F : Ω \to ℝ^{3}, F \in 𝒞^{1}

. Potom

\int_{\partial R} f \cdot d S = \int_{R} \nabla \cdot F

Důkaz. Na přednášce vynechán. Analogický jako u Greenovy věty.

Věta (Stokes). Nechť

ℝ^{3} \supset S = ⋃_{i = 1}^{m} S_{i}

je kompaktní parametrizovaná po částech

𝒞^{1}

plocha, jejíž hranice (v její vlastní topologii) je sjednocení Jordanových křivek:

\partial S = ⋃_{i = 1}^{m} \partial S_{i}

. Nechť pro všechna

i \in \hat{m}

je na

S_{i}

zadaná orientace spojitým normálovým polem

N

jednotkových normálových vektorů k

S

. Zavedeme orientaci indukovanou na

\partial S_{i}

: pro každé

x \in \partial S_{i}

zvolíme

T_{i}

jednotkový tečný vektor v bodě

x

\partial S_{i}

takový, aby vektor

N \times T_{i}

ukazoval do plochy

S_{i}

. Nechť dále

Ω \supset S

je otevřená množina a

F : Ω \to ℝ^{3}, F \in 𝒞^{1} (Ω)

. Potom

\int_{\partial S} F \cdot d s = \int_{S} \nabla \times F \cdot d S

Důkaz. Na přednášce vynechán. Analogický jako u Greenovy věty.

Poznámky z Matematické analýzy A 4 – křivkové a plošné integrály

Obsah

Křivky

Křivkové integrály prvního a druhého druhu

Greenova věta

Plošné integrály prvního a druhého druhu

Gaussova věta