Algebra

Teorie množin

Relace

Definice. Nechť

M_{1}, \dots, M_{n}

jsou neprázdné množiny. Potom

n

-ární relace je množina

ℛ \subset M_{1} \times \dots \times M_{n}

. Je-li

M_{1} = \dots = M_{n} ≕ M

, jde o relaci na množině

M

. Je-li

n = 2

, jde o binární relaci.

Definice. Zobrazení je relace

f \subset M \times N

taková, že

\forall x \in M, \exists_{(\leq) 1} y \in N, (x, y) \in f

. Značíme

f : M \to N

(x, y) \in f ⟹ f (x) = y

Definice. Identita na

M

je relace

ℐ_{M} ≔ {(x, x) | x \in M}

Definice. Inverzní relace k binární relaci

ℛ

ℛ^{- 1} ≔ {(y, x) | (x, y) \in ℛ}

Definice. Složení relací

ℛ \in M \times N, 𝒮 \in N \times P

𝒮 \circ ℛ ≔ {(x, z) \in M \times P | \exists y \in N : (x, y) \in ℛ \land (y, z) \in P}

Věta. Skládání relací je asociativní.

Důkaz. Stačí si to rozepsat.

Definice. Zobrazení

f : M \to N

je injektivní, pokud

\forall x_{1}, x_{2} \in M : f (x_{1}) = f (x_{2}) ⟹ x_{1} = x_{2}

Definice. Zobrazení

f : M \to N

je surjektivní, pokud

\forall y \in N, \exists x \in M : f (x) = y

Definice. Zobrazení

g_{L} : N \to M

je levá inverze zobrazení

f : M \to N

, pokud

g_{L} \circ f = ℐ_{M}

Definice. Zobrazení

g_{R} : N \to M

je pravá inverze zobrazení

f : M \to N

, pokud

f \circ g_{R} = ℐ_{N}

Definice. Vzor množiny

P \subset N

podle zobrazení

f : M \to N

je množina

f^{- 1} (P) ≔ {x \in M | f (x) \in P}

Věta. Zobrazení

f : M \to N, M \neq \emptyset

je injektivní, právě když má levou inverzi.

Důkaz.

(\Rightarrow)

Pokud

y \in Im f

, potom existuje

x \in M

takové, že

f (x) = y

, tedy definujeme

g_{L} (y) ≔ x

. Pokud

y \notin Im f

, zvolíme

g_{L} (y)

libovolně.

(\Leftarrow)

f (x_{1}) = f (x_{2}) ⟹ g_{L} (f (x_{1})) = g_{L} (f (x_{2})) ⟹ x_{1} = x_{2}

Věta. Zobrazení

f : M \to N

je surjektivní, právě když má pravou inverzi.

Důkaz.

(\Leftarrow)

Nechť

x ≔ g_{R} (y)

, potom

y = f (g_{R} (y)) = f (x)

(\Rightarrow)

Pro každé

y \in N

si pomocí axiomu výběru zvolíme nějaké

x \in f^{- 1} ({y})

a definujeme

g_{R} (y) ≔ x

Věta. Pokud má zobrazení levou i pravou inverzi, potom se tyto inverze rovnají.

Důkaz.

g_{L} = g_{L} \circ (f \circ g_{R}) = (g_{L} \circ f) \circ g_{R} = g_{R}

Definice. Množina všech zobrazení z

M

N

se značí

N^{M}

. (Motivace je, že pokud

M, N

jsou konečné, potom

| N^{M} | = {| N |}^{| M |}

Vlastnosti relací

Definice. Binární relace

ℛ

na množině

M

je reflexivní, pokud

\forall x \in M : (x, x) \in ℛ

, neboli

ℐ_{M} \subset ℛ

Definice. Binární relace

ℛ

na množině

M

je symetrická, pokud

\forall x, y \in M : (x, y) \in ℛ ⟹ (y, x) \in ℛ

, neboli

ℛ^{- 1} = ℛ

Definice. Binární relace

ℛ

na množině

M

je tranzitivní, pokud

\forall x, y, z \in M : (x, y) \in ℛ \land (y, z) \in ℛ ⟹ (x, z) \in ℛ

, neboli

ℛ \circ ℛ \subset ℛ

Definice. Binární relace

ℛ

na množině

M

je antisymetrická, pokud

\forall x, y \in M : (x, y) \in ℛ \land (y, x) \in ℛ ⟹ x = y

, neboli

ℛ \cap ℛ^{- 1} \subset ℐ_{M}

Definice. Binární relace

ℛ

na množině

M

je silně antisymetrická, pokud

\forall x, y \in M : (x, y) \in ℛ ⟹ (y, x) \notin ℛ

, neboli

ℛ \cap ℛ^{- 1} = \emptyset

Definice. Binární relace

ℛ

na množině

M

je dichotomická, pokud

\forall x, y \in M : (x, y) \in ℛ \lor (y, x) \in ℛ

, neboli

ℛ \cup ℛ^{- 1} \supset M^{2} ∖ ℐ_{M}

Ekvivalence

Definice. Ekvivalence na množině

M

je binární relace, která je reflexivní, symetrická a tranzitivní.

Definice. Mějme relaci ekvivalence

\sim

M

x \in M

. Potom třída ekvivalence

x

{[x]}_{\sim} ≔ {y \in M | x \sim y}

Definice. Rozklad množiny

M

je systém

ρ \subset 2^{M}

takový, že

$\forall X, Y \in ρ : X = Y \lor X \cap Y = \emptyset$
$⋃ ρ = M$

Existuje jednoznačný vztah mezi relacemi ekvivalence a rozklady:

Věta. Nechť

\sim

je relace ekvivalence na množině

M

. Potom systém

ρ_{\sim} ≔ {{[x]}_{\sim} | x \in M}

je rozklad

M

Věta. Nechť

ρ

je rozklad množiny

M

. Potom relace

\sim_{ρ} ≔ {(x, y) \in M \times M | \exists X \in ρ : x \in X \land y \in X}

je relace ekvivalence na

M

a platí

ρ_{\sim_{ρ}} = ρ

Definice. Výše uvedený rozklad

ρ

se nazývá faktormnožina množiny

M

při relaci

\sim

Uspořádání

Definice. Uspořádání na množině

M

je binární relace, která je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní.

Definice. Úplné uspořádání je uspořádání, které je dichotomické.

Definice. Je-li

\leq

uspořádání na

M

, definujeme na

M

relaci

x < y ⟺ x \leq y \land x \neq y

Definice. Zúžení relace

ℛ

na množině

M

na množinu

N \subset M

ℛ_{N} ≔ R \cap N^{2}

Věta. Je-li

\leq

uspořádání na

M

N \subset M

, potom

\leq_{N}

je uspořádání na

N

Definice. Je-li

\leq

uspořádání na

M

a úplné uspořádání na

N \subset M

, potom

N

je řetězec v

M

Příklad. Máme-li množinu

ℕ

s (neúplným) uspořádáním

|

, potom

{2^{n} | n \in ℕ}

je řetězec.

Definice. Nechť

\leq

je uspořádání na

M

. Prvek

a \in M

je minimální prvek

M

, pokud

\forall b \in M : b \leq a ⟹ b = a

. Analogicky maximální prvek.

Definice. Nechť

\leq

je uspořádání na

M

. Prvek

a \in M

je nejmenší (první) prvek

M

, pokud

\forall b \in M : b \geq a

. Analogicky největší (poslední) prvek.

Příklad. Mějme množinu

𝒫 ({1,2,3}) ∖ {\emptyset}

s uspořádáním

\subset

. Tato množina nemá nejmenší prvek, ale má tři minimální prvky:

{1}, {2}, {3}

Věta. Nechť

\leq

je uspořádání na

M

. Je-li

a \in M

nejmenší, potom je minimální.

Důkaz. Plyne přímo z antisymetrie.

Věta. Nechť

\leq

je úplné uspořádání na

M

. Je-li

a \in M

minimální, potom je nejmenší.

Důkaz. Plyne přímo z dichotomie.

Definice. Uspořádání na množině

M

je dobré, pokud každá neprázdná množina

N \subset M

má nejmenší prvek.

Věta. Nechť

\leq

je uspořádání na

M

. Je-li

\leq

dobré uspořádání, potom je úplné.

Důkaz. Vezměme dva prvky

x, y

. Potom množina

{x, y}

musí mít nejmenší prvek.

Definice. Uspořádané množiny

(M_{1}, \leq_{1}), (M_{2}, \leq_{2})

jsou podobně uspořádané, pokud existuje bijekce

f : M_{1} \to M_{2}

taková, že

x \leq_{1} y ⟺ f (x) \leq_{2} f (y)

. Funkce

f

se poté nazývá isomorfismus.

Poznámka. Podobnost zřejmě zachovává vlastnosti jako úplnost, dobrost, minimalitu, nejmenšnost, …

Definice. Nechť

(M, \leq)

je úplně uspořádaná množina a

a \in M

. Potom úsek

M

vzhledem k

a

M_{a} ≔ {b \in M | b < a}

Věta (princip transfinitní indukce). Nechť

(M, \leq)

je dobře uspořádaná množina a podmnožina

A \subset M

splňuje

\forall a \in M : M_{a} \subset A ⟹ a \in A

. Potom

A = M

Důkaz. Předpokládejme pro spor, že doplněk

M ∖ A

je neprázdný. Potom má nejmenší prvek

a

, neboli

\forall b \in M ∖ A : b \geq a

, neboli

\forall c \in M : c < a ⟹ c \in A

. Tedy

M_{a} \subset A

. Podle předpokladu

a \in A

, což je spor.

Příklad. Mějme množinu

ℕ

s obvyklým uspořádáním a

ℕ

se zvláštním uspořádáním, kde každé liché číslo je menší než každé sudé číslo a jinak jsou uspořádaná obvykle. Potom v první množině úsek každého prvku kromě nejmenšího má největší prvek, ale ve druhé úsek podle čísla

2

nemá největší prvek.

Věta (Zermelova o dobrém uspořádání). Na každé množině lze zavést dobré uspořádání právě tehdy, pokud platí axiom výběru.

Kardinalita

Definice. Množiny

M, N

jsou ekvivalentní, pokud existuje bijekce

f : M \to N

. Značíme

M ≃ N

card M = card N

Definice. Množina

N

je subvalentní množině

M

, pokud existuje prosté zobrazení

f : N \to M

. Značíme

card N \leq card M

Lemma. Nechť

M

je množina,

φ : M \to M

je prosté a

N

množina taková, že

φ (M) \subset N \subset M

. Potom

N ≃ M

Důkaz. Definujme rekurentně posloupnost množin

M_{0} ≔ M, M_{1} ≔ N, M_{n + 2} ≔ φ (M_{n})

. Snadno ověříme, že

\forall n \in ℕ_{0} : M_{n} \supset M_{n + 1}

. Zároveň z definice posloupnosti plyne, že

φ

je bijekce mezi každými

M_{n}

M_{n + 2}

. Z toho plyne, že je také bijekce mezi

M_{n} ∖ M_{n + 1}

M_{n + 2} ∖ M_{n + 3}

. Máme

M = \underset{A}{\underset{⏟}{⋂_{n = 0}^{\infty} M_{n}}} ⊎ \underset{B}{\underset{⏟}{⨄_{k = 0}^{\infty} (M_{2 k} ∖ M_{2 k + 1})}} ⊎ \underset{C}{\underset{⏟}{⨄_{k = 0}^{\infty} (M_{2 k + 1} ∖ M_{2 k + 2})}}

N = \underset{A}{\underset{⏟}{⋂_{n = 0}^{\infty} M_{n}}} ⊎ \underset{φ (B)}{\underset{⏟}{⨄_{k = 1}^{\infty} (M_{2 k} ∖ M_{2 k + 1})}} ⊎ \underset{C}{\underset{⏟}{⨄_{k = 0}^{\infty} (M_{2 k + 1} ∖ M_{2 k + 2})}}

(kde

⊎

značí sjednocení disjunktních množin).

Definujeme zobrazení

ψ : M \to N

, které je požadovanou bijekcí:

ψ (x) ≔ {\begin{matrix} x, & x \in A \cup C \\ φ (x), & x \in B \end{matrix}

Věta (Cantor-Bernstein-Schröder). Nechť

M, N

jsou množiny a

f : M \to N, g : N \to M

prostá zobrazení. Potom existuje bijekce

h : M \to N

Důkaz. Nechť

φ ≔ g \circ f

. Potom

φ (M) = g (f (M)) \subset g (N) \subset M

. Podle předchozího lemmatu je

g (N) ≃ M

, tedy existuje bijekce

h : g (N) \to M

. Jelikož

g

je bijekce z

N

g (N)

h \circ g

je bijekce z

N

M

Důsledek. Subvalence množin na množině množin rozdělené podle ekvivalence

≃

je uspořádání.

Důkaz.

Dobře definované: Skládání funkcí.
Reflexivita: Bijekce je prosté zobrazení.
Tranzitivita: Skládání funkcí.
Antisymetrie: Cantor-Bernstein-Schröder.

Příklad.

$card M = | M |$ pro $M$ konečnou
$card ℕ = card ℚ ≕ ℵ_{0}$
$card ℝ ≕ 𝔠 = 2^{ℵ_{0}}$

Věta (Cantor). Pro každou množinu

M

card M < card 𝒫 (M)

Důkaz. Zřejmě platí neostrá nerovnost, jelikož existuje prostá funkce

f : M \to 𝒫 (M), f (x) ≔ {x}

. Předpokládejme pro spor, že platí rovnost. Potom existuje surjektivní funkce

g : M \to 𝒫 (M)

. Nechť

D ≔ {x \in M | x \notin g (x)}

. Vezměme nějaké

d

takové, že

g (d) = D

, potom nemůže být

d \in D

ani

d \notin D

Důsledek. Kardinalit je nekonečně mnoho.

Ordinální čísla

Definice. Dvě dobře uspořádané množiny

A, B

mají stejné ordinální číslo, pokud jsou uspořádané podobně. Značíme

ord A = ord B

Příklad.

$ord (M, ⪯) = | M |$ pro $M$ konečnou a jakékoli uspořádání
$ord (ℕ, \leq) ≕ ω$ (s uspořádáním $\leq$ )
$ord (ℕ, ⪯) \neq ω$ (s uspořádáním $1 ≺ 3 ≺ 5 ≺ \dots ≺ 2 ≺ 4 ≺ \dots$ )

Definice. Nechť

(M_{1}, \leq_{1}), (M_{2}, \leq_{2})

jsou disjunktní uspořádané množiny. Jejich uspořádané sjednocení je

(M_{1}, \leq_{1}) + (M_{2}, \leq_{2}) ≔ (M_{1} \cup M_{2}, \leq)

, kde

x \leq y ⟺ (x, y \in M_{1} \land x \leq_{1} y) \lor (x, y \in M_{2} \land x \leq_{2} y) \lor (x \in M_{1} \land y \in M_{2})

Příklad. Divná uspořádaná množina z příkladů výše se dá zapsat jako

(2 ℕ - 1, \leq) + (2 ℕ, \leq)

Věta.

\leq

z definice uspořádaného sjednocení je uspořádání.

Důkaz. Pracný, ale triviální.

Věta. Jsou-li

A, B

úplně uspořádané množiny, potom

A + B

je úplně uspořádaná množina.

Věta. Jsou-li

A, B

dobře uspořádané množiny, potom

A + B

je dobře uspořádaná množina.

Definice. Nechť

(M_{1}, \leq_{1}), (M_{2}, \leq_{2})

jsou uspořádané množiny. Jejich uspořádaný kartézský součin je

(M_{1}, \leq_{1}) \cdot (M_{2}, \leq_{2}) ≔ (M_{1} \times M_{2}, \leq)

, kde

x \leq y ⟺ x_{2} < y_{2} \lor (x_{2} = y_{2} \land x_{1} \leq y_{1})

(tedy je to lexikografické uspořádání, ale vopáčně)

Příklad. Uspořádaná množina

(ℕ, \leq) \cdot ({1,2}, \leq)

je podobná divné uspořádané množině z příkladů výše. Zato uspořádaná množina

({1,2}, \leq) \cdot (ℕ, \leq)

je podobná

(ℕ, \leq)

Věta.

\leq

z definice uspořádaného kartézského součinu je uspořádání.

Důkaz. Triviální.

Věta. Jsou-li

A, B

úplně uspořádané množiny, potom

A \cdot B

je úplně uspořádaná množina.

Věta. Jsou-li

A, B

dobře uspořádané množiny, potom

A \cdot B

je dobře uspořádaná množina.

Definice. Nechť

A, B

jsou dobře uspořádané množiny a

α ≔ ord A, β ≔ ord B

jejich ordinální čísla. Potom definujeme aritmetické operace

α + β ≔ ord (A + B)

α \cdot β ≔ ord (A \cdot B)

Příklad. Podle příkladů výše je

ω + ω = ω \cdot 2 \neq 2 \cdot ω = ω

Příklad.

ω + 1 \neq 1 + ω = ω

Věta. Sčítání a násobení ordinálních čísel je asociativní.

Definice (uspořádání ordinálních čísel). Řekneme, že

ord A \leq ord B

, pokud

A

je uspořádaná podobně jako

B

nebo jako nějaký úsek v

B

Věta. Uspořádání ordinálních čísel je skutečně uspořádání.

Důkaz. Reflexivita plyne přímo z definice. Tranzitivita je triviální. Pro antisymetrii předpokládejme pro spor, že

ord A < ord B < ord A

. Z tranzitivity plyne

ord A < ord A

, tedy

A ≃ A_{a}, a \in A

, neboli

f : A \to A_{a}

je podobnostní zobrazení. Potom

f (a) < a

a aplikací

f^{n}

na obě strany dostaneme

f^{n + 1} (a) < f^{n} (a)

. Tím jsme vytvořili nekonečnou ostře klesající posloupnost v

A

, což je spor s tím, že

A

je dobře uspořádaná.

Věta. Uspořádání ordinálních čísel je dobré.

Důkaz. Netriviální. Na přednášce se nedělal.

Poznámka. Pro každé ordinální číslo

α = ord A

α = ord W (α) ≔ ord {ord A_{α} | a \in A}

. Tedy každé ordinální číslo se rovná ordinálnímu číslu množiny všech menších ordinálních čísel. Ke ordinálnímu číslu také můžeme přiřadit kardinalitu:

α \mapsto card A

. Platí

ord A \leq ord B ⟹ card A \leq card B

card A < card B ⟹ ord A < ord B

. Ovšem může se stát, že

ord A < ord B \land card A = card B

. Ordinální čísla se stejnou kardinalitou tedy tvoří jakýsi interval. Kardinální číslo identifikujeme s prvním ordinálním číslem, které má takovou kardinalitu (které existuje, protože ordinální čísla jsou dobře uspořádaná).

Grupy

Definice. Grupoid je množina

M \neq \emptyset

s jednou binární operací:

(M, *)

Meme, kde Bob Ross maluje nápis (G,*) a povídá: “And we'll give this little set a binary operation, because everyone needs a friend.”

Definice. Pologrupa je grupoid, jehož operace je asociativní:

\forall a, b, c \in M : (a * b) * c = a * (b * c)

Definice. Komutativní pologrupa je pologrupa, jejíž operace je komutativní:

\forall a, b \in M : a * b = b * a

Věta. Při postupném vyhodnocování operací na

n

prvcích v pologrupě nezáleží na pořadí závorek.

Důkaz. Indukcí.

Definice. Monoid je algebra

(M, *, e)

, kde

*

je asociativní binární operace a

e \in M

neutrální prvek splňující

\forall a \in M : a * e = e * a = a

Věta. Každý monoid má právě jeden neutrální prvek.

Důkaz. Nechť

e, e^{'}

jsou neutrální prvky. Potom

e = e * e^{'} = e^{'}

Příklad.

(ℤ, +, 0), (ℕ_{0}, +, 0), (ℕ, \cdot, 1)

jsou monoidy, ale

(ℕ, +)

je jen pologrupa.

Příklad. Množina konečných slov nad nějakou abecedou tvoří monoid, kde binární operace je řetězení a neutrální prvek je prázdné slovo.

Příklad.

SL (2, ℕ_{0}) ≔ ({𝐀 \in ℕ_{0}^{2 \times 2} | \det 𝐀 = 1}, \cdot, 𝐈)

je monoid izomorfní monoidu

{0,1}^{*} ≔ k o n e \overset{ˇ}{c} n \overset{ˊ}{a} s l o v a s e z n a k y 0,1

(důkaz izomorfie netriviální; přiřadí se

0 \mapsto (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}), 1 \mapsto (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array})

Poznámka. Homomorfismus mezi pologrupami nemusí být homomorfismus mezi monoidy!

Příklad. Mějme množiny

D ≔ {0,1}

s násobením,

E ≔ {e}

s jedinou možnou operací. Potom funkce

f : E \to D

je homomorfismus mezi pologrupami, ať už ji definujeme jakkoli, ale aby šlo o homomorfismus mezi monoidy, musí být

f (e) = 1

Definice. Nechť

(M, *)

je pologrupa. Prvek

a \in M

je absorbující, pokud

\forall b \in M : a * b = b * a = a

Definice. Nechť

(M, *, e)

je monoid. Prvek

a \in M

je invertibilní, pokud

\exists b \in M : a * b = b * a = e

Příklad. Pro dané

m \in ℕ

mějme monoid

(ℤ_{m}, \cdot_{m}, 1)

. Pro

m = 6

jsou invertibilní prvky

1,5

Věta. V monoidu

(ℤ_{m}, \cdot_{m}, 1), m \in ℕ

je prvek

k

invertibilní právě tehdy, pokud

k ⟂ m

Důkaz.

k

je invertibilní, právě pokud existují

\exists l, n \in ℤ

taková, že

: k l = n m + 1

, tedy

k l - n m = 1

. Podle Bézoutovy věty má tato rovnice řešení, právě když

k ⟂ m

Definice. Grupa je monoid, kde všechny prvky jsou invertibilní. Zavedeme-li funkci

ι

, která prvku přiřadí inverzi, můžeme ji brát jako součást algebry:

(M, *, e, ι)

Poznámka. Pro pologrupy, monoidy a grupy můžeme používat multiplikativní zápis, kde značíme

$* ≕ \cdot$
$\underset{n \times}{\underset{⏟}{a * \dots * a}} ≕ a^{n}$
$e ≕ 1$
$ι (a) ≕ a^{- 1}$

Poznámka. Pro pologrupy, monoidy a grupy můžeme používat aditivní zápis, kde značíme

$* ≕ +$
$\underset{n \times}{\underset{⏟}{a * \dots * a}} ≕ n \cdot a$
$e ≕ 0$
$ι (a) ≕ - a$

Věta. Nechť

m \in ℕ

. Definujme

Z_{m}^{\times} ≔ {k \in ℤ_{m} | k ⟂ m}

. Potom

(ℤ_{m}^{\times}, \cdot_{m}, 1)

je grupa.

Důkaz.

Uzavřenost: Je-li $k, l ⟂ m$ , potom taky $k l ⟂ m$ .
Asociativita: Zdědí se.
Neutrální prvek: $1 ⟂ m$ pro každé $m$ .
Inverze: Pokud $k ⟂ m$ , potom $k k^{- 1} \equiv 1 (m o d m)$ , tedy $k^{- 1} ⟂ m$ .

Definice. Grupoid

(M, *)

má dělení, pokud pro všechna

a \in M

jsou funkce

x \mapsto a * x

y \mapsto y * a

surjektivní.

Definice. Grupoid

(M, *)

má krácení, pokud pro všechna

a \in M

jsou funkce

x \mapsto a * x

y \mapsto y * a

injektivní.

Definice. Kvazigrupa je grupoid, který má dělení a krácení.

Definice. Lupa je kvazigrupa, která má neutrální prvek.

Příklad.

(ℤ, -)

(ℚ ∖ {0}, \div)

jsou kvazigrupy, ale ne lupy.

Věta. Pokud má monoid

(M, *, e)

dělení, potom je to grupa.

Důkaz. Jistě pro každé

a \in M

existují

x, y \in M

taková, že

a * x = y * a = e

. Zároveň máme

x = y * a * x = y

, tedy

x = y

je inverze

a

Důsledek. Je-li lupa asociativní, potom je to grupa.

Poznámka. Konečný grupoid

{a_{1}, \dots, a_{n}}

můžeme znázornit pomocí Cayleyovy tabulky:

\begin{array}{ccccc} * & a_{1} & a_{2} & \dots & a_{n} \\ a_{1} & a_{1} * a_{1} & a_{1} * a_{2} & \dots & a_{1} * a_{n} \\ a_{2} & a_{2} * a_{1} & a_{2} * a_{2} & \dots & a_{2} * a_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n} & a_{n} * a_{1} & a_{2} * a_{n} & \dots & a_{n} * a_{n} \end{array}

Je-li prvek neutrální, potom jeho řádek a sloupec odpovídají záhlaví. Je-li prvek absorbující, potom jeho řádek a sloupec jsou plné něj. Je-li grupoid komutativní, potom tabulka je symetrická. Má-li grupoid dělení nebo krácení, potom v každém řádku a sloupci jsou všechny prvky – z toho je hezky vidět, že v konečném grupoidu jsou dělení a krácení ekvivalentní.

Věta. Nechť

(G, *, e, ι)

je grupa a

x, y \in G

. Potom

y x = x ⟹ y = e

x y = x ⟹ y = e

Důkaz. Stačí vynásobit ze správné strany

ι (x)

Věta. Nechť

(G, *, e, ι)

je grupa a

x, y \in G

. Potom

x y = e ⟹ y = ι (x)

y x = e ⟹ y = ι (x)

Důkaz. Stačí vynásobit ze správné strany

ι (x)

Věta. Nechť

(G, *, e, ι)

je grupa. Potom

ι \circ ι = ℐ

Důkaz.

e = ι (x) x ∴ x = ι (ι (x))

Věta. Nechť

(G, *, e, ι)

je grupa a

x, y \in G

. Potom

ι (x y) = ι (y) ι (x)

Důkaz.

ι (y) ι (x) x y = e = ι (x y) x y

Věta. Nechť

(G, *, e, ι), (\tilde{G}, \tilde{*}, \tilde{e}, \tilde{ι})

jsou grupy a

f : G \to \tilde{G}

. Je-li

\forall x, y \in G : f (x * y) = f (x) \tilde{*} f (y)

, potom je

f

homomorfismus.

Důkaz.

f (e) = f (e * e) = f (e) \tilde{*} f (e) ∴ \tilde{ι} (f (e)) \tilde{*} f (e) = f (e) ∴ \tilde{e} = f (e)

\tilde{e} = f (e) = f (x * ι (x)) = f (x) \tilde{*} f (ι (x)) ∴ f (ι (x)) = \tilde{ι} (f (x))

Příklad. Nechť

(G, *, e, ι)

je grupa a

a \in G

. Potom

f_{a} : ℤ \to G, f_{a} (n) ≔ a^{n}

je homomorfismus z grupy

(ℤ, +, 0, -)

Definice. Symetrická grupa na množině

X

S_{X} ≔ ({f : X \to X | f bijekce}, \circ, ℐ,^{- 1})

Speciálně pro

n \in ℕ

je grupa permutací

S_{n} ≔ S_{\hat{n}}

Definice. Nechť

n \in ℕ

. Dihedrální grupa

D_{2 n}

je grupa symetrií pravidelného

n

-úhelníka.

Definice. Nechť

n \in ℕ

T

je těleso. Definujeme maticové grupy

GL (n, T) ≔ ({M \in T^{n \times n} | \det M \neq 0}, \cdot, 𝐈,^{- 1})

SL (n, T) ≔ ({M \in T^{n \times n} | \det M = 1}, \cdot, 𝐈,^{- 1})

O (n, T) ≔ ({M \in T^{n \times n} | M M^{T} = 𝐈}, \cdot, 𝐈,^{- 1})

U (n) ≔ ({M \in ℂ^{n \times n} | M M^{*} = 𝐈}, \cdot, 𝐈,^{- 1})

Speciálně

U (1)

je grupa komplexních jednotek.

Podgrupy

Budeme používat částečný multiplikativní zápis.

Definice. Nechť

G

je grupa. Množina

H \subset G

je podgrupa

G

, pokud

$\forall a, b \in H : a b \in H$
$e \in H$
$\forall a \in H : a^{- 1} \in H$

Věta. Podgrupa je grupa.

Důkaz. Triviální.

Věta. Nechť

G

je grupa. Množina

H \subset G

je podgrupa

G

, pokud je neprázdná a

\forall a, b \in H : a^{- 1} b \in H

Důkaz. Jednoduchý.

Definice. Nechť

f : G \to \tilde{G}

je homomorfismus grup. Potom obraz

f

Im f ≔ f (G)

Věta. Nechť

f : G \to \tilde{G}

je homomorfismus grup. Potom

Im f

je podgrupa

\tilde{G}

Důkaz. Zřejmě

Im f \neq \emptyset

, neboť

\tilde{e} = f (e) \in Im f

. Nechť

\tilde{a}, \tilde{b} \in Im f

. Potom existují

a, b \in G

taková, že

\tilde{a} = f (a), \tilde{b} = f (b)

. Potom

{\tilde{a}}^{- 1} \tilde{b} = f {(a)}^{- 1} f (b) = f (a^{- 1} b) \in Im f

Definice. Nechť

f : G \to \tilde{G}

je homomorfismus grup. Potom jádro

f

\ker f ≔ f^{- 1} ({\tilde{e}})

Věta. Nechť

f : G \to \tilde{G}

je homomorfismus grup. Potom

\ker f

je podgrupa

G

Důkaz. Zřejmě

\ker f \neq \emptyset

, neboť

e \in \ker f

. Nechť

a, b \in \ker f

. Potom

f (a^{- 1} b) = f {(a)}^{- 1} f (b) = {\tilde{e}}^{- 1} \tilde{e} = \tilde{e}

, tedy

a^{- 1} b \in \ker f

Věta. Nechť

f : G \to \tilde{G}

je homomorfismus grup a

H \subset G, \tilde{H} \subset \tilde{G}

jsou podgrupy. Potom

f (H)

je podgrupa

\tilde{G}

f^{- 1} (\tilde{H})

je podgrupa

H

Důkaz. Podobný.

Věta (Cayley). Každá grupa

G

je izomorfní nějaké podgrupě

S_{G}

Důkaz. Nejdeme monomorfismus

f : G \to S_{G}

. Potom

G

bude izomorfní

f (G)

, což je podgrupa

S_{G}

. Definujeme

f (a) ≔ x \mapsto a x

Musíme dokázat, že

f (a) \in S_{G}

, tedy že je to bijekce pro každé

a

f (a) (x) = f (a) (y) ⟹ a x = a y ⟹ x = y

y = a a^{- 1} y = f (a) (a^{- 1} y)

Teď chceme ještě dokázat, že

f

je monomorfismus.

f (a b) = x \mapsto a b x = (x \mapsto a x) \circ (x \mapsto b x) = f (a) f (b)

f (a) = f (b) ⟹ (x \mapsto a x) = (x \mapsto b x) ⟹ (x \mapsto a x) (e) = (x \mapsto b x) (e) ⟹ a e = b e ⟹ a = b

Příklad.

SL (n, T)

je podgrupa

GL (n, T)

, jelikož existuje homomorfismus

f : GL (n, T) \to T ∖ {0}, f (𝐌) ≔ \det 𝐌, \ker f = SL (n, T)

Příklad.

A_{n} ≔ {π \in S_{n} | sgn π = 1}

(alternující grupa) je podgrupa

S_{n}

, jelikož existuje homomorfismus

sgn : S_{n} \to {\pm 1}, \ker sgn = A_{n}

Definice. Nechť

G

je grupa. Potom grupa automorfismů je

Aut (G) ≔ {f \in S_{G} | f homomorfismus}

Věta. Homomorfismus grup

f : G \to \tilde{G}

je prostý právě tehdy, pokud

\ker f = {e}

Důkaz.

(\Rightarrow)

Nechť

f

je prosté a

a \in \ker f

. Potom

f (a) = \tilde{e} = f (e) ∴ a = e

(\Leftarrow)

Nechť

\ker f = {e}

a, b \in G, f (a) = f (b)

. Potom

f (a b^{- 1}) = f (a) f {(b)}^{- 1} = \tilde{e}

, tedy

a b^{- 1} \in \ker f

, tudíž

a b^{- 1} = e ∴ a = b

Věta. Nechť

H_{i}, i \in I

jsou podgrupy grupy

G

. Potom

⋂_{i \in I} H_{i}

je podgrupa.

Důkaz. Nechť

H ≔ ⋂_{i \in I} H_{i}

. Zřejmě

\forall i \in I : e \in H_{i}

, tedy

H \neq \emptyset

. Nechť

a, b \in H

, potom

\forall i \in I : a, b \in H_{i} ∴ \forall i \in I : a b^{- 1} \in H_{i} ∴ a b^{- 1} \in H

Definice. Nechť

G

je grupa a

X \subset G

. Potom podgrupa

G

generovaná množinou

X

{⟨ X ⟩}_{G} ≔ ⋂ {H \subset G | H podgrupa \land X \subset H}

Věta. Nechť

G

je grupa a

X \subset G

. Potom

{⟨ X ⟩}_{G} = {\prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{k_{i}} | n \in ℕ_{0}, x_{i} \in X, k_{i} \in ℤ}

Důkaz. Nechť

H

je množina na pravé straně rovnosti. Pro inkluzi

\subset

stačí dokázat, že

H

je podgrupa a

X \subset H

. To je obojí zřejmé. Inkluze

\supset

plyne z toho, že

{⟨ X ⟩}_{G}

je podgrupa.

Příklad. Mějme grupu

ℤ

se sčítáním. Potom

${⟨ 2 ⟩}_{ℤ} = 2 ℤ$
${⟨ 2,3 ⟩}_{ℤ} = ℤ$
${⟨ 4,6 ⟩}_{ℤ} = 2 ℤ$

Obecně z Bézoutovy věty plyne

{⟨ k, m ⟩}_{ℤ} = nsd (k, m) ℤ

Definice. Řád grupy

G

je počet jejích prvků,

| G |

Definice. Nechť

G

je grupa a

a \in G

. Potom řád prvku

a

| a | ≔ | {⟨ a ⟩}_{G} |

Definice. Nechť

G

je grupa. Prvek

a \in G

je involutivní, pokud

a^{2} = e

Věta. Nechť

G

je grupa a

a \in G

. Potom nastane jedna z možností:

$f : ℤ \to G, f (k) ≔ a^{k}$ je monomorfismus, ${⟨ a ⟩}_{G} ≃ ℤ$ a $| a | = \infty$ .
$\tilde{f} : ℤ_{n} \to G, \tilde{f} (k) ≔ a^{k}$ je monomorfismus, ${⟨ a ⟩}_{G} ≃ ℤ_{n}$ a $| a | = n \in N$ .

Důkaz.

Je-li $\ker f = {0}$ , potom $f$ je monomorfismus, z čehož zjevně plynou další dvě tvrzení.
Nechť $\ker f \neq {0}$ . Označme $n ≔ \min (\ker f \cap ℕ^{+}) = \min {l \in ℕ | a^{l} = e}$ . Potom snadno ověříme, že $a^{k} = a^{l} ⟺ a \equiv l (m o d n)$ . Z toho zjevně plynou všechna tři tvrzení.

Věta. Nechť

G

je grupa a

a, b \in G

. Potom

$| a^{- 1} | = | a |$
$| a b | = | b a |$
$| a b a^{- 1} | = | b |$
$a b = b a \land | a |, | b | < \infty ⟹ | a b | | | a | \cdot | b |$

Důkaz.

${⟨ a^{- 1} ⟩}_{G} = {⟨ a ⟩}_{G}$
Je-li $| a b | = n \in ℕ$ , potom ${(b a)}^{n + 1} = b {(a b)}^{n} a = b a$ , tedy ${(b a)}^{n} = e$ . Z toho plyne $| b a | | | a b |$ . Analogicky $| a b | | | b a |$ .
Plyne z předchozího bodu, kde za $b$ zvolíme $b a^{- 1}$ .
Nechť $n ≔ | a |, m ≔ | b |$ . Potom ${(a b)}^{m \cdot n} = {(a^{n})}^{m} {(b^{m})}^{n} = e$ .

Cyklické grupy

Definice. Grupa

G

je cyklická, pokud

\exists a \in G : ⟨ a ⟩ = G

Poznámka. Je-li grupa cyklická, potom je izomorfní

ℤ

nebo

ℤ_{n}

Věta. Podgrupa cyklické grupy je cyklická.

Důkaz. Snadno dokážeme pro

ℤ, ℤ_{n}

a aplikujeme isomorfismus.

Důsledek. Cyklická grupa s

n

prvky má právě

φ (n)

generátorů.

Věta. Nechť

G = ⟨ a ⟩

je cyklická grupa. Potom

je-li $| G | = \infty$ , potom jediné generátory $G$ jsou $a, a^{- 1}$ .
je-li $| G | = n \in ℕ$ , potom $a^{j}$ je generátor $G$ , právě když $j ⟂ n$ .

Důkaz. Snadno dokážeme pro

ℤ, ℤ_{n}

a aplikujeme isomorfismus.

Definice. Nechť

n \in ℕ

. Grupa

n

-tých kořenů jedničky je

ℂ_{n} ≔ {\exp (2 π i \frac{k}{n}) | k \in {0, \dots, n - 1}}

s operací násobení.

Definice. Nechť

n \in ℕ

. Čísle

z \in ℂ_{n}

je primitivní

n

-tý kořen jedničky, pokud

z \notin ℂ_{m}

pro každé

m < n

Věta. Nechť

n, m \in ℕ

ℂ_{n}

je podgrupa

ℂ_{m}

, právě když

n | m

Důsledek. Primitivních

n

-tých kořenů jedničky existuje právě

φ (n)

Násobení grup

Definice. Nechť

G_{1}, G_{2}

jsou grupy. Direktní součin grup

G_{1}, G_{2}

je množina

G_{1} \times G_{2}

s operací

*

definovanou jako

(x_{1}, x_{2}) * (y_{1}, y_{2}) ≔ (x_{1} *_{1} y_{1}, x_{2} *_{2} y_{2})

Věta. Direktní součin dvou grup je grupa.

Důkaz. Triviální.

Věta. Nechť

G_{1}, G_{2}

jsou grupy. Nechť

G_{1}^{'} ≔ G_{1} \times {e_{2}}, G_{2}^{'} ≔ {e_{1}} \times G_{2}

. Potom platí

$G_{1}^{'}, G_{2}^{'}$ jsou podgrupy $G_{1} \times G_{2}$
$\forall x_{1} \in G_{1}^{'}, x_{2} \in G_{2}^{'} : x_{1} \cdot x_{2} = x_{2} \cdot x_{1}$
$G_{1}^{'} \cap G_{2}^{'} = {(e_{1}, e_{2})}$
$G_{1}^{'} G_{2}^{'} = G_{1} \times G_{2}$

Důkaz. Triviální.

Věta. Navopák, nechť

G

je grupa a

G_{1}, G_{2}

její podgrupy takové, že platí

$\forall x_{1} \in G_{1}, x_{2} \in G_{2} : x_{1} \cdot x_{2} = x_{2} \cdot x_{1}$
$G_{1} \cap G_{2} = {(e_{1}, e_{2})}$
$G_{1} G_{2} = G$

Potom

G ≃ G_{1} \times G_{2}

Důkaz. Definujeme izomorfismus

f : G \to G_{1} \times G_{2}

. Z třetího bodu plyne, že tuto funkci můžeme definovat tak, že pokud

f (g) = (u, v)

, potom

g = u v

(V podstatě

g = *^{- 1}

.). Z druheho bodu plyne, že tato definice je jednoznačná: pokud

g = u v = a b

, potom

v b^{- 1} = u^{- 1} a = e

, tedy

v = b \land u = a

. Dokážeme s využitím prvního bodu, že je to homomorfismus:

f (u v \tilde{u} \tilde{v}) = f (u \tilde{u} v \tilde{v}) = (u \tilde{u}, v \tilde{v}) = f (u v) f (\tilde{u} \tilde{v})

Věta (čínská zbytková). Nechť

m_{1}, \dots, m_{k} \in ℕ

jsou po dvou nesoudělná. Potom pro každá

r_{1}, \dots, r_{k} \in ℤ

existuje řešení

x \in ℤ

soustavy

\forall i \in \hat{k} : x \equiv r_{i} mod m_{i}

, které je jednoznačné modulo

M ≔ \prod_{i = 1}^{k} m_{i}

Důkaz. Viz DIM1.

Věta. Nechť

m_{1}, \dots, m_{k} \in ℕ

jsou po dvou nesoudělná a

M ≔ \prod_{i = 1}^{k} m_{i}

. Potom

f : ℤ_{M} \to ℤ_{m_{1}} \times \dots \times ℤ_{m_{k}}, f (n) ≔ (n mod m_{1}, \dots, n mod m_{k})

je izomorfismus grup.

Důkaz. Zjevně je to homomorfismus. To, že je bijektivní, je ekvivalentní s čínskou zbytkovou větou, ovšem jde to snadno dokázat i bez ní. Injektivita plyne ze skutečnosti, že jádro je triviální. Surjektivita plyne s injektivity a toho, že obě množiny jsou stejně velké.

Klasifikace konečně generovaných abelovských grup

Definice. Grupa se nazývá abelovská, pokud je komutativní.

Definice. Grupa je konečně generovaná, pokud má konečnou množinu generátorů.

Věta. Nechť

G

je abelovská grupa. Potom

H ≔ {a \in G | | a | < \infty}

je podgrupa

G

Důkaz. Zjevně

e \in H

, protože neutrální prvek si toho kromě sebe moc nenageneruje. Stačí tedy dokázat, že pokud

a, b \in H

, potom

a^{- 1} b \in H

. To plyne z již dokázané skutečnosti, že pro komutující prvky je

| a b | | | a | | b |

Definice. Nechť

G

je konečně generovaná abelovská grupa. Potom

G_{tor} ≔ {a \in G | | a | < \infty}

je torzní část

G

. Je-li

G_{tor} = {e}

, potom

G

je grupa bez torze. Je-li

G_{tor} = G

, potom

G

je torzní grupa.

Definice. Grupa

G

je volná abelovská grupa, pokud

G ≃ ℤ^{n}

Věta. Nechť

G

je konečná abelovská grupa (tedy i konečně generovaná a torzní) a

p \in ℙ, p | | G |

. Potom

H ≔ {a \in G | | a | = p^{j}, j \in ℕ_{0}}

je podgrupa

G

Důkaz. Zřejmě

e \in H

. Nechť

a, b \in H

. Potom

| a^{- 1} b | | | a^{- 1} | \cdot | b | = | a | \cdot | b |

Definice. Nechť

G

je konečná abelovská grupa a

p \in ℙ, p | | G |

. Potom

G (p) ≔ {a \in G | | a | = p^{j}, j \in ℕ_{0}}

p

-primární komponenta grupy

G

Lemma. Nechť

G

je konečná abelovská grupa. Potom

G ≃ ⨉ {G (p) | p \in ℙ, p | | G |}

. Navíc každá

G (p) ≃ ⨉_{i = 1}^{r} ℤ_{p^{j_{i}}}, r \in ℕ, j_{1}, \dots, j_{r} \in ℕ

Důkaz. Bez důkazu.

Věta (klasifikace konečně generovaných abelovských grup). Nechť

G

je konečně generovaná abelovská grupa. Potom existují

n \in ℕ_{0}, p_{1}, \dots, p_{k} \in ℙ, j_{1}, \dots, j_{k} \in ℕ

taková, že

G ≃ ℤ^{n} \times ⨉_{i = 1}^{k} ℤ_{p_{i}^{j_{i}}}

přičemž

n

je dáno jednoznačně,

p_{1}, \dots, p_{k}

nemusí být různa a jsou dána jednoznačně až na pořadí.

Důkaz. Bez důkazu.

Příklad. Nechť

G

je abelovská grupa řádu

18

. Potom

| G (2) | = 2, | G (3) | = 9

. Máme buď

G ≃ ℤ_{2} \times ℤ_{3} \times ℤ_{3}

, nebo

G ≃ ℤ_{2} \times ℤ_{9}

. Tyto dvě možnosti nejsou stejné: ta druhá je podle čínské zbytkové věty izomorfní

ℤ_{18}

, ta první ne. To poznáme například podle toho, že v

ℤ_{9}

mají některé prvky řád

9

, ale v

ℤ_{3} \times ℤ_{3}

je řád každého prvku nanejvýš

3

Příklad. Nechť

ω ≔ \exp (\frac{2 π i}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + i)

. Definujme

ℤ [ω] ≔ {a + b ω + c ω^{2} + d ω^{3} | a, b, c, d \in ℤ}

To je zjevně monoid vzhledem k násobení. Abychom z néj udělali grupu, potřebujeme odstranit prvky, které nemají inverzi. Tím vznikne (bez důkazu)

ℤ {[ω]}^{\times} ≔ {ω^{j} {(1 + \sqrt{2})}^{k} | k \in ℤ, j \in ℤ}

Tato grupa je zjevně konečně generovaná, konkrétně

ℤ {[ω]}^{\times} = ⟨ ω, 1 + \sqrt{2} ⟩

. Jelikož

| ω | = 8, | 1 + \sqrt{2} | = \infty

, máme

ℤ {[ω]}_{tor}^{\times} = {ω^{j} | j \in ℤ}

. Celkově

ℤ {[ω]}^{\times} ≃ ℤ \times ℤ_{8}

Faktorizace podle podgrupy

Definice. Nechť

G

je grupa a

H

její podgrupa. Potom na

G

zavedeme relace

\sim_{H}, {}_{H}\sim

jako

a \sim_{H} b ⟺ a b^{- 1} \in H ⟺ \exists h \in H : a = h b

a {}_{H}\sim b ⟺ a^{- 1} b \in H ⟺ \exists h \in H : b = h a

Věta. Relace

\sim_{H}

z definice výše je ekvivalence.

Důkaz.

Reflexivita: $a a^{- 1} = e \in H$
Symetrie: $a b^{- 1} \in H ⟹ b a^{- 1} = {(a b^{- 1})}^{- 1} \in H$
Tranzitivita: $a b^{- 1} \in H \land b c^{- 1} \in H ⟹ a c^{- 1} = a b^{- 1} b c^{- 1} \in H$

Definice. Nechť

G

je grupa a

H

její podgrupa. Potom

G ╱ H ≔ {{[a]}_{\sim_{H}} | a \in G} = {H a | a \in G}

H ╲ G ≔ {{[a]}_{{}_{H}\sim} | a \in G} = {a H | a \in G}

Věta. Nechť

G

je grupa,

H

její podgrupa a

a \in G

. Potom

| a H | = | H a | = | H |

Důkaz. Zobrazení

x \mapsto a x

je bijekce mezi

H

a H

. Analogicky vopáčně.

Věta (Lagrange). Nechť

G

je konečná grupa a

H

její podgrupa. Potom

| G ╱ H | = | H ╲ G | = \frac{| G |}{| H |}

Důkaz. Triviálně plyne z předchozího tvrzení.

Důsledek. Je-li

G

konečná grupa a

H

její podgrupa, potom

| H | | | G |

. Speciálně pro

a \in G

| a | | | G |

Důsledek (Euler). Nechť

a, n \in ℕ, a ⟂ n

. Potom

a^{φ (n)} \equiv 1 (m o d n)

Důkaz. Vezměme grupu

ℤ_{n}^{\times}

s násobením modulo

n

. Nechť

a \in ℤ_{n}^{\times}

, potom podle Lagrangeovy věty

| a | | | G | = φ (n)

, tedy

a^{φ (n)} = 1

Hezký článek o podgrupách, Lagrangeově větě a Eulerově větě

Definice. Nechť

G

je grupa. Ekvivalence

\equiv

G

je kongruence, pokud

\forall a, b, c, d \in G : a \equiv c \land b \equiv d ⟹ a b \equiv c d

Věta. Nechť

\equiv

je kongruence na grupě

G

. Množina

G ╱ \equiv

s operací

{[a]}_{\equiv} * {[b]}_{\equiv} ≔ {[a b]}_{\equiv}

je grupa.

Důkaz.

Dobre definovaná: z definice kongruence
Asociativita: $([a] [b]) [c] = [a b] [c] = [a b c] = [a] [b c] = [a] ([b] [c])$
Neutrální prvek: $[e] [a] = [e a] = [a] = [a e] = [a] [e]$
Inverze: $[a] [a^{- 1}] = [a a^{- 1}] = [e] = [a^{- 1} a] = [a^{- 1}] [a]$

Definice. Podgrupa

H

grupy

G

je normální, pokud

\forall a \in G : a H = H a

. Značíme

H ◃ G

Věta. Nechť

G

je grupa a

H

její podgrupa. Potom

\sim_{H}

je kongruence, právě když

H ◃ G

Důkaz.

(\Leftarrow)

Nechť

H ◃ G

a, b, c, d \in G

a \sim_{H} b, c \sim_{H} d

, neboli

a b^{- 1}, c d^{- 1} \in H

. Potom

a c {(b d)}^{- 1} = a c d^{- 1} b^{- 1} = a h b^{- 1} = \tilde{h} a b^{- 1} \in H

(\Rightarrow)

Nechť

\sim_{H}

je kongruence a

x \in a H ∴ x = a h

. Potom

h \sim_{H} e

, tedy podle předpokladu kongruence

a h \sim_{H} a e = a

. Vynásobením

a^{- 1}

zprava dostaneme

a h a^{- 1} \sim_{H} a a^{- 1} = e

, tedy

\tilde{h} ≔ a h a^{- 1} \in H

, tudíž

x = \tilde{h} a

Definice. Nechť

H

je normální podgrupa grupy

G

. Potom

G ╱ H = H ╲ G

je faktorgrupa grupy

G

podle

H

Věta. Nechť

G

je grupa a

a \in G

. Potom zobrazení

α_{a} : G \to G, α_{a} (x) ≔ a x a^{- 1}

je automorfismus a zobrazení

α : G \to Aut (G), α (a) ≔ α_{a}

je homomorfismus.

Důkaz.

α_{a}

je zjevně bijekce, protože je to složení bijekcí

x \mapsto a x

x \mapsto x a^{- 1}

. Dokážeme, že je to homomorfismus:

α_{a} (x y) = a x y a^{- 1} = a x a^{- 1} a y a^{- 1} = α_{a} (x) α_{a} (y)

Nyní zbývá ověřit, že

α

je homomorfismus:

α_{a b} (x) = a b x b^{- 1} a^{- 1} = a α_{b} (x) a^{- 1} = α_{a} (α_{b} (x)) = (α_{a} \circ α_{b}) (x)

Důsledek. Množina

{α_{a} | a \in G}

je podgrupa grupy

Aut (G)

Definice. Nechť

G

je grupa a

a \in G

. Zobrazení

α_{a} : G \to G, α_{a} (x) ≔ a x a^{- 1}

se nazývá vnitřní automorfismus grupy

G

. Grupa všech vnitřních automorfismů se značí

Inn (G) ≔ {α_{a} | a \in G}

Věta. Podgrupa

H

grupy

G

je normální, právě když je uzavřená vůči všem vnitřním automorfismům

G

, tedy

\forall a \in G, h \in H : a h a^{- 1} \in H

Důkaz.

(\Rightarrow)

α_{a} (h) = a h a^{- 1} = \tilde{h} a a^{- 1} = \tilde{h}

(\Leftarrow)

a h = a h a^{- 1} a = α_{a} (h) a = \tilde{h} a

, analogicky vopáčně

Příklad. Nechť

n \in ℕ

T

je těleso. Potom

SL (n, T) ◃ GL (n, T)

Důkaz. Nechť

𝐀 \in GL (n, T), 𝐗 \in SL (n, T)

. Potom

\det 𝐀 𝐗 𝐀^{- 1} = \det 𝐗 = 1

, tedy

𝐀 𝐗 𝐀^{- 1} \in SL (n, T)

Věta. Nechť

G

je grupa. Potom

Inn (G) ◃ Aut (G)

Důkaz. Nechť

φ \in Aut (G), α_{a} \in Inn (G)

. Potom

(φ \circ α_{a} \circ φ^{- 1}) (x) = φ (a φ^{- 1} (x) a^{- 1}) = φ (a) φ (φ^{- 1} (x)) φ (a^{- 1}) = φ (a) x φ {(a)}^{- 1} = α_{φ (a)} (x)

Definice. Nechť

G

je grupa. Potom

Out (G) ≔ Aut (G) ╱ Inn (G)

je grupa vnějších automorfismů

G

Věty o izomorfismu

Věta. Podgrupa

H

grupy

G

je normální, právě když je jádrem nějakého homomorfismu

G \to \tilde{G}

Důkaz.

(\Leftarrow)

Nechť

φ : G \to \tilde{G}

je homomorfismus a

H = \ker G

. Nechť

h \in H, a \in G

. Potom

φ (a h a^{- 1}) = φ (a) φ (h) φ (a^{- 1}) = φ (a) \tilde{e} φ {(a)}^{- 1} = \tilde{e}

, tedy

a h a^{- 1} \in H

(\Rightarrow)

Definujme zobrazení

π : G \to G ╱ H, π (a) ≔ {[a]}_{H}

. Zjevně je to homomorfismus a

H = \ker π

. (Předpokladu normálnosti jsme využili k tomu, aby

G ╱ H

vůbec byla grupa.)

Lemma. Nechť

G, \tilde{G}

jsou grupy,

φ : G \to \tilde{G}

homomorfismus a

H ◃ G, H \subset \ker φ

. Potom

\tilde{φ} : G ╱ H \to \tilde{G}, \tilde{φ} ({[a]}_{H}) ≔ φ (a)

je dobře definovaný homomorfismus,

Im \tilde{φ} = Im φ

\ker \tilde{φ} = (\ker φ) ╱ H

Důkaz. Nechť

a, b \in G, a \sim_{H} b

. Potom

φ (b) = φ (a h) = φ (a) φ (h) = φ (a)

, jelikož

h \in \ker φ

. Tedy

\tilde{φ}

je dobře definované. Homomorfismus je to naprosto zřejmě a rovnost obrazů je ještě zřejmější. Pro jádra máme

\ker \tilde{φ} = {[a] | a \in \ker φ} = {a H | a \in \ker φ} = (\ker φ) ╱ H

Věta. Nechť

G

je grupa,

H ◃ G

K \supset H

je podgrupa

G

. Potom

H ◃ K

Důkaz. Triviální.

Věta (první o izomorfismu grup). Nechť

φ : G \to \tilde{G}

je homomorfismus grup. Potom

G ╱ (\ker φ) ≃ Im φ

Důkaz. Použijeme lemma, přičemž volíme

H ≔ \ker φ

. Z toho plyne, že

\tilde{φ} : G ╱ H \to \tilde{G}

je homomorfismus.

\tilde{φ}

je prosté, jelikož

\ker \tilde{φ} = (\ker φ) ╱ (\ker φ) = {e}

, a jeho obraz se rovná obrazu

φ

, tedy jde o izomorfismus

G ╱ (\ker φ) \to Im φ

Příklad. Z homomorfismu

φ : ℤ \to ℤ_{n}, φ (m) ≔ m mod n

plyne

ℤ ╱ (n ℤ) ≃ ℤ_{n}

Příklad. Z homomorfismu

\det : GL (n, T) \to T

plyne

GL (n, T) ╱ SL (n, T) ≃ T ∖ {0}

Příklad. Z homomorfismu

φ : ℝ \to ℂ^{\times}, φ (x) ≔ \exp (2 π x)

plyne

ℝ ╱ ℤ ≃ C ≔ {z \in ℂ | | z | = 1}

Věta (druhá o izomorfismu grup). Nechť

G

je grupa a

H ◃ G, K ◃ G, H \subset K

. Potom

H ◃ K, K ╱ H ◃ G ╱ H

(G ╱ H) ╱ (K ╱ H) ≃ G ╱ K

(tedy funguje „krácení zlomku“).

Důkaz. Definujme

π : G \to G ╱ K, π (a) ≔ [a] = a K

. Podle lemmatu existuje homomorfismus

\tilde{π} : G ╱ H \to G ╱ K

splňující

Im \tilde{π} = Im π = G ╱ K

\ker \tilde{π} = (\ker π) ╱ H = K ╱ H

. Jelikož

K ╱ H

je jádro homomorfismu, je to grupa, tudíž

H ◃ K

. Použitím první věty o izomorfismu na

\tilde{π}

dostaneme zbylá dvě tvrzení.

Příklad. Nechť

m, n \in ℕ, n | m

. Potom

(ℤ ╱ m ℤ) ╱ (n ℤ ╱ m ℤ) ≃ ℤ ╱ n ℤ

Věta. Nechť

G

je grupa,

H ◃ G

K

je podgrupa

G

. Potom

K H = H K

je podgrupa

G

Důkaz. Rovnost platí, protože pro každé

k \in K

k H = H k

. Zjevně

e \in K H

. Nechť

(k_{1} h_{1}), (k_{2} h_{2}) \in K H

, potom

{(k_{1} h_{1})}^{- 1} k_{2} h_{2} = h_{1}^{- 1} k_{1}^{- 1} k_{2} h_{2} = h_{1}^{- 1} k_{3} h_{2} = h_{1}^{- 1} h_{3} k_{4} = h_{4} k_{4} \in H K

Věta (třetí o izomorfismu grup). Nechť

G

je grupa,

H ◃ G

K

je podgrupa

G

. Potom

(K \cap H) ◃ K, H ◃ (H K)

a platí

K ╱ (K \cap H) ≃ (H K) ╱ H

Důkaz. Definujme

φ : K \to G ╱ H, φ (k) ≔ [k]

(zúžení obvyklé projekce na

K

). Potom

\ker φ = {a \in K | φ (a) = [e]} = {a \in K | a \in H} = K \cap H

Im φ = {k H | k \in K} = {k h H | k \in K, h \in H} = (H K) ╱ H

Nyní stačí použít první větu o izomorfismu.

Příklad. Nechť

a, b \in ℤ

. Potom

(b ℤ) ╱ (nsn (a, b) ℤ) ≃ (nsd (a, b) ℤ ╱ a ℤ)

. Z Lagrangeovy věty potom plyne známý vzoreček

nsd (a, b) \cdot nsn (a, b) = a \cdot b

Akce grupy

Definice. Nechť

G

je grupa a

X

libovolná množina. Zobrazení

\cdot : G \times X \to X

je akce grupy

G

na množině

X

, pokud

$\forall x \in X : e \cdot x = x$
$\forall g, h \in G, x \in X : (g h) \cdot x = g \cdot (h \cdot x)$

Příklad. Nechť

G = S_{x}

. Potom zobrazení

π \cdot x ≔ π (x)

je akce.

Definice. Nechť

\cdot

je akce grupy

G

na množině

X

. Prvek

x \in X

je pevný bod

g \in G

, pokud

g \cdot x = x

Definice. Nechť

\cdot

je akce grupy

G

na množině

X

. Stabilizátor prvku

x \in X

G_{x} ≔ {g \in G | g \cdot x = x}

Definice. Nechť

\cdot

je akce grupy

G

na množině

X

. Orbita prvku

x \in X

O_{x} ≔ {g \cdot x | g \in G}

Věta. Nechť

\cdot

je akce grupy

G

na množině

X

x \in X

. Potom

G_{x}

je podgrupa

G

Důkaz. Zjevně

e \in G_{x}

. Nechť

g, h \in G_{x}

, potom

(g^{- 1} h) \cdot x = g^{- 1} \cdot (h \cdot x) = g^{- 1} \cdot x = g^{- 1} \cdot (g \cdot x) = (g^{- 1} g) \cdot x = x

Věta. Nechť

\cdot

je akce grupy

G

na množině

X

. Potom relace

x \sim y ⟺ g \in O_{x}

je ekvivalence a její třídy jsou orbity všech prvků.

Důkaz.

Reflexivita: $e \cdot x = x$
Symetrie: $y = g \cdot x ⟹ x = (g^{- 1} g) \cdot x = g^{- 1} \cdot y$
Tranzitivita: $y = g \cdot x \land z = h \cdot y ⟹ z = h \cdot (g \cdot x) = (h g) \cdot x$

{[x]}_{\sim} = {y \in X | y \sim x} = {g \cdot x | g \in G} = O_{x}

Příklad. Nechť

G ≔ ℝ^{n}, X ≔ ℝ^{n}

. Potom zjevně sčítání je akce, stabilizátory všech prvků jsou

{\vec{0}}

a orbity všech prvků jsou celé

ℝ^{n}

Příklad. Nechť

G ≔ GL (n, ℝ), X ≔ ℝ^{n}

. Potom zjevně násobení je akce, ale pro nenulové vektory už stabilizátory a grupy mohou být netriviální.

Definice. Centrum grupy

G

Z_{G} ≔ {g \in G | \forall x \in G : g x = x g}

Definice. Nechť

G

je grupa. Centralizátor prvku

x \in G

C_{x} ≔ {g \in G | g x = x g}

Příklad. Každá grupa

G

má akce sama na sebe:

$g \cdot x ≔ g x$
$g \cdot x ≔ x g^{- 1}$
$g \cdot x ≔ g x g^{- 1}$

První a druhá akce mají nudné stabilizátory a orbity. V té třetí se stabilizátor prvku rovná jeho centru.

Věta. Nechť

\cdot

je akce grupy

G

na množině

X

G

je konečná a

x \in X

. Potom

| G | = | G_{x} | \cdot | O_{x} |

Důkaz. Z Lagrangeovy věty víme, že

\frac{| G |}{| G_{x} |} = | G_{x} ╲ G |

. Definujme funkci

f : G_{x} ╲ G \to O_{x}, f (g G_{x}) ≔ g \cdot x

. Nejprve musíme ukázat, že

f

je dobře definované. Nechť

g G_{x} = \tilde{g} G_{x}

, tedy

\tilde{g} = g h, h \in G_{x}

. Potom

\tilde{g} \cdot x = g \cdot (h \cdot x) = g \cdot x

. Zjevně

f

je surjektivní. Ještě ukážeme, že je prostá:

g \cdot x = \tilde{g} \cdot x ⟹ x = g^{- 1} \tilde{g} \cdot x ⟹ g^{- 1} \tilde{g} \in G_{x} ⟹ g G_{x} = \tilde{g} G_{x}

. Tudíž

f

je bijekce a její množiny mají stejnou velikost.

Příklad. Mějme grupu

D_{6}

(symetrie rovnostranného trojúhelníku) a množinu

ℝ^{2}

. Akci definujeme tak, že překlopíme celou rovinu tak, aby se správně otočil trojúhelník. Pro střed trojúhleníku stabilizátor celá grupa a orbita jednoprvková. Pro body ležící na prodloužených osách trojúhelníku je dvouprvkový stabilizátor a trojprvková orbita. Pro všechno ostatní je jednoprvkový stabilizátor a šestiprvková orbita.

Okruhy

Definice. Okruh je množina

R

s dvěma binárními operacemi

+, \cdot

, jednou unární operací

-

a dvěma nulárními operacemi

0,1

splňující:

$(R, +, 0, -)$ je komutativní grupa
$(R, \cdot, 1)$ je monoid
$\forall a, b, c \in R : a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ (levá distributivita)
$\forall a, b, c \in R : (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ (pravá distributivita)

Pokud

\cdot

je komutativní, jde o komutativní okruh.

Poznámka. Z vlastností komutativní grupy plyne pro prvky okruhu:

$a + c = b + c ⟹ a = b$
$- (- a) = a$
$- (a + b) = (- a) + (- b)$
$a + b = 0 ⟹ b = - a$

Věta. Nechť

R

je okruh a

a \in R

. Potom

a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0

Důkaz.

a \cdot 0 + 0 = a \cdot 0 = a \cdot (0 + 0) = a \cdot 0 + a \cdot 0

, analogicky vopáčně.

Věta. Nechť

R

je okruh a

a, b \in R

. Potom

- (a \cdot b) = (- a) \cdot b = a \cdot (- b)

Důkaz.

a \cdot b + (- a) \cdot b = (a + (- a)) \cdot b = 0 \cdot b = 0

, analogicky vopáčně.

Věta. Nechť

R

je okruh,

a, b \in R

n \in ℤ

. Definujme operaci

\times : ℤ \times R \to R, n \times x ≔ \underset{n \times}{\underset{⏟}{x + \dots + x}}

pro

n > 0

, pro ostatní

n

rozšířenou zjevným způsobem. Potom

n \times (a \cdot b) = (n \times a) \cdot b = a \cdot (n \times b)

Důkaz. Obousměrnou indukcí podle předtím dokázaných pravidel.

Definice. Nulový okruh je množina

{0 = 1}

s operacemi definovanými zjevně.

Věta. Nachť

R

je okruh. Je-li

0 = 1

, potom

R

je nulový okruh.

Důkaz. Nechť

a \in R

. Potom

a = a \cdot 1 = a \cdot 0 = 0

Příklad. Příklady okruhů s obvyklými operacemi: jakékoli těleso,

ℤ, ℤ_{n}, ℤ [i]

R^{n \times n}

pro

R

okruh

Příklad. Nechť

G

je grupa a

End (G)

množina jejích endomorfismů. Pro

f, g \in End (G), x \in G

definujme

(f \oplus︎ g) (x) ≔ f (x) g (x), f ⊙ g ≔ f \circ g

. Potom

End (G)

s těmito operacemi tvoří okruh.

Příklad. Nechť

X

je libovolná množina a

R

je komutativní okruh. Pro

f, g : X \to R

definujme operace

(f \oplus︎ g) (x) ≔ f (x) + g (x), (f ⊙ g) (x) ≔ f (x) \cdot g (x)

. Potom

R^{X}

s těmito operacemi je okruh.

Definice. Nechť

R

je okruh. Množina

S \subset R

je podokruh, pokud

(S, +)

je podgrupa

(R, +)

(S, \cdot)

je podmonoid

(R, \cdot)

Polynomy a mocninné řady

Definice. Nechť

R

je komutativní okruh. Polynom je výraz ve tvaru

f = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}

, kde

a_{i} \in R

x

je formální proměnná. Na polynomech je zavedena okruhová struktura podle následujících pravidel:

1 x^{0} ≕ 1

\forall k \in ℕ_{0} : 0 x^{k} ≕ 0

\forall a, b \in R, k \in ℕ_{0} : a x^{k} + b x^{k} ≔ (a + b) x^{k}

\forall a, b \in R, k, l \in ℕ_{0} : (a x^{k}) \cdot (b x^{l}) ≔ (a \cdot b) x^{k + l}

Značíme

f \in R [x]

Poznámka. Nechť

R

je komutativní okruh a

f = \sum_{i = 0}^{m} a_{i} x^{i}

g = \sum_{i = 0}^{n} b_{i} x^{i}

jsou polynomy. Potom

f + g = \sum_{i = 0}^{\max (m, n)} (a_{i} + b_{i}) x_{i}

f \cdot g = \sum_{k = 0}^{m + n} (\sum_{i + j = k} a_{i} b_{j}) x^{k}

Poznámka. Každému polynomu

f \in R [x]

lze zřejmým způsobem přiřadit funkci

\tilde{f} : R \to R

, ale toto přiřazení nemusí být jednoznačné!

Příklad. Nechť

R ≔ ℤ_{4}, f ≔ 2 x, g ≔ 2 x^{2}

. Potom

f \neq g

, ale

\tilde{f} = \tilde{g}

Definice. Nechť

R

je komutativní okruh. Stupeň polynomu

f = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} \in R [x], a_{n} \neq 0

\deg f ≔ n

Definice. Nechť

R

je komutativní okruh. Mocninná řada je výraz ve tvaru

f = \sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} x^{i}

, kde

a_{i} \in R

x

je formální proměnná. Na mocninných řadách je zavedena okruhová struktura analogicky jako u polynomů. Značíme

f \in R ⟦ x ⟧

Poznámka. Nechť

R

je komutativní okruh a

f = \sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} x^{i}

g = \sum_{i = 0}^{\infty} b_{i} x^{i}

jsou mocninné řady. Potom

f + g = \sum_{i = 0}^{\infty} (a_{i} + b_{i}) x_{i}

f \cdot g = \sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{i + j = n} a_{i} b_{j}) x^{k}

Poznámka. Je-li

R

komutativní okruh, potom při zavedení zjevných identifikací

R

je podokruh

R [x]

je podokruh

R ⟦ x ⟧

Poznámka. Je-li

R

komutativní okruh a

S

jeho podokruh, potom

S [x]

je podokruh

R [x]

S ⟦ x ⟧

je podokruh

R ⟦ x ⟧

Definice. Nechť

R

je komutativní okruh,

n \in ℕ

x_{1}, \dots, x_{n}

jsou formální proměnné. Pro

α \in ℕ_{0}^{n}

budeme značit

x^{α} ≔ \prod_{i = 1}^{n} x_{i}^{α_{i}}

. Potom formální mocninná řada v

n

proměnných je výraz

f = \sum_{α \in ℕ_{0}^{n}} f_{α} x^{α}

, kde

f_{α} \in R

. Opět zavádíme analogicky okruhovou strukturu a značíme

f \in R ⟦ x_{1}, \dots, x_{n} ⟧

Poznámka.

f + g = \sum_{α \in ℕ_{0}^{n}} (f_{α} + g_{α}) x^{α}

f \cdot g = \sum_{α \in ℕ_{0}^{n}} (\sum_{β + γ = α} (f_{β} \cdot g_{γ})) x^{α}

Definice. Nechť

R

je komutativní okruh a

n \in ℕ

. Polynom v

n

proměnných je mocninná řada

f

n

proměnných taková, že

f_{α} \neq 0

pouze pro konečně mnoho

α

. Značíme

f \in R [x_{1}, \dots, x_{n}]

Poznámka.

R [x_{1}, \dots, x_{n}]

je podokruh

R ⟦ x_{1}, \dots, x_{n} ⟧

Věta. Nechť

R

je komutativní okruh a

n \in ℕ

. Potom

R ⟦ x_{1}, \dots, x_{n} ⟧ ≃ R ⟦ x_{1}, \dots, x_{n - 1} ⟧ ⟦ x_{n} ⟧

Důkaz. Pracný, ale celkem jasný.

Věta. Nechť

R

je komutativní okruh a

n \in ℕ

. Potom

R [x_{1}, \dots, x_{n}] ≃ R [x_{1}, \dots, x_{n - 1}] [x_{n}]

Důkaz. Zúžíme izomorfismus z předchozí věty.

Direktní součin okruhů

Definice. Nechť

R, \tilde{R}

jsou okruhy. Jejich direktní součin je množina

R \times \tilde{R}

s operacemi

(a, \tilde{a}) \oplus︎ (b, \tilde{b}) ≔ (a + b, \tilde{a} \tilde{+} \tilde{b})

(a, \tilde{a}) ⊙ (b, \tilde{b}) ≔ (a \cdot b, \tilde{a} \tilde{\cdot} \tilde{b})

Věta. Direktní součin okruhů je okruh.

Důkaz. Triviální.

Příklad.

ℤ_{2} \times ℤ_{3} ≃ ℤ_{6}

(stačí vzít izomorfismus pro

+

a ověřit, že platí i pro

\cdot

Příklad.

ℤ [i] ≃ ℤ^{2}

jako aditivní grupa, ale ne jako okruh.

Obory integrity

Definice. Nechť

R

je komutativní okruh. Prvek

a \in R, a \neq 0

je dělitel nuly, pokud existuje

b \in R, b \neq 0

takové, že

a \cdot b = 0

Definice. Komutativní okruh

R

je obor integrity, pokud nemá žádné dělitele nuly, neboli

\forall a, b \in R : a \cdot b = 0 ⟹ a = 0 \lor b = 0

, nebo ekvivalentně

\forall a, b \in R : a \neq 0 \land b \neq 0 ⟹ a \cdot b \neq 0

Věta (krácení nenulovým prvkem). Nechť

R

je obor integrity a

a, b, c \in R, c \neq 0, a c = b c

. Potom

a = b

Důkaz.

a c = b c ⟹ a c - b c = 0 ⟹ (a - b) c = 0 ⟹ a - b = 0 ⟹ a = b

Příklad. Libovolný podokruh

ℂ

je obor integrity.

Příklad. Libovolné těleso je obor integrity.

Příklad.

ℂ^{2 \times 2}

není obor integrity, protože

(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}) \cdot (\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array})

Příklad.

ℤ_{n}

je obor integrity, právě když

n

je prvočíslo.

Lemma. Nechť

R

je obor integrity a

f, g \in R [x], f, g \neq 0

. Potom

\deg (f \cdot g) = \deg f + \deg g

Důkaz. Nechť

n ≔ \deg f, m ≔ \deg g, h ≔ f \cdot g

. Z definice součinu plyne, že

\deg h \leq n + m

. Zároveň

h_{n + m} = f_{n} + g_{m}

a jelikož jsme v oboru integrity,

h_{n + m} \neq 0

Věta. Nechť

R

je obor integrity. Potom i

R [x]

R ⟦ x ⟧

jsou obory integrity.

Důkaz. Pro polynomy plyne triviálně z předchozího lemmatu. Nechť

f, g \in R ⟦ x ⟧

. Definujme

n ≔ \min {k \in ℕ_{0} | f_{k} \neq 0}, m ≔ \min {k \in ℕ_{0} | g_{k} \neq 0}

. Poté provedeme analogický důkaz jako u předchozího lemmatu.

Tělesa

Definice. Nenulový komutativní okruh

T

je těleso, pokud každý nenulový prvek má inverzi na násobení, neboli

(T ∖ {0}, \cdot,^{- 1}, 1)

je komutativní grupa.

Poznámka. Občas se nepožaduje, aby těleso bylo kmutativní.

Příklad. Příkladem nekomutativního tělesa jsou kvaterniony:

ℍ ≔ {a + b i + c j + d k | a, b, c, d \in ℝ}

i^{2} = j^{2} = k^{2} = - 1

i j = k, j k = i, k i = j

j i = - k, k j = - i, i k = - j

Věta. Nechť

R

je obor integrity. Definujme relaci na

R \times (R ∖ {0})

jako

(a, b) \sim (c, d) ⟺ a d = b c

. Potom

\sim

je ekvivalence.

Důkaz.

Reflexivita: $a b = b a$
Symetrie: $a d = b c ⟹ c b = d a$
Tranzitivita: $a d = b c \land c f = d e ⟹ a d f = b c f = b d e ⟹ a f = b e$

Věta. Nechť

R

je obor integrity. Pro relaci z předchozí věty označme

\frac{a}{b} ≔ [(a, b)]

. Množinu všech tříd označíme

Q (R)

a zavedeme na ní operace

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} ≔ \frac{a d + b c}{b d}, \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} ≔ \frac{a c}{b d}

. Potom

Q (R)

s těmito operacemi je těleso.

Důkaz. Otravný, ale jednoduchý.

Definice. Nechť

R

je obor integrity. Těleso

Q (R)

definované v předchozí větě je podílové těleso

R

Příklad.

Q (ℤ) = ℚ

Příklad.

Q (ℤ [i]) = {\frac{a + b i}{c + d i} | a, b, c, d \in ℤ, c + d i \neq 0} = {r + s i | r, s \in ℚ} ≕ ℚ (i)

Příklad. Pro

R

obor integrity je

Q (R [x])

těleso racionálních funkcí. Speciálně pro

R = ℂ

značíme

C (x) ≔ Q (ℂ [x])

Věta. Jsou-li

R, \tilde{R}

izomorfní okruhy, potom

Q (ℝ) ≃ Q (\tilde{ℝ})

Ideály

Definice. Nechť

R

je okruh. Množina

I \subset R

je ideál v

R

, pokud

I - I \subset I

I R, R I \subset I

Věta. Nechť

φ : R \to \tilde{R}

je homomorfismus okruhů. Potom

\ker φ

je ideál v

R

Věta. Nechť

R

je okruh. Pokud ideál

I

R

obsahuje

1

, potom

I = R

Důkaz.

R = 1 R \subset I R \subset I

Věta. Nechť

I

je ideál okruhu

R

. Potom

I ◃ R

vzhledem ke sčítání.

Důkaz. Z

I - I \subset I

plyne, že je to podgrupa, a v komutativní grupě je každá podgrupa normální.

Věta. Nechť

R

je okruh a

I

jeho ideál. Potom

R ╱ I

je okruh s operacemi definovanými jako

(a + I) + (b + I) ≔ (a + b) + I

(a + I) \cdot (b + I) ≔ (a \cdot b) + I

Navíc projekce

π : R \to R ╱ I, π (a) ≔ a + I

je homomorfismus okruhů,

\ker π = I

Im π = R ╱ I

Důkaz. Sčítání je dobře definované, protože je to normální podgrupa. Dokážeme, že násobení je dobře definované. Nechť

a \sim_{I} \tilde{a}, b \sim_{I} \tilde{b}

, potom

\tilde{a} \tilde{b} - a b = \tilde{a} (\tilde{b} - b) + (\tilde{a} - a) b \in R I + I R \subset I ∴ \tilde{a} \tilde{b} \sim_{I} a b

Teď musíme dokázat, že to je okruh. To je pracné, ale triviální. Nulový prvek je

I

, jednotkový

1 + I

. Co se týče toho, že

π

je homomorfismus:

π (1) = 1 + I

π (a b) = a b + I = (a + I) (b + I) = π (a) π (b)

Najít jádro a obraz je triviální.

Důsledek. Každý ideál je jádrem nějakého homomorfismu okruhů.

Poznámka. Každý okruh

R

má dva ideály:

{0}, R

. Všechny ostatní ideály se nazývají vlastní.

Věta. Nechť

φ : R \to \tilde{R}

je homomorfismus okruhů a

I

je ideál v

R

. Potom

φ (I)

je ideál ve

φ (R)

Důkaz. Pro sčítání to platí podle nějaké grupové věty. Nechť

x \in I, a \in R

, potom

φ (x) φ (a) = φ (x a) \in φ (I)

a analogicky vopáčně.

Poznámka. Obecně

φ (I)

není ideál v

\tilde{R}

Věta. Nechť

φ : R \to \tilde{R}

je homomorfismus okruhů a

\tilde{I}

ideál v

\tilde{R}

. Potom

φ^{- 1} (\tilde{I})

je ideál v

R

Důkaz. Pro sčítání to platí podle nějaké grupové věty. Nechť

a \in R, b \in φ^{- 1} (\tilde{I})

. Potom

φ (b a) = φ (b) φ (a) \in \tilde{I}

, tedy

b a \in φ^{- 1} (\tilde{I})

. Analogicky vopáčně.

Věta (první o homomorfismu okruhů). Nechť

φ : R \to \tilde{R}

je homomorfismus okruhů. Potom

R ╱ \ker φ ≃ Im φ

Důkaz. Pro sčítání použijeme první větu o izomorfismu grup, z níž získáme

\tilde{φ} : R ╱ \ker φ \to Im φ

\tilde{φ} (1_{R ╱ I}) = \tilde{φ} (1_{R} + I) = φ (1_{R}) = 1_{\tilde{R}}

\tilde{φ} ((a + I) (b + I)) = \tilde{φ} (a b + I) = φ (a b) = φ (a) φ (b) = \tilde{φ} (a + I) \tilde{φ} (b + I)

Věta (druhá o izomorfismu okruhů). Nechť

R

je okruh,

I, J

jsou ideály v

R

I \subset J

. Potom

J ╱ I

je ideál v

R ╱ I

(R ╱ I) ╱ (J ╱ I) ≃ R ╱ J

Důkaz. Nechť

a \in J, b \in R

. Potom

(a + I) (b + I) = a b + I \in J ╱ I

. Tím je dokázáno, že

J ╱ I

je ideál v

R ╱ I

. Teď stačí použít druhou větu o izomorfismu pro grupy a ověřít, že izomorfismus je kompatibilní s násobením.

Věta (třetí o izomorfismu okruhů). Nechť

R

je okruh,

I

je ideál v

R

S

je podokruh

R

. Potom

I + S

je podokruh

R

I \cap S

je ideál v

S

a platí

S ╱ (S \cap I) ≃ (S + I) ╱ S

Důkaz.

I \cap S

je ideál v

S

, protože zjevně

(I \cap S) S \subset I \cap S

. Nyní stačí použít třetí větu o izomorfismu pro grupy a ověřít kompatibilitu.

Věta. Nechť

R

je okruh a

I_{j}, j \in 𝒜

jsou ideály. Potom

I ≔ ⋂_{j \in 𝒜} I_{j}

je ideál.

Důkaz. Průnik podgrup je podgrupa. Nechť

x \in I, a \in R

. Potom pro všechna

j \in 𝒜

x \in I_{j}

, tedy i

x a, a x \in I_{j}

Věta. Nechť

R

je okruh a

I_{1}, \dots, I_{r}

jsou ideály. Potom

\sum_{j = 1}^{r} I_{j}

je ideál.

Důkaz. Stačí dokázat pro dva ideály

I, J

. Důkaz je snadný.

Lemma. Nechť

R

je okruh a

J_{1}, \dots, J_{k}, K

jsou ideály v

R

takové, že

\forall i \in \hat{k} : J_{i} + K = R

. Potom pro

J ≔ ⋂_{i = 1}^{k} J_{i}

platí

J + K = R

Důkaz. Z předpokladu pro všechna

i

1 \in J_{i} + K

, tedy

\exists a_{i} \in J_{i}, b_{i} \in K : a_{i} + b_{i} = 1

. Potom

1 = \prod_{i = 1}^{k} (a_{i} + b_{i}) = \underset{\in J}{\underset{⏟}{\prod_{i = 1}^{k} a_{i}}} + \underset{\in K}{\underset{⏟}{s p o u s t a d a l \overset{ˇ}{s} \overset{ˊ}{ı} c h \overset{ˇ}{c} l e n \overset{˚}{u}}} \in J + K

Věta (zobecněná čínská zbytková). Nechť

R

je okruh a

I_{1}, \dots, I_{k}

jsou ideály v

R

takové, že

\forall i \neq j : I_{i} + I_{j} = R

. Nechť

I ≔ ⋂_{j = 1}^{k} I_{j}

. Potom

R ╱ I ≃ ⨉_{j = 1}^{k} R ╱ I_{j}

Důkaz. Pro každé

i \in \hat{k}

vezměme projekci

π_{i} : R \to R ╱ I_{i}, π (a) ≔ a + I_{i}

. Zjevně

\ker π_{i} = I_{i}, Im π_{i} = R ╱ I_{i}

. Definujme

φ : R \to ⨉_{j = 1}^{r} R ╱ I_{j}, φ (x) ≔ (π_{1} (x), \dots, π_{k} (x))

. Zjevně

φ

je homomorfismus. Dokážeme, že

\ker φ = I

x \in \ker φ ⟺ φ (x) = (0, \dots, 0) ⟺ \forall i \in \hat{k} : x \in I_{i} ⟺ x \in I

Těžší bude dokázat, že

φ

je epimorfismus. Nechť

y \in ⨉_{j = 1}^{k} R ╱ I_{j}

, tedy

y = (π_{1} (u_{1}), \dots, π_{k} (u_{k}))

. Definujme

x ≔ \sum_{i = 1}^{k} a_{i} u_{i}

, přičemž

a_{i}

zatím neznáme. Analogicky s důkazem normální čínské zbytkové věty chceme

a_{i}

zvolit tak, aby

π_{j} (a_{i}) = [i = j]

, a poté bude

φ (x) = y

. Pro dané

i \in \hat{k}

vezměme do předchozího lemmatu

K ≔ I_{i}

J_{1}, \dots, J_{k - 1} ≔ I_{1}, \dots, I_{i - 1}, I_{i + 1}, \dots, I_{k}

. Poté existují

a_{i} \in J, b_{i} \in K

taková, že

a_{i} + b_{i} = 1

. Ověříme, že fungují:

π_{i} (a_{i}) = π_{i} (a_{i} + b_{i}) = π_{i} (1) = 1

\forall j \neq i : π_{j} (a_{i}) = π_{j} (0) = 0

Nakonec tedy máme

π_{i} (x) = π_{i} (\sum_{j = 1}^{k} a_{j} u_{j}) = \sum_{j = 1}^{k} [i = j] π_{j} (u_{i}) = π_{i} (u_{i})

tudíž

Im φ = ⨉_{j = 1}^{k} R ╱ I_{j}

a z první věty o izomorfismu dostáváme znění věty.

Věta. Nenulový komutativní okruh

R

je těleso, právě pokud má pouze nevlastní ideály.

Důkaz.

(\Rightarrow)

Nechť

R

je těleso a

I

je nenulový ideál, tedy

0 \neq a \in I

. Potom

1 = a a^{- 1} \in I R \subset R

, tedy

I = R

(\Leftarrow)

Nechť

0 \neq a \in R

. Snadno dokážeme, že

I ≔ a R

je ideál. Jelikož

a \in I

, musí být

I = R ∴ 1 \in I = a R ∴ 1 = a b, b \in R

. K libovolnému prvku jsme našli inverzi, tedy

R

je těleso.

Definice. Nechť

R

je okruh. Ideál

I

R

je maximální, pokud

I \neq R

a je maximální vzhledem k inkluzi na množině ideálů různých od

R

, tedy pro každý ideál

J \supset I

R

J = I \lor J = R

Věta. Nechť

R

je nenulový komutativní okruh a

I

ideál v

R

. Potom

R ╱ I

je těleso, právě pokud

I

je maximální v

R

Důkaz.

(\Rightarrow)

Nechť

J \supset I

je ideál v

R

. Podle druhé věty o izomorfismu je

(R ╱ I) ╱ (J ╱ I) ≃ R ╱ J

. Jelikož

R ╱ I

je těleso, musí být buď

J ╱ I = {0}

, z čehož plyne

J = I

, nebo

J ╱ I = R ╱ I

, z čehož plyne

R ╱ J = {0} ∴ R = J

(\Leftarrow)

Dokážeme, že

R ╱ I

je nenulový komutativní okruh, který má pouze nevlastní ideály. Nenulovost, komutativnost a okruhovost ověříme snadno. Nechť

𝒥

je ideál v

R ╱ I

. Vezměme projekci

π : R \to R ╱ I

; to je homomorfismus a

I = \ker π = π^{- 1} ({0})

. Potom

π^{- 1} (𝒥) \subset R

je podle nějaké předchozí věty ideál a platí

I = π^{- 1} ({0}) \subset π^{- 1} (𝒥)

. Jelikož

I

je maximální, máme buď

π^{- 1} (𝒥) = I

, nebo

π^{- 1} (𝒥) = R

. V prvním případě

𝒥 = π (I) = {0}

, v druhém

𝒥 = π (R) = R ╱ I

Příklad. Pro

ℤ

jsou ideály

m ℤ, m \in ℤ

. Zjevně ideál je maximální, právě když

m \in ℙ

. Tedy jsme dost složitým způsobem dokázali že,

ℤ_{m}

je těleso právě pro

m \in ℙ

Definice. Nechť

R

je komutativní okruh. Ideál

I

R

je hlavní, pokud pro nějaké

a \in R

I = a R

. Značíme

I = (a)

, což vůbec není matoucí. Pokud má

R

pouze hlavní ideály, je to okruh hlavních ideálů. Pokud je to navíc obor integrity, je to obor hlavních ideálů.

Věta (dělení polynomů nad tělesem). Nechť

T

je těleso a

f, g \in T [x]

. Potom existují

q, r \in T [x], \deg r < \deg f

takové, že

g = q f + r

Důkaz. Zkonstruujeme pomocí algoritmu. Nechť

m ≔ \deg g, n ≔ \deg f

. Pokud

m \geq n

, přiřadíme

g \leftarrow g_{m} f_{m}^{- 1} x^{m - n} f

, potom nové

m

bude ostře menší než staré

m

. To můžeme opakovat, až bude

m < n

. To

g

, které nám zbyde, bude

r

a součet všeho, čím jsme násobili

f

při odčítání, bude

q

Věta. Je-li

T

těleso, potom

T [x]

je obor hlavních ideálů.

Důkaz. Nechť

I

je ideál v

T [x]

. Pokud

I = {0}

, potom

I = (0)

, tedy předpokládejme, že

I \neq {0}

. Nechť

n ≔ \min {\deg f | f \in I, f \neq 0}

f \in I, \deg f = n

. Ukážeme, že

I = (f)

. Zjevně platí

\supset

, takže stačí dokázat

\subset

. Nechť

g \in I

. Dělením polynomů dostaneme

g = q f + r, \deg r < n

. Jelikož

r = g - q f \in I

, musí být

r = 0

, neboli

g = q f \in (f)

Poznámka. Polynomy nad obecným okruhem nemusí být obor hlavních ideálů, protipříkladem je

I ≔ 2 ℤ [x] + x ℤ [x]

Definice. Nechť

T

je těleso. Polynom

f \in T [x], \deg f > 0

je reducibilní nad

T

, pokud

f = g h, \deg g, \deg h < \deg f

. Pokud to nejde,

f

je ireducibilní. Pokud

\deg f \leq 0

, tedy

f \in T

, potom není reducibilní ani ireducibilní (podobně jako

1

není prvočíslo ani složené číslo).

Příklad. Polynom

x^{2} - 2 x + 1

je reducibilní nad

ℚ

. Polynom

x^{2} - 2

je ireducibilní nad

ℚ

, ale reducibilní nad

ℝ

Věta. Nechť

T

je těleso. Ideál

I = (f)

T [x]

je maximální, právě když

f

je ireducibilní nad

T

Důkaz.

(\Rightarrow)

Nechť

I

je maximální ideál a

f = g h, g, h \in T [x]

. Potom

f \in (g) ≕ J

, tudíž

I \subset J

. Z maximality

I

plyne

J = I \lor J = T [x]

. V prvním případě

\deg g = \deg f

. Ve druhém

\deg g = 0

(\Leftarrow)

Nechť

f

je ireducibilní a

J = (g) \supset I

je ideál. Jelikož

f \in (f) \subset (g)

, existuje

h \in T [x]

takové, že

f = g h

. Pokud

\deg h = 0

, potom

g = h^{- 1} f

, tedy

g \in (f) ∴ I = J

. Pokud

\deg g = 0

, potom

(g) = T [x]

. Ještě je nutné dokázat, že

I \neq T [x]

, což plyne z

\deg f > 0

Příklad. Pokud faktorizujeme

ℝ

podle jakéhokoli ireducibilního kvadratického polynomu, dostaneme

ℂ

Kořeny polynomů

Definice. Nechť

R

je okruh a

a \in R

. Dosazovací homomorfismus je zobrazení

φ_{a} : R [x] \to R, φ_{a} (f) ≔ f (a)

Věta. Dosazovací homomorfismus je homomorfismus.

Důkaz. Triviální.

Definice. Nechť

R

je okruh. Prvek

a \in R

je kořen polynomu

f \in R [x]

, pokud

f (a) = 0

Věta. Nechť

R

je okruh. Prvek

a \in R

je kořen polynomu

f \in R [x]

, právě když

f = (x - a) g

pro nějaké

g \in R [x]

Důkaz.

(\Leftarrow)

Triviální.

(\Rightarrow)

f = f - f (a) = \sum_{i = 0}^{n} f_{i} (x^{i} - a^{i}) = (x - a) \sum_{i = 0}^{n} f_{i} \sum_{j = 0}^{i - 1} x^{j} a^{i - j - 1}

Věta. Nechť

R

je obor integrity a

a_{1}, \dots, a_{n}

jsou různé kořeny

f \in R [x]

. Potom

f = (x - a_{1}) \dots (x - a_{n}) g, g \in R [x]

Důkaz. Indukcí přes

n

. Pro

n = 1

ověřeno, tedy

f = (x - a_{1}) h

. Potom

0 = f (a_{2}) = (a_{2} - a_{1}) h (a_{2}) ∴ h (a_{2}) = 0

, tedy i

h

má kořen

a_{2}

a můžeme dál vytýkat.

Poznámka. Pro obecný okruh neplatí. Nechť

R ≔ ℤ_{4}, f ≔ 2 x + 2

. Potom

1,3

jsou kořeny

f

, ale protože je stupně

1

, tak z něj těžko vytkneme dvě závorky.

Důsledek. Polynom

f

nad oborem integrity má nanejvýš

\deg f

kořenů.

Definice. Nechť

R

je okruh a

k \in ℕ

. Prvek

a \in R

k

-násobný kořen polynomu

f \in R [x]

, pokud

{(x - a)}^{k} | f

, ale

{(x - a)}^{k + 1} ∤ f

Definice. Nechť

R

je okruh. Derivace polynomu

f = \sum_{i = 0}^{n} f_{i} x^{i}

f^{'} ≔ \sum_{i = 1}^{n} i a_{i} x^{i - 1}

Věta. Nechť

R

je okruh a

f, g \in R [x]

. Potom

{(f + g)}^{'} = f^{'} + g^{'}

Důkaz. Triviální.

Věta. Nechť

R

je okruh a

f, g \in R [x]

. Potom

{(f g)}^{'} = f^{'} g + f g^{'}

Důkaz. Stačí ověřit pro monomy, poté použijeme aditivitu.

Věta. Nechť

R

je okruh. Je-li

a \in R

k

-násobný kořen

f \in R [x]

, potom je alespoň

(k - 1)

-násobný kořen

f^{'}

Důkaz.

f = {(x - a)}^{k} g

f^{'} = k {(x - a)}^{k - 1} g + {(x - a)}^{k} g^{'} = {(x - a)}^{k - 1} (k g + g^{'} (x - a))

Poznámka. Obecně nemusí platit rovnost, dokonce ani když

R

je těleso. Nechť

R ≔ ℤ_{3}, f ≔ {(x - 2)}^{6} (x - 1)

. Potom

f^{'} = {(x - 2)}^{6}

Definice. Nechť

R

je okruh,

S

jeho podokruh a

a_{1}, \dots, a_{n} \in R

. Potom

S [a_{1}, \dots, a_{n}]

označuje nejmenší podokruh

R

obsahující

S

a_{1}, \dots, a_{n}

. Nebo ekvivalentně:

S [a_{1}, \dots, a_{n}] = {f (a_{1}, \dots, a_{n}) | f \in S [x_{1}, \dots, x_{n}]}

Definice. Nechť

T

je těleso,

S

jeho podtěleso a

a_{1}, \dots, a_{n} \in T

. Potom

S (a_{1}, \dots, a_{n})

označuje nejmenší podtěleso

R

obsahující

S

a_{1}, \dots, a_{n}

Poznámka.

S (a)

může, ale nemusí být to samé jako

S [a]

. Například

ℚ (i) = ℚ [i]

, ale

ℚ (π) \neq ℚ [π]

Definice. Je-li

T

těleso a

S

jeho podtěleso, potom

T

je vektorový prostor nad

S

. Řekneme, že

T

je rozšíření

S

a značíme

[T : S] ≔ \dim T

. Je-li

[T : S] < \infty

T

je konečné rozšíření

S

Věta. Pro těleso

T

, jeho podtěleso

S

a \in T

označme

I_{a} ≔ {f \in S [x] | f (a) = 0}

. Potom

I_{a}

je ideál v

S [x]

Důkaz. Jednoduchý.

Definice. Nechť těleso

T

je rozšíření

S

. Prvek

a \in T

je algebraický nad

S

, pokud

I_{a} \neq {0}

, tedy

\exists f \in S [x] ∖ {0} : f (a) = 0

. Je-li

I_{a} = {0}

, potom

a

je transcendentní. Je-li každé

a \in T

algebraické nad

S

, potom

T

je algebraické rozšíření

S

Věta. Nechť

T

je těleso a

a \in T

je algebraické nad podtělesem

S

. Potom

I_{a} = (f)

, kde

f \in S [x]

je ireducibilní. Navíc

f

je jednoznačný až na násobení konstantou.

Důkaz. Jelikož

S [x]

je obor hlavních ideálů, nějaké

f

jistě existuje. Vezměme ho nejnižšího možného stupně. Kdyby

f = g h

, potom

0 = f (a) = g (a) h (a)

, tedy

g

nebo

h

patří do

I_{a}

a zároveň ho i generuje, protože

f

je jeho násobek. To je spor s tím, že

f

je nejnižšího možného stupně. Co se týče jednoznačnosti: Je-li

I_{a} = (f) = (g)

, kde

f, g

jsou ireducibilní, potom

g = f h, f = g \tilde{h} = f h \tilde{h} ∴ \deg h = \deg \tilde{h} = 0

Definice. Nechť

T

je těleso a

a \in T

je algebraické nad podtělesem

S

. Ireducibilní polynom

f \in S [a]

takový, že

I_{a} = (f)

, se nazývá minimální polynom

a

nad

S

Poznámka. Jelikož minimální polynom je určený až na konstantu, obvykle ho volíme monický: s koeficientem

1

u nejvyšší mocniny.

Věta. Nechť

T

je těleso,

a \in T

je algebraické nad podtělesem

S

f

je jeho minimální polynom. Potom

S [x] ╱ (f) ≃ S [a] = S (a)

Důkaz. Vezměme dosazovací homomorfismus

φ_{a} : T [x] \to T

a zužme ho na

φ_{a} : S [x] \to S [a]

. Snadno ověříme, že toto zúžení je epimorfismus a jeho jádro je

I_{a}

. Z první věty o izomorfismu přímo dostáváme tvrzení věty.

Důsledek. Mají-li dva prvky

a, b \in T

stejný minimální polynom, potom

S (a) ≃ S (b)

Věta. Nechť

S

je těleso a

f \in S [x]

je ireducibilní nad

S

. Potom existuje

T

rozšíření tělesa

S

takové, že pro nějaké

a \in T

f (a) = 0

T ≃ S [x] ╱ (f) ≃ S (a)

Důkaz. Vezměme projekci

π : S [x] \to S [x] ╱ (f)

a definujme

a ≔ π (x)

. Potom

f (a) = π (f) = 0

a ostatní věci plynou přímo z konstrukce.

Definice. Těleso

T

je rozkladové nadtěleso tělesa

S

k polynomu

f \in S [x]

, pokud

$\exists a_{1}, \dots, a_{n} \in T, c \in S : f = c \prod_{i = 1}^{n} (x - a_{i})$
$T = S (a_{1}, \dots, a_{n})$

Věta. Nechť

S

je těleso a

f \in S [x]

. Pak existuje rozkladové těleso

f

nad

S

jednoznačné až na izomorfismus.

Důkaz. Indukcí přes

n ≔ \deg f

. Pro

n = 1

stačí volit

T ≔ S

. V indukčním kroku rozlišíme dva případy:

Je-li $f$ ireducibilní nad $S$ , potom podle předchozí věty můžeme psát $T = S (a)$ . Máme $f = c (x - a) g, g \in T [x], g m o n i c k \overset{ˊ}{y}, c \in S$ . Podle indukčního předpokladu má $g$ nad $T$ rozkladové těleso $K$ a platí $g = \prod_{i = 1}^{n - 1} (x - b_{i}), b_{i} \in K$ . Zároveň $K = T (b_{1}, \dots, b_{n - 1}) = S (a) (b_{1}, \dots, b_{n - 1}) = S (a, b_{1}, \dots, b_{n - 1})$ . Z toho máme $f = c (x - a) \prod_{i = 1}^{n - 1} (x - b_{i})$ .
Je-li $f$ reducibilní nad $S$ , zapíšeme $f = g h$ . Podle indukčního předpokladu je $g = c_{1} \prod_{i = 1}^{m} (x - a_{i}), h = c_{2} \prod_{i = m + 1}^{n} (x - a_{i})$ . Potom $f = c_{1} c_{2} \prod_{i = 1}^{n} (x - a_{i})$ . Podobně dokážeme, že $T = S (a_{1}, \dots, a_{n})$ .

Jednoznačnost nedokazujeme.

Definice. Charakteristika okruhu

R

je nejmenší

n \in ℕ

takové, že

n \times 1 = 0

. Píšeme

char R = n

. Pokud takové

n

neexistuje, píšeme

char R = 0

Příklad.

char ℤ = char ℚ = char ℝ = char ℂ = 0, char ℤ_{n} = n

Poznámka. Podobně jako u grup můžeme zavést homomorfismus

φ : ℤ \to R, φ (n) ≔ n \times 1

. To je dokonce jediný homomorfismus

ℤ \to R

a jeho jádro je

(char R) ℤ

. Tuto skutečnost můžeme využít jako ekvivalentní definici charakteristiky.

Definice. Prvookruh okruhu

R

{⟨ 1 ⟩}_{+}

, neboli

Im φ

pro

φ (n) ≔ n \times 1

Poznámka. Prvookruh je izomorfní

ℤ

nebo

ℤ_{n}

pro nějaké

n

Poznámka. Prvookruh je nejmenší podokruh.

Věta. Je-li

R

obor integrity, potom

char R

je nula nebo prvočíslo.

Důkaz. Nechť

char R = n = m \cdot k

. Potom

0 = n \times 1 = (m \times 1) \cdot (k \times 1)

. Tedy

m \times 1 = 0 \lor k \times 1 = 0

, z čehož plyne

m = n \lor k = n

Definice. Prvotěleso tělesa

T

je jeho minimální podtěleso.

Věta. Prvotěleso tělesa

T

je izomorfní

ℚ

, pokud

char T = 0

, nebo

ℤ_{p}

, pokud

char T = p

Důkaz. Snadný.

Konečná tělesa

Věta. Nechť

T

je konečné těleso charakteristiky

p

. Potom

| T | = p^{k}, p \in ℙ, k \in ℕ

Důkaz. Nechť

S

je prvotěleso

T

. Potom

| S | ≕ p \in ℙ

[T : S] ≕ k \in ℕ

. Pomocí báze máme bijekci mezi

T

ℤ_{p}^{k}

Příklad. Polynom

x^{2} + x + 1

je ireducibilní nad

ℤ_{2}

(což plyne z toho, že nemá kořeny), tedy

ℤ_{2} [x] ╱ (x^{2} + x + 1)

je těleso. Třidy ekvivalence jsou reprezentovány polynomy stupně nejvýše

1

, tedy

0,1, x, x + 1

. Tedy jsme získali čtyřprvkové těleso. Můžeme si sestavit jeho tabulky:

\begin{array}{rcccc} + & 0 & 1 & x & x + 1 \\ 0 & 0 & 1 & x & x + 1 \\ 1 & 1 & 0 & x + 1 & x \\ x & x & x + 1 & 0 & 1 \\ x + 1 & x + 1 & x & 1 & 0 \end{array} \begin{array}{rcccc} \cdot & 0 & 1 & x & x + 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & x & x + 1 \\ x & 0 & x & x + 1 & 1 \\ x + 1 & 0 & x + 1 & 1 & x \end{array}

Vidíme, že grupa se sčítáním je izomorfní

ℤ_{2} \times ℤ_{2}

a grupa s násobením je izomorfní

ℤ_{3}

Věta. Nechť

T

je těleso a

| T | = n = p^{k}, p \in ℙ, k \in ℕ

. Potom

T

je izomorfní rozkladovému tělesu polynomu

x^{n} - x

nad

ℤ_{p}

Důkaz. Ukážeme, že každý prvek

T

je kořenem

x^{n} - x = x (x^{n - 1} - 1)

. Nula zjevně je kořen. Vezměme nějaké

a \in T, a \neq 0

, Potom řád

a

v multiplikativní grupě musí dělit

n - 1

, tudíž

a^{n - 1} = 1

. Z toho plyne, že dokážeme rozložit

x^{n} - x = \prod_{a \in T} (x - a)

Věta. Nechť

n = p^{k}, p \in ℙ, k \in ℕ

. Potom rozkladové těleso

g ≔ x^{n} - x

nad

ℤ_{p}

má právě

n

prvků.

Důkaz. Nechť

T

je rozkladové těleso. Víme, že v něm leží všechny kořeny

g

. Dokážeme, že tam patří jen kořeny

g

. Nejprve ukážeme, že kořeny tvoří těleso. Nechť

K ≔ {a \in T | a^{n} = a}

je množina kořenů, potom pro

a, b \in K

máme

$0^{n} = 0 ∴ 0 \in K$
$1^{n} = 1 ∴ 1 \in K$
${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n} = a b ∴ a b \in K$
${(a^{- 1})}^{n} = {(a^{n})}^{- 1} = a^{- 1} ∴ a^{- 1} \in K$
Pro $p = 2$ : ${(- a)}^{n} = {(- 1)}^{n} a^{n} = a = - a ∴ - a \in K$
Pro $p \neq 2$ : ${(- a)}^{n} = {(- 1)}^{n} a^{n} = - a ∴ - a \in K$

Zbývá uzavřenost na sčítání. Dokážeme, že

{(a + b)}^{n} = a^{n} + b^{n}

, potom už to bude stejné jako u násobení. Indukcí na

k

Pro $k = 1$: ${(a + b)}^{p} = \sum_{j = 0}^{p} (\binom{p}{j}) a^{j} b^{p - j} = a^{p} + b^{p} + \sum_{j = 1}^{p - 1} (\binom{p}{j}) a^{j} b^{p - j}$ Snadno ověříme, že pro $1 \leq j \leq p - 1$ je $(\binom{p}{j}) \equiv 0 (m o d p)$ .
Indukční krok: ${(a + b)}^{p^{k + 1}} = {({(a + b)}^{p^{k}})}^{p} \overset{\overset{}{IP}}{=} {(a^{p^{k}} + b^{p^{k}})}^{p} \overset{\overset{}{IP pro 1}}{=} {(a^{p^{k}})}^{p} + {(a^{p^{k}})}^{p} = a^{p^{k + 1}} + b^{p^{k + 1}}$

Z toho plyne

K = T

, jelikož

T

je minimální nadtěleso množiny kořenů. Teď stačí spočítat, kolik těch kořenů vlastně je. Jelikož

g

je stupně

n

, má nejvýše

n

různých kořenů. Zároveň

g^{'} = p^{k} x^{p^{k} - 1} - 1 = - 1

nemá kořeny, tudíž žádný kořen

g

nemůže být násobný.

Důsledek. Konečné těleso s

n

prvky existuje, právě když

n = p^{k}, p \in ℙ, k \in ℕ

. Takové těleso je právě jedno až na izomorfismus. Značíme

𝔽_{n}

nebo

GF (n)

Věta. Multiplikativní grupa konečného tělesa je cyklická.

Důkaz. Nechť

n = p^{k}

je velikost tělesa a

G

jeho multiplikativní grupa. Najdeme v

G

prvek řádu

n - 1

, což bude tedy generátor. Nechť pro dané

d | n

ψ (d)

počet prvků řádu

d

G

. Dále označme

M ≔ {a \in G | a^{d} = 1}

. Snadno dokážeme, že

M

je podgrupa

G

. Pokud

M

je cyklická, potom

| M | = d

(větší být nemůže, protože její prvky jsou kořeny

x^{d} - 1

), tudíž je generovaná právě prvky řádu

d

, tedy

ψ (d) = φ (d)

. Pokud není, potom

ψ (d) = 0

. Celkově

n = \sum_{d | n} ψ (d)

a zároveň víme, že

n = \sum_{d | n} φ (n)

, tudíž musí být

ψ (d) = φ (d)

pro všechna

d

Poznámka. Je-li

a \in T ∖ {0}

generátor multiplikativní grupy konečného tělesa

T

, potom

T ≃ ℤ_{p} (a)

. Proto existuje

f \in ℤ_{p} [x]

ireducibilní nad

ℤ_{p}

takový, že

T ≃ ℤ_{p} ╱ (f)

Dělitelnost v oborech integrity

Definice. Nechť

R

je obor integrity.

a \in R

dělí

b \in R

, pokud existuje

c \in R

takové, že

b = a c

. Značíme

a | b

Definice. Nechť

R

je obor integrity.

a \in R

je asociované s

b \in R

, pokud

a | b \land b | a

. Značíme

a \sim b

Definice. Nechť

R

je obor integrity.

a \in R

je jednotka, pokud

a \sim 1

. Značíme

a \in U (R)

Poznámka.

a | b ⟺ b \in a R ⟺ b R \subset a R ⟺ (b) \subset (a)

a \sim b ⟺ (a) = (b)

a \in U (R) ⟺ (a) = R

a \in U (R) ⟺ \exists a^{- 1} ∴ U (R) je grupa

a \sim b ⟺ \exists c \in U (R) : b = c a

Poznámka. Asociovanost je relace ekvivalence.

Příklad.

U (ℤ) = {\pm 1}

Příklad.

R

okruh:

U (R [x]) = U (R)

Příklad.

T

těleso:

U (T) = T^{\times}

Příklad.

U (ℤ [i]) = {\pm 1, \pm i}

Příklad.

U (ℤ [\sqrt{2}]) = {\pm {(1 + \sqrt{2})}^{k} | k \in ℤ}

Definice. Nechť

R

je obor integrity. Prvek

a \in R ∖ ({0} \cup U (R))

je ireducibilní, pokud

\forall b, c \in R : a = b c ⟹ a \sim b \lor a \sim c

Definice. Nechť

R

je obor integrity. Prvek

a \in R ∖ ({0} \cup U (R))

je prvočíslo, pokud

\forall b, c \in R : a | b c ⟹ a | b \lor a | c

Věta. Nechť

R

je obor integrity. Pokud

a \in R

je prvočíslo, potom

a

je ireducibilní.

Důkaz. Je-li

a = b c

, potom

a | b c

, tedy bez újmy na obecnosti

a | b

. Zároveň

b | a

, tedy

a \sim b

Poznámka. Vopáčná implikace nemusí platit. Nechť

R ≔ ℤ [i \sqrt{3}]

. Potom

a ≔ 1 + i \sqrt{3}

je ireducibilní, ale není prvočíslo.

Důkaz.

Ireducibilita: Pokud $a = b c$ , potom ${| b |}^{2} {| c |}^{2} = {| a |}^{2} = 4$ . Jelikož ${| x |}^{2} \in ℕ_{0}$ pro každé $x \in ℤ [i \sqrt{3}]$ , bez újmy na obecnosti máme buď ${| b |}^{2} = 1$ , což vede k jednotkám, nebo ${| b |}^{2} = 2$ , což nejde.
Neprvočíselnost: Je-li $b ≔ 2, c ≔ 2$ , potom $a | b c$ (protože $(1 + i \sqrt{3}) (1 - i \sqrt{3}) = 4$ ), ale $a ∤ b, c$ .

Příklad. Je-li

T

těleso, potom ireducibilní prvky v

T [x]

jsou právě ireducibilní polynomy.

Definice. Obor integrity

R

je noetherovský, pokud v něm neexistuje nekonečná ostře rostoucí (vůče inkluzi) posloupnost ideálů.

Věta. Nechť

R

je noetherovský obor integrity. Potom pro každé

a \in R ∖ ({0} \cup U)

existují ireducibilní

b_{1}, \dots, b_{r}

taková, že

a = \prod_{i = 1}^{r} b_{i}

Důkaz. Nepřímý důkaz. Nechť

a

nejde rozložit na součin ireducibilních prvků. Potom jistě

a = a_{1} c

, kde

c \notin U (R)

a_{1}

také nejde rozložit na součin ireducibilních prvků. Analogicky můžeme definovat

a_{2}, a_{3}, \dots

. Tím vytvoříme ostře rostoucí posloupnost ideálů:

(a_{1}) ⊊ (a_{2}) ⊊ \dots

Definice. Obor integrity

R

je Gaussův, pokud pro každé

a \in R ∖ ({0} \cup U)

existují ireducibilní

b_{1}, \dots, b_{r}

taková, že

a = \prod_{i = 1}^{r} b_{i}

a jsou jednoznačné až na permutaci a násobení jednotkami.

Věta. Nechť

R

je noetherovský obor integrity. Potom

R

je Gaussův právě tehdy, pokud každý ireducibilní prvek je prvočíslo.

Důkaz.

(\Rightarrow)

Nechť

a, b, c \in R, a i r e d u c i b i l n \overset{ˊ}{ı}, a | b c

, tedy

\exists d \in R : a d = b c

. Rozložíme obě strany na ireducibilní prvky (pokud něco bude jednotka, vezmeme prázdný součin). Jelikož rozklad je jednoznačný, musí být

a

asociované s něčím na druhé straně, což znamená, že dělí

b

nebo

c

(\Leftarrow)

Nechť

a = b_{1}, \dots, b_{r}

. Dokážeme indukcí přes

r

, že rozklad je jednoznačný. Pro

r = 1

triviální. Nechť

a = b_{1} \dots b_{r} = c_{1} \dots c_{s}, r \leq s

a výrok už platí pro čísla menší než

r

. Jelikož

b_{1}

je ireducibilní a tedy prvočíslo, ze skutečnosti

b_{1} | c_{1} \dots c_{s}

plyne bez újmy na obecnosti

b_{1} \sim c_{1}

. Pro nějaké

u \in U (R)

tedy máme

a = u c_{1} b_{2} \dots b_{r} = c_{1} \dots c_{s}

. Vydělíme obě strany

c_{1}

a z indukčního předpokladu víme, že jsou stejné až na permutaci a jednotky.

Věta. Je-li

R

obor hlavních ideálů, potom je noetherovský.

Důkaz. Nechť

I_{1} \subset I_{2} \subset \dots

je posloupnost ideálů. Potom

I ≔ ⋂_{k \in ℕ} I_{k}

je taky ideál a podle předpokladu je hlavní, tedy

I = (a)

a

také musí ležet v nějakém

I_{m} = (b)

, z čehož snadno vyvodíme

I_{m} = I

Věta. Je-li

R

obor hlavních ideálů, potom je Gaussův.

Důkaz. Stačí dokázat, že každý ireducibilní prvek je prvočíslo. Nechť

a

je ireducibilní a

a | b c

. Nechť

(a) + (b) ≕ (d)

. Potom

a = a \cdot 1 + b \cdot 0 \in d R ∴ d | a

. Jelikož

a

je ireducibilní, máme dvě možnosti: Pokud

d \sim a

, potom analogicky

d | b ∴ b = d e = u a e ∴ a | b

. Je-li

d \sim 1

, potom

a R + b R = R

, tedy pro nějaká

x, y \in R

a x + b y = 1

, tedy

a (c x + \frac{b c}{a} y) = c ∴ a | c

Definice. Nechť

R

je obor integrity. Prvek

d \in R

je největší společný dělitel prvků

a, b \in R

, pokud

$d | a \land d | b$
$\forall d^{'} \in R : d^{'} | a \land d^{'} | b ⟹ d^{'} | d$

Značíme

d = nsd (a, b)

, což je ale debilní značení, protože největších společných dělitelů může být víc a ani nemusí existovat. Analogicky definujeme nejmenší společný násobek

m = nsn (a, b)

Věta. Je-li

R

Gaussův obor a

a, b \in R

, potom

nsd (a, b), nsn (a, b)

jsou dány jednoznačně až na asociovanost.

Věta. Nechť

R

je obor hlavních ideálů,

a, b \in R ∖ {0}

(a) + (b) ≕ (d), (a) \cap (b) ≕ (m)

. Potom

d = nsd (a, b)

m = nsn (a, b)

Důkaz.

a, b \in (d) ∴ d | a, b

d^{'} | a, b ⟹ a, b \in (d^{'}) ⟹ (d) = (a) + (b) \subset (d^{'})

m \in (a), (b) ∴ a, b | m

a, b | m^{'} ⟹ m^{'} \in (a), (b) ⟹ (m^{'}) \subset (a) \cap (b) = (m)

Poznámka. Vlastnost

(a) + (b) = (nsd (a, b))

je zobecnění Bézoutovy věty.

Definice. Obor integrity

R

je Eukleidův, pokud existuje zobrazení

ϕ : R ∖ {0} \to ℕ_{0}

takové, že

$\forall a, b \in R ∖ {0} : b | a ⟹ ϕ (b) \leq ϕ (a)$
$\forall a, b \in R, b \neq 0, \exists d, r \in R : a = b d + r \land (r = 0 \lor ϕ (r) < ϕ (b))$

Příklad.

ℤ

je Eukleidův obor s

ϕ (n) ≔ | n |

Příklad. Je-li

T

těleso, potom

T [x]

je Eukleidův obor s

ϕ ≔ deg

Příklad.

ℤ [i]

je Eukleidův obor s

φ^{*} (x) ≔ {| x |}^{2}

Věta. Je-li

R

Eukleidův okruh, potom

R

je obor hlavních ideálů.

Důkaz. Nechť

I

je ideál. Pokud

I = {0}

, potom

I

je hlavní, tedy můžeme předpokládat, že

I ∋ a \neq 0

. Označme

n ≔ \min {ϕ (a) | a \in I, a \neq 0} ≕ ϕ (b)

. Dokážeme, že

I = (b)

. Zřejmě platí

\supset

, tedy dokažme

\subset

. Mějme nějaké

a \in I

. Máme

a = d \cdot b + r

. Pokud

r = 0

, potom

a \in (b)

. V opačném případě

r = a - d \cdot b \in I

, ale

ϕ (r) < ϕ (b)

, což je spor.

Důsledek. Máme tedy řetězec inkluzí: okruhy ⊃ obory integrity ⊃ (noetherovské obory, Gaussovy obory) ⊃ obory hlavních ideálů ⊃ Eukleidovy obory ⊃ tělesa.

Algebra

Obsah

Teorie množin

Relace

Vlastnosti relací

Ekvivalence

Uspořádání

Kardinalita

Ordinální čísla

Algebry

Grupy

Podgrupy

Cyklické grupy

Násobení grup

Klasifikace konečně generovaných abelovských grup

Faktorizace podle podgrupy

Věty o izomorfismu

Akce grupy

Okruhy

Polynomy a mocninné řady

Direktní součin okruhů

Obory integrity

Tělesa

Ideály

Kořeny polynomů

Konečná tělesa

Dělitelnost v oborech integrity